Annales et exercices Bac

Préparation au Bac - Mathématiques Spécialité

Exemple d'exercice parmi les 29 exercices du chapitre

On considère l'équation différentielle \[(E_{0}): y'=3y\]
où \(y\) est une fonction dérivable de la variable réelle \(x\).

1. Donner l'unique fonction constante solution de l'équation différentielle \((E_{0})\).

2. Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle \((E_{0})\).

On donnera la réponse sous la forme \(y=f(x, k)\), avec \(f\) la forme générale de la solution et \(k \in \mathbb{R}\) une constante.

On considère l'équation différentielle \[(E): y'=-4\operatorname{sin}{\left(x \right)} -2\operatorname{cos}{\left(x \right)} + 3y\]
On introduit la fonction \(h\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x)=\operatorname{cos}{\left(x \right)} + \operatorname{sin}{\left(x \right)}\).
On admet qu'elle est dérivable sur \(\mathbb{R}\).

3. Calculer la dérivée de \(h(x)\).

4. Exprimer \(h'\) en fonction de \(h\).

\(h'(x) = -3 h(x) + 2 \text{cos}(x) + 4 \text{sin}(x)\)

\(h'(x) = 3 h(x) - 2 \text{cos}(x) - 4 \text{sin}(x)\)

\(h'(x) = -3 h(x) + 2 \text{cos}(x) - 4 \text{sin}(x)\)

\(h'(x) = 3 h(x) - 2 \text{cos}(x) + 4 \text{sin}(x)\)

5. On considère une fonction \(f\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).
Parmi les quatre propositions, laquelle est vraie ?

« \(f\) est solution de \( (\text{E}_0) \) » est équivalent à « \(f − h\) est solution de \( (\text{E}) \) »

« \(f\) est solution de \( (\text{E}_0) \) » est équivalent à « \(f − h\) est solution de \( (\text{E}_0) \) »

« \(f\) est solution de \( (\text{E}) \) » est équivalent à « \(f − h\) est solution de \( (\text{E}_0) \) »

6. En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle \((E)\).
On donnera la réponse sous la forme \(y=f(x, k)\), avec \(f\) la forme générale de la solution et \(k \in \mathbb{R}\) une constante.

7. Déterminer l'unique solution \(g\) de l'équation différentielle \((E)\) telle que \(g(0)=0\).

8. Calculer : \[ \int_{0}^{{{\pi}/2}} g(x) \, dx \]

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