Exercice type Bac de Mathématiques

Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres qui proviennent de trois horticulteurs : \( 30 \)% des plants proviennent de l’horticulteur \( H1, 10 \)% de l’horticulteur \( H2 \) et le reste de l’horticulteur \( H3 \).
Chaque horticulteur livre deux catégories d’arbres : des conifères et des arbres à feuilles. La livraison de l’horticulteur \( H1 \) comporte \( 75 \)% de conifères alors que celle de l’horticulteur \( H2 \) n’en comporte que \( 55 \)% et celle de l’horticulteur \( H3 \) seulement \( 25 \)%.

Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.

On envisage les événements suivants :
  • \( H1 \) : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur \( H1 \) »,
  • \( H2 \) : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur \( H2 \) »,
  • \( H3 \) : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur \( H3 \) »,
  • \( C \) : « l’arbre choisi est un conifère »,
  • \( F \) : « l’arbre choisi est un arbre feuillu ».
Calculer la probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur \( H3 \).
Calculer la probabilité de l'événement \( C \).
L’arbre choisi est un conifère.
Quelle est la probabilité qu’il ait été acheté chez l’horticulteur \( H1 \) ?
On donnera un résultat arrondi au dixième de pourcent.

On choisit au hasard un échantillon de \( 10 \) arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de \( 10 \) arbres dans le stock. On appelle \( X \) la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi.

Quel est le paramètre p de la loi binomiale que suit \( X \) ?
Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement \( 1 \) conifères ?
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \).
Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins \( 6 \) arbres feuillus ?
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \).
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