Exercice type Bac de Mathématiques
Partie A
Dans un repère orthonormé \( (O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \) de l'espace, on considère le plan \((P)\) d'équation :
\[-4x + 2y + 8z + 32 = 0\]
On consière les trois points \(A\), \(B\) et \(C\) de coordonnées :
\[A(3 ; 2 ; -3), B(2 ; 4 ; -4), C(-4 ; 2 ; 4) \]
Le but de cet exercice est d'étudier le rapport des aires entre un triangle et son projeté orthogonal dans un plan.
On admet l'existence d'un unique point H vérifiant les deux conditions :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
H \in (AB) \\
(AB) \perp (HC)
\end{array}
\right.
\]
On donnera la réponse exacte et sous la forme : \(H(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3})\)
Partie B
On admet que les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{HC}\) sont :
\(
\overrightarrow{HC} = \begin{pmatrix}
-7 \\ 0 \\ 7
\end{pmatrix}
\)
Partie C
On admet que \(HC' = \sqrt{14}\)
Déterminer la valeur arrondie de \(\text{cos}(\alpha)\) à \(10^{-3}\) près.
On admet que les droites \((C'H)\) et \((AB)\) sont perpendiculaires.
Déterminer la valeur approchée de \(\text{S}'\) à \(10^{-3}\) près.