Annales et exercices Bac

Préparation au Bac - Mathématiques Spécialité

Exemple d'exercice parmi les 30 exercices du chapitre

Dans une boulangerie, les baguettes sortent du four à une température de \(200\:\text{°C}\).
On s’intéresse à l’évolution de la température d’une baguette après sa sortie du four.
On admet qu’on peut modéliser cette évolution à l’aide d’une fonction \(f\) définie et dérivable sur l’intervalle \([0 ; +\infty[\). Dans cette modélisation, \(f(t)\) représente la température en degré Celsius de la baguette au bout de la durée \(t\), exprimée en heure, après la sortie du four.
Ainsi, \(f(0,5)\) représente la température d’une baguette une demi-heure après la sortie du four.
Dans tout l’exercice, la température ambiante de la boulangerie est maintenue à \(27\:\text{°C}\).
On admet alors que la fonction \(f\) est solution de l'équation différentielle \(y' + 5 y = 135\).

1. a. Préciser la valeur de \(f(0)\).
On donnera la réponse suivie de l'unité qui convient.
1. b. Résoudre l’équation différentielle \(y' + 5 y = 135\) et en déduire l’expression de \(f(t)\) pour tout \(t >= 0\).
2. De ce modèle, on peut déduire :
  • A.La température augmente puis décroît
  • B.La température est constante
  • C.La température tend à se stabiliser à la température ambiante
  • D.La température ne se stabilise pas
Pour mettre les baguettes en rayon, le boulanger attend que leur température soit inférieure ou égale à \(39\:\text{°C}\). On note \(T_0\) le temps d’attente minimal entre la sortie du four d’une baguette et sa mise en rayon.

Représentation graphique de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal.
3. Avec la précision permise par le graphique, lire \(T_0\).
On donnera une valeur approchée à la minute près de \(T_0\).
Exemple de réponse pour \(1h30min\) : 90
On s’intéresse ici à la diminution, minute après minute, de la température d’une baguette à sa sortie du four.
Ainsi, pour un entier naturel \(n\), \(D_n\) désigne la diminution de température en degré Celsius d’une baguette entre la n-ième et la (n + 1)-ième minute après sa sortie du four.
On admet que, pour tout entier naturel \(n\) : \[ D_n=f(\dfrac{n}{60}) - f(\dfrac{n+1}{60}) \]
4. a. Déterminer la réduction de la température du pain durant la première minute en dehors du four.
On donnera une valeur approchée à \(0,1\) près de \(D_0\).
4. b. Donner une expression explicite et simplifiée de \(D_n\) en fonction de \(n\) :
4. c. Quelle est la limite de la suite \(D_n\) ?
Si elle n’admet pas de limite, écrire “indefinie”
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