Exercice type Bac de Mathématiques
Partie A
Dans un repère orthonormé \( (O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \) de l'espace, on considère le plan \((P)\) d'équation :
\[x - y + 2z = 0\]
On consière les trois points \(A\), \(B\) et \(C\) de coordonnées :
\[A(-2 ; 0 ; 1), B(5 ; -5 ; -2), C(-1 ; -1 ; 0) \]
Le but de cet exercice est d'étudier le rapport des aires entre un triangle et son projeté orthogonal dans un plan.
On admet l'existence d'un unique point H vérifiant les deux conditions :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
H \in (AC) \\
(AC) \perp (HB)
\end{array}
\right.
\]
On donnera la réponse exacte et sous la forme : \(H(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3})\)
Partie B
On admet que les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{HB}\) sont :
\(
\overrightarrow{HB} = \begin{pmatrix}
2 \\ 0 \\ 2
\end{pmatrix}
\)
Partie C
On admet que \(HB' = \sqrt{2}\)
Déterminer la valeur arrondie de \(\text{cos}(\alpha)\) à \(10^{-3}\) près.
On admet que les droites \((B'H)\) et \((AC)\) sont perpendiculaires.
Déterminer la valeur approchée de \(\text{S}'\) à \(10^{-3}\) près.