Exercice type bac de Mathématiques

Partie A

On considère la fonction \(f\) définie sur l'ensemble \([0; +\infty[ \) par \[f(x) = 4 + 2x^{2} -4x^{2}\operatorname{ln}\left(x\right) \]
On admet que \(f\) est dérivable sur l'intervalle et on note \(f'\) sa fonction dérivée.

1. a Que vaut \( \lim_{x\to 0} x^{2}\operatorname{ln}\left(x\right) \) ?
1. b En déduire \( \lim_{x\to 0} f(x) \).
1. c En remarquant que \( f(x) = 4 + 2x^{2}\left(1 -2\operatorname{ln}\left(x\right)\right) \), déterminer \( \lim_{x\to + \infty} f(x)\).
2. Déterminer, pour tout réel \(x\) de l'intervalle \( ]0; +\infty[\), \(f'(x)\), l'expression de la fonction dérivée de \(f\).
On donnera directement \(f'(x)\)
3. Compléter le tableau de variations de \(f\) sur l'intervalle \(]0; + \infty[ \).

Essais restants : 2

4. Compléter la démonstration suivante montrant que l'équation \(f(x) = 0 \) admet une unique solution \(\alpha\) dans l'intervalle \([1; +\infty[\) et que \(\alpha \in [1; e]\)
La fonction \(f\) est continue car et \(f\) est sur l'intervalle \([1;+ \infty[\). 0 est compris entre \( f(1) = \) et \( \lim_{x\to + \infty} f(x) = \) . D'après le théorème , il existe un réel \(\alpha\), avec \(\alpha \in ]1;+\infty [ \) tel que \( f(\alpha) = \) . En appliquant le même théorème sur l'intervalle \([1;\) \(]\), on a bien compris entre \(f(1) = \) et \(f(1e) = 4 - 2e^{2} = \). D'où \( 1< \alpha < e\)

On admet dans la suite de l'exercice, que l'équation \( f(x) = 0 \) n'admet pas de solution sur l'intervalle \(]0;1]\).

5. On donne la fonction ci-dessous écrite en Python. L'instruction from lycee import * permet d'accèder à la fonction ln.
from lycee import *

def f(x):
    return 4 + 2 * x ** 2 - 4 * x ** 2 * ln(1 * x)

def dichotomie(p):
    a = 1
    b = 2.7
    while b - a > 10 ** (-p):
        if f(a) * f((a + b) / 2) < 0:
            b = (a + b) / 2
        else:
            a = (a + b) / 2
    return (a, b)
On écrit dans la console d'exécution :
>>> dichotomie(1)
Parmi les quatre propositions ci-dessous, déterminer celle affichée par l'instruction précédente.

Partie B

On considère la fonction \(g\) définie sur l'intervalle \(]0; +\infty[\), par \(g(x) = \dfrac{\operatorname{ln}\left(x\right)}{4 + 2x^{2}}\) . On admet que \(g\) est dérivable sur l'intervalle \(]0; +\infty[\) et on note \(g'\) sa fonction dérivée. On note \(C_{g}\) la courbe représentative de la fonction \(g\) dans le plan rapporté à un repère \((O;\vec{i},\vec{j})\).

1. Déterminer, pour tout réel \(x\) de l'intervalle \(]0; +\infty[\), \(g'(x)\), l'expression de la fonction dérivée de \(g\).
2. Compléter la démonstration montrant que la fonction \(g\) admet un maximum en \(x = \alpha\).
\(g'\) peut être mise sous la forme \( \dfrac{f(x)}{4x\left(2 + x^{2}\right)^{2}} \). Puisque \(x > 0 \) et \( (4 + 2x^{2})^2 \) \(0\), le signe de \(g'(x)\) est celui du numérateur donc le signe de . Or on a vu (Partie A question 3.) que \(f(x)\) \(0 \) sur \(]0;\alpha[ \) et \(f(x)\) \(0\) sur \(]\alpha; + \infty[ \). La fonction \(g\) est donc sur \([0; \alpha]\), puis sur \([\alpha; + \infty[\) avec un \(g(\alpha)\).

On admet que \(g(\alpha) = \)\(\dfrac{1}{4\alpha^2}\)

3. On note \(T_{1}\) la tangente à \(C_{g}\) au point d'abscisse 1 et on note \(T_{\alpha}\) la tangente à \(C_{g}\) au point d'abscisse \(\alpha\). Déterminer, en fonction de \(\alpha\), les coordonnées du point d'intersection des droites \(T_{1}\) et \(T_{\alpha}\).
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