Inégalité de Bienaymé Tchebychev
Probabilité : Loi des grands nombres - Mathématiques Spécialité
Exercice 1 : Utiliser l'inégalité de Bienaymé Tchebychev pour déterminer la taille d'un échantillon
Aux urgences d’un hôpital lors d’une épidémie, le nombre de malades qui arrivent chaque jour est donné par la variable aléatoire \( X \) d’espérance \( 55 \) et de variance \( 17 \).
Donner une majoration de \( P \left( | X - 55 | \geq 18 \right) \) en appliquant l'inégalité de Bienaymé Tchebychev.On donnera la réponse sous la forme d'une fraction.
On donnera une valeur arrondie du résultat à \( 10^{-3} \) près.
Exercice 2 : Déterminer la taille d’un échantillon connaissant les paramètres de la variable aléatoire
Le nombre d’heures d’ensoleillement sur l’ile d’Oléron est une variable aléatoire \(X\) d’espérance 1600 et d’écart type 130.
Donner les résultats arrondis au centième si nécessaire.Déterminer le nombre a tel que \( P(|X-1600|\lt a) \geq 0,2 \).
Exercice 3 : Appliquer l’inégalité de Bienaymé Tchebychev
Une variable aléatoire \( X \) suit une loi binomiale \( B( 1700, \dfrac{2}{5} ) \).
Appliquer l'inégalité de Bienaymé Tchebychev pour trouver un majorant de \( P( | X - 680 | \geq 60 ) \).On donnera la réponse sous forme de fraction simplifiée, sans préciser de quoi il s'agit.
Exercice 4 : Utiliser la loi d'échantillonnage et l'inégalité de Bienaymé Tchebychev pour trouver un majorant
Soit \( \left( X_{1},..., X_{ 50 } \right) \) un échantillon de taille
\( 50 \) de la variable aléatoire \( X \) qui suit la loi binomiale de
paramètres \( n = 900 \) et \( p = 0,8 \).
On définit :
\[ M = \dfrac{X_{1} + ... + X_{ 50}}{50} \]
On donnera une valeur arrondie du résultat à \( 10^{-3} \) près.
Exercice 5 : Utiliser l'inégalité de Bienaymé Tchebychev pour déterminer la taille d'un échantillon
Aux urgences d’un hôpital lors d’une épidémie, le nombre de malades qui arrivent chaque jour est donné par la variable aléatoire \( X \) d’espérance \( 75 \) et de variance \( 10 \).
Donner une majoration de \( P \left( | X - 75 | \geq 19 \right) \) en appliquant l'inégalité de Bienaymé Tchebychev.On donnera la réponse sous la forme d'une fraction.
On donnera une valeur arrondie du résultat à \( 10^{-3} \) près.
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