Partie A

On considère la fonction \(f\) définie sur l'ensemble \([0; +\infty[ \) par \[f(x) = 2 + x^{2} -2x^{2}\operatorname{ln}\left(\dfrac{1}{2}x\right) \]
On admet que \(f\) est dérivable sur l'intervalle et on note \(f'\) sa fonction dérivée.

On admet dans la suite de l'exercice, que l'équation \( f(x) = 0 \) n'admet pas de solution sur l'intervalle \(]0;2]\).

from lycee import *

def f(x):
    return 2 + 1 * x ** 2 - 2 * x ** 2 * ln(1/2 * x)

def dichotomie(p):
    a = 2
    b = 2.7 / 0.5
    while b - a > 10 ** (-p):
        if f(a) * f((a + b) / 2) < 0:
            b = (a + b) / 2
        else:
            a = (a + b) / 2
    return (a, b)

>>> dichotomie(1)

Partie B

On considère la fonction \(g\) définie sur l'intervalle \(]0; +\infty[\), par \(g(x) = \dfrac{\operatorname{ln}\left(\dfrac{1}{2}x\right)}{2 + x^{2}}\) . On admet que \(g\) est dérivable sur l'intervalle \(]0; +\infty[\) et on note \(g'\) sa fonction dérivée. On note \(C_{g}\) la courbe représentative de la fonction \(g\) dans le plan rapporté à un repère \((O;\vec{i},\vec{j})\).

On admet que \(g(\alpha) = \)\(\dfrac{1}{2\alpha^2}\)

La directrice d'une école souhaite réaliser une étude auprès des étudiants qui ont passé l'examen de fin d'étude, pour analyser la façon dont ils pensent avoir réussi cet examen.

Pour cette étude, on demande aux étudiants à l'issue de l'examen de répondre de manière individuelle à la question : « Pensez-vous avoir réussi l'examen ? ». Seules les réponses « oui » ou « non » sont possibles, et on observe que \( 91\mbox{,}7 \) % des étudiants interrogés ont répondu « oui ».

On interroge au hasard un étudiant qui a passé l'examen.

1.On note \( R \) l'événement « l'étudiant a réussi l'examen » et \( Q \) l'événement « l'étudiant a répondu « oui » à la question ».
Pour un événement \( A \) quelconque, on note \( \text{P}(A) \) sa probabilité et \( \overline{A} \) son évènement contraire.

2. On note \( x \) la probabilité que l'étudiant interrogé ait réussi l'examen.

3. L'étudiant interrogé a répondu « oui » à la question.

4. La note obtenue par un étudiant interrogé au hasard est un nombre entier entre 0 et 20. On suppose qu'elle est modélisée par une variable aléatoire \( \text{N} \) qui suit la loi binomiale de paramètres \( (20 ; 0\mbox{,}58) \). La directrice souhaite attribuer une récompense aux étudiants ayant obtenu les meilleurs résultats.

5. On interroge au hasard dix étudiants.
Les variables aléatoires \( \text{N}_{1},\text{N}_{2},…,\text{N}_{10} \) modélisent la note sur 20 obtenue à l'examen par chacun des étudiants. On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale avec les paramètres \( n=20 \) et \( p=0\mbox{,}58 \).
Soit \( S \) la variable aléatoire définie par \( \text{S}=\text{N}_{1}+\text{N}_{2}+…+\text{N}_{10} \).

6. On considère la variable aléatoire \( \text{M} = \frac{\text{S}}{10} \).

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points suivants :
\[ A\left(0;0;4\right), B\left(-1;-4;-1\right), C\left(3;5;3\right), D\left(-4;-1;3\right) \text{ et } H\left(-4;-9;0\right) \]

On suppose que le plan \( (EFG) \) a pour équation cartésienne \( -8y -3z -70 = 0 \).

On considère l'équation différentielle \[(E_{0}): y'=2y\]
où \(y\) est une fonction dérivable de la variable réelle \(x\).

On considère l'équation différentielle \[(E): y'=2y + 2\operatorname{cos}{\left(x \right)} + 6\operatorname{sin}{\left(x \right)}\]
On introduit la fonction \(h\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x)=-2\operatorname{cos}{\left(x \right)} -2\operatorname{sin}{\left(x \right)}\).
On admet qu'elle est dérivable sur \(\mathbb{R}\).

Partie 2 : Variable aléatoire

Dans une autre école, la probabilité pour un candidat d’être admis à l’école est égale à \( 0,1 \). On considère un échantillon de dix-huit candidats choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. On désigne par \( X \) la variable aléatoire dénombrant les candidats admis à l’école parmi les dix-huit tirés au sort. On admet que la variable aléatoire \( X \) suit une loi binomiale.

Un lycée présente \( n \) candidats au recrutement dans cette école, où \( n \) est un entier naturel non nul.
On admet que la probabilité pour un candidat quelconque du lycée d’être admis à l’école est égale à \( 0,1 \) et que les résultats des candidats sont indépendants les uns des autres.