Position relative
Vecteurs, droites et plans de l’espace - Mathématiques Spécialité
Exercice 1 : Position relative d'une droite par rapport à un plan dans l'espace - depuis équations
Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\).
Soit le plan \(P\) définit par l'équation \(-6x -5y - z + 78 = 0\) et la droite \((d)\) passant par les points
\(A\left(-4;19;7\right)\) et \(B\left(-8;27;-9\right)\).
Exercice 2 : Donner le point d'intersection de deux droites définies chacune par deux points
Soit deux droites \(D\) passant par \(A \left(-41;8;24\right)\) et \(B \left(-53;20;6\right)\) et \(D'\) passant par \(C \left(-20;87;68\right)\) et \(D \left(-11;114;86\right)\).
Donner les coordonnées du point \(M\) d'intersection des deux droites sous la forme\((x_M ; y_M ; z_M)\).
Donner les coordonnées du point \(M\) d'intersection des deux droites sous la forme\((x_M ; y_M ; z_M)\).
Exercice 3 : Position relative d'une droite vis a vis d'un plan dans l'espace
On considère un pavé droit \((ABCDEFGH)\). Les points \(I\), \(J\) et \(K\)
sont les milieux respectifs des segments \([AB]\), \([DA]\) et \([HE]\).
Parmi les propositions suivantes, trouvez celles qui sont vraies.
- A.La droite (AI) est strictement parallèle au plan (EGH)
- B.La droite (CI) est sécante au plan (CIJ)
- C.La droite (BF) est sécante au plan (AEH)
- D.La droite (IK) est incluse dans le plan (ABK)
- E.La droite (EH) est strictement parallèle au plan (ACD)
Exercice 4 : Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan dans l'espace (la droite ne peut appartenir au plan)
Soit un repère orthonormé \( \left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right) \).
Soit le plan \( P \) défini par l'équation \( x - y -7z -50 = 0 \) et la droite \( (d) \) passant par les points
\( A\left(9;8;-10\right) \) et \( B\left(-2;-3;-10\right) \).
Donner la position relative de \( (d) \) par rapport au plan \( P \).
Donner les coordonnées du point \( M \) d'intersection du plan \( P \) et la droite \( (d) \).
On donnera la réponse sous la forme : \( (x_M ; y_M ; z_M) \)
S'il n'y a pas de point d'intersection, écrire : Aucun
On donnera la réponse sous la forme : \( (x_M ; y_M ; z_M) \)
S'il n'y a pas de point d'intersection, écrire : Aucun
Donner la position relative de \( (d) \) par rapport au plan \( P \).
Exercice 5 : Donner le point d'intersection de deux droites à partir des équations paramétriques
Soit deux droites \(D\) et \(D'\) définies par :
\[ D:
\left\{
\begin{array}{c @{=} c}
x & = & -41 + 5t_1 \\
y & = & 20 - t_1 \\
z & = & 18 + 5t_1
\end{array}
\right.\quad, t_1 \in \mathbb{R} \]
\[ D':
\left\{
\begin{array}{c @{=} c}
x & = & -49 -3t_2 \\
y & = & 36 + 3t_2 \\
z & = & -2 -5t_2
\end{array}
\right.\quad, t_2 \in \mathbb{R}
\]
Donner les coordonnées du point \(M\) d'intersection des deux droites sous la forme\((x_M ; y_M ; z_M)\).
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