Exercice type Bac de Mathématiques

À l’automne 2021, Claude achète une maison à la campagne. Il dispose d’un terrain de \( 1700 m^2 \) entièrement engazonné.
Mais tous les ans, 60 % de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse.
Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de \( 54 m^2 \) et la remplace par du gazon.

Pour tout nombre entier naturel \( n \), on note \( u_n \) la surface en \( m^2 \) de terrain engazonné au bout de \( n \) années, c’est-à-dire à l’automne 2021 + \( n \).
On a donc \( u_0=1700 \).

Calculer \( u_1 \).

Écrire \( u_{n+1} \) en fonction de \( u_n \).

On considère la suite \( (v_n) \) définie pour tout nombre entier naturel \( n \) par : \( v_n = u_n - 90 \).

\( (v_n) \) est une suite géométrique. Donner sa raison.

Donner son premier terme.

Exprimer \( v_n \) en fonction de \( n \).

Exprimer \( u_n \) en fonction de \( n \).

Quelle est la surface de terrain engazonné au bout de 6 années ?
On donnera une réponse arrondie à \( 0,01 m^2 \) près.

Déterminer par le calcul la plus petite valeur de l’entier naturel \( n \) telle que :
\( 90 + 1610 \times 0,4^{n} \lt 93 \)

Calculer la limite de \( (u_n) \) quand \( n \to +\infty \).

Claude est certain que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalité de son terrain.
A-t-il raison ?