Préparation au bac 2025

Préparation au Bac - Mathématiques Spécialité

Exemple d'exercice parmi les 29 exercices du chapitre

Dans une école de statistique, après étude des dossiers des candidats, le recrutement se fait de deux façons :

  • • \(5\)% des candidats sont sélectionnés sur dossier. Ces candidats doivent ensuite passer un oral à l’issue duquel \(70\)% d’entre eux sont finalement admis à l’école.
  • • Les candidats n’ayant pas été sélectionnés sur dossier passent une épreuve écrite à l’issue de laquelle \(60\)% d’entre eux sont admis à l’école.

Partie 1 : Arbre et calcul de probabilités

On choisit au hasard un candidat à ce concours de recrutement. On notera :

  • • \(D\) l’évènement « le candidat a été sélectionné sur dossier » ;
  • • \(A\) l’évènement « le candidat a été admis à l’école » ;
  • • \(\overline{D}\) et \(\overline{A}\) les évènements contraires des évènements \(D\) et \(A\) respectivement.
1. Compléter l'arbre ci-dessous :
On donnera les résultats arrondis au centième près.
{"D": {"A": {"value": " "}, "\\overline{A}": {"value": " "}, "value": " "}, "\\overline{D}": {"A": {"value": " "}, "\\overline{A}": {"value": " "}, "value": " "}}
2. Calculer la probabilité que le candidat soit sélectionné sur dossier et admis à l’école.
3. Calculer la probabilité de l'évènement \(A\).
4. On choisit au hasard un candidat admis à l’école. Quelle est la probabilité que son dossier n’ait pas été sélectionné ?
On arrondira le résultat au centième près.

Partie 2 : Variable aléatoire

Dans une autre école, la probabilité pour un candidat d’être admis à l’école est égale à \(0\mbox{,}02\). On considère un échantillon de treize candidats choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. On désigne par \(X\) la variable aléatoire dénombrant les candidats admis à l’école parmi les treize tirés au sort.
On admet que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale.

1. a. Quel est le paramètre \(p\) de cette loi ?
1. b. Calculer la probabilité que quatre des treize candidats tirés au sort soient admis à l’école.
On donnera une réponse arrondie au centième.
1. c. Calculer la probabilité qu’au moins deux des treize candidats tirés au sort soient admis à cette école.
On donnera une réponse arrondie au centième.

Un lycée présente \(n\) candidats au recrutement dans cette école, où \(n\) est un entier naturel non nul.
On admet que la probabilité pour un candidat quelconque du lycée d’être admis à l’école est égale à \(0\mbox{,}02\) et que les résultats des candidats sont indépendants les uns des autres.

2. a. Donner l’expression, en fonction de \(n\), de la probabilité qu’aucun candidat issu de ce lycée ne soit admis à l’école.
2. b. À partir de quelle valeur de l’entier \(n\) la probabilité qu’au moins un élève de ce lycée soit admis à l’école est-elle supérieure ou égale à \(0\mbox{,}95\) ?
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