Inégalité de concentration

Probabilité : Loi des grands nombres - Mathématiques Spécialité

Exercice 1 : Estimer la taille d’un échantillon

\(X\) est une variable aléatoire d’espérance 60 et de variance 102400. \(X_1,...X_n\) est un échantillon de taille \(n\) de la variable aléatoire \(X\).

Donner les résultats arrondis au centième si nécessaire.
Donner un majorant de \(P( |X-60| \geq 330 ) \).
Donner le plus petit entier \(n\) tel que \( P(|M_n-60|\lt 330) \gt 0,9 \).
Quelle est la limite de la moyenne de cet échantillon quand \(n\) tend vers \( +\infty \) ?

Exercice 2 : Déterminer la taille d'un échantillon connaissant la loi de probabilité

Brahim étudie la qualité de ses services au tennis. Il associe une double faute à la valeur -1, un service gagnant à la valeur 1 et les autres services à la valeur 0.

\(x_i\)\( -1 \)\( 0 \)\( 1 \)
\( P( X = x_i ) \)\( 0\mbox{,}1 \)\( 0\mbox{,}75 \)\( 0\mbox{,}15 \)

Combien de services doit-il réaliser au minimum pour être sûr au seuil de \( 91 \) % que la moyenne obtenue d'un échantillon \( \left( X_{1},..., X_{n} \right) \) de taille \( n \) de la variable aléatoire \( X \) soit strictement comprise entre \( -0\mbox{,}2 \) et \( 0\mbox{,}3 \).

Exercice 3 : Estimer la taille d’un échantillon

\(X\) est une variable aléatoire d’espérance 240 et de variance 3600. \(X_1,...X_n\) est un échantillon de taille \(n\) de la variable aléatoire \(X\).

Donner les résultats arrondis au centième si nécessaire.
Donner un majorant de \(P( |X-240| \geq 80 ) \).
Donner le plus petit entier \(n\) tel que \( P(|M_n-240|\lt 80) \gt 0,8 \).
Quelle est la limite de la moyenne de cet échantillon quand \(n\) tend vers \( +\infty \) ?

Exercice 4 : Déterminer la taille d'un échantillon connaissant la loi de probabilité

Brahim étudie la qualité de ses services au tennis. Il associe une double faute à la valeur -1, un service gagnant à la valeur 1 et les autres services à la valeur 0.

\(x_i\)\( -1 \)\( 0 \)\( 1 \)
\( P( X = x_i ) \)\( 0\mbox{,}1 \)\( 0\mbox{,}8 \)\( 0\mbox{,}1 \)

Combien de services doit-il réaliser au minimum pour être sûr au seuil de \( 91 \) % que la moyenne obtenue d'un échantillon \( \left( X_{1},..., X_{n} \right) \) de taille \( n \) de la variable aléatoire \( X \) soit strictement comprise entre \( -0\mbox{,}2 \) et \( 0\mbox{,}2 \).

Exercice 5 : Estimer la taille d’un échantillon

\(X\) est une variable aléatoire d’espérance 190 et de variance 4900. \(X_1,...X_n\) est un échantillon de taille \(n\) de la variable aléatoire \(X\).

Donner les résultats arrondis au centième si nécessaire.
Donner un majorant de \(P( |X-190| \geq 120 ) \).
Donner le plus petit entier \(n\) tel que \( P(|M_n-190|\lt 120) \gt 0,8 \).
Quelle est la limite de la moyenne de cet échantillon quand \(n\) tend vers \( +\infty \) ?
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