Exercice type bac de Mathématiques

Dans une école de statistique, après étude des dossiers des candidats, le recrutement se fait de deux façons :

• \( 20 \)% des candidats sont sélectionnés sur dossier. Ces candidats doivent ensuite passer un oral à l’issue duquel \( 70 \)% d’entre eux sont finalement admis à l’école.
• Les candidats n’ayant pas été sélectionnés sur dossier passent une épreuve écrite à l’issue de laquelle \( 60 \) % d’entre eux sont admis à l’école.

Partie 1 : Arbre et calcul de probabilités

On choisit au hasard un candidat à ce concours de recrutement. On notera :

• \( D \) l’évènement « le candidat a été sélectionné sur dossier » ;
• \( A \) l’évènement « le candidat a été admis à l’école » ;
• \( \overline{D} \) et \( \overline{A} \) les évènements contraires des évènements \( D \) et \( A \) respectivement.

1. Compléter l'arbre ci-dessous :
On donnera les résultats arrondis au centième près.

2. Calculer la probabilité que le candidat soit sélectionné sur dossier et admis à l’école.

3. Calculer la probabilité de l'évènement \( A \).

4. On choisit au hasard un candidat admis à l’école. Quelle est la probabilité que son dossier n’ait pas été sélectionné ?
On arrondira le résultat au centième près.

Partie 2 : Variable aléatoire

Dans une autre école, la probabilité pour un candidat d’être admis à l’école est égale à \( 0,31 \). On considère un échantillon de cinq candidats choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. On désigne par \( X \) la variable aléatoire dénombrant les candidats admis à l’école parmi les cinq tirés au sort. On admet que la variable aléatoire \( X \) suit une loi binomiale.

1. a. Quel est le paramètre \( p \) de cette loi ?

1. b Calculer la probabilité que trois des cinq candidats tirés au sort soient admis à l’école.
On donnera une réponse arrondie au centième.

1. c Calculer la probabilité qu’au moins un des cinq candidats tirés au sort soit admis à cette école.
On donnera une réponse arrondie au centième.

Un lycée présente \( n \) candidats au recrutement dans cette école, où \( n \) est un entier naturel non nul.
On admet que la probabilité pour un candidat quelconque du lycée d’être admis à l’école est égale à \( 0,31 \) et que les résultats des candidats sont indépendants les uns des autres.

2. a Donner l’expression, en fonction de \( n \), de la probabilité qu’aucun candidat issu de ce lycée ne soit admis à l’école.

2. b À partir de quelle valeur de l’entier \( n \) la probabilité qu’au moins un élève de ce lycée soit admis à l’école est-elle supérieure ou égale à \( 0,999 \) ?