Annales et exercices Bac

La directrice d'une école souhaite réaliser une étude auprès des étudiants qui ont passé l'examen de fin d'étude, pour analyser la façon dont ils pensent avoir réussi cet examen.

Pour cette étude, on demande aux étudiants à l'issue de l'examen de répondre de manière individuelle à la question : « Pensez-vous avoir réussi l'examen ? ». Seules les réponses « oui » ou « non » sont possibles, et on observe que \( 92\mbox{,}9 \) % des étudiants interrogés ont répondu « oui ».

On interroge au hasard un étudiant qui a passé l'examen.

1.On note \( R \) l'événement « l'étudiant a réussi l'examen » et \( Q \) l'événement « l'étudiant a répondu « oui » à la question ».
Pour un événement \( A \) quelconque, on note \( \text{P}(A) \) sa probabilité et \( \overline{A} \) son évènement contraire.

2. On note \( x \) la probabilité que l'étudiant interrogé ait réussi l'examen.

3. L'étudiant interrogé a répondu « oui » à la question.

4. La note obtenue par un étudiant interrogé au hasard est un nombre entier entre 0 et 20. On suppose qu'elle est modélisée par une variable aléatoire \( \text{N} \) qui suit la loi binomiale de paramètres \( (20 ; 0\mbox{,}575) \). La directrice souhaite attribuer une récompense aux étudiants ayant obtenu les meilleurs résultats.

5. On interroge au hasard dix étudiants.
Les variables aléatoires \( \text{N}_{1},\text{N}_{2},…,\text{N}_{10} \) modélisent la note sur 20 obtenue à l'examen par chacun des étudiants. On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale avec les paramètres \( n=20 \) et \( p=0\mbox{,}575 \).
Soit \( S \) la variable aléatoire définie par \( \text{S}=\text{N}_{1}+\text{N}_{2}+…+\text{N}_{10} \).

6. On considère la variable aléatoire \( \text{M} = \frac{\text{S}}{10} \).