Annales et exercices Bac

Préparation au Bac - Mathématiques Spécialité

Exemple d'exercice parmi les 30 exercices du chapitre

Une plateforme informatique propose deux types de jeux vidéo : un jeu de type \( A \) et un jeu de type \( B \).

Partie A

Les durées des parties de type \( A \) et de type \( B \), exprimées en minutes, peuvent être modélisées respectivement par deux variables aléatoires notées \( X_A \) et \( X_B \).
La variable aléatoire \( X_A \) suit la loi uniforme sur l'intervalle \( \left[16; 30\right] \).
La variable aléatoire \( X_B \) suit la loi normale de moyenne \( µ \) et d'écart type \( 4 \). La représentation graphique de la fonction de densité de cette loi normale et son axe de symétrie sont donnés ci-dessous.

1. a) Calculer la durée moyenne \( m \) d'une partie de type \( A \).
1. b) Préciser, à l'aide du graphique, la durée moyenne \( µ \) d'une partie de type \( B \).
2. On choisit au hasard, de manière équiprobable, un type de jeu.
Quelle est la probabilité \( p \) que la durée de la partie soit supérieure à \( 19 \) minutes ?
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \) près.

Partie B


Dès que le joueur achève une partie, la plateforme lui propose une nouvelle partie selon le modèle suivant :
  • si le joueur achève une partie de type \( A \), la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type \( A \) avec une probabilité de \( 0,75 \) ;
  • si le joueur achève une partie de type \( B \), la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type \( B \) avec une probabilité de \( 0,75 \).
Pour tout entier naturel \( n \) supérieur ou égal à \( 1 \), on note \( A_n \) et \( B_n \) les évènements :
  • \( A_n \) : « la n-ième partie est une partie de type \( A \).»
  • \( B_n \) : « la n-ième partie est une partie de type \( B \).»
Pour tout entier naturel \( n \) supérieur ou égal à \( 1 \), on note \( a_n \) la probabilité de l'évènement \( A_n \).

1. a) Compléter l'arbre pondéré ci-dessous.
{"A_n": {"A_{n+1}": {"value": " "}, "B_{n+1}": {"value": " "}, "display_value": "True", "value": "a_{n}"}, "B_n": {"A_{n+1}": {"value": " "}, "B_{n+1}": {"value": " "}, "value": " "}}
1. b) Soit \( n \geq 1 \), exprimer \( a_{n + 1} \) en fonction de \( a_n \).

Dans la suite de l'exercice, on note \( a \) la probabilité que le joueur joue au jeu \( a \) lors de sa première partie, où \( a \) est un nombre réel appartenant à l'intervalle \( [0;1] \).
La suite \( (a_n) \) est donc définie par : \( a_1 = a \), et, pour tout entier naturel \( n \geq 1, a_{n + 1} \) est donné par la relation trouvée à la question précédente.

2. Étude d'un cas particulier : Dans cette question, on suppose que \( a = 0,2 \).
On admet que pour tout entier naturel \( n \geq 1, a_{n + 1} \), l'inéquation suivante est vérifiée : \[ 0 \leq a_n \leq 0,5 \]
On pourra, en guise d'entraînement, démontrer ce résultat par récurrence.

2. a) Déterminer le sens de variation de la suite \( (a_n) \).
2. b) Montrer que la suite \( (a_n) \) est convergente et préciser sa limite \( l_0 \).

3. Étude du cas général : Dans cette question, le réel \( a \) appartient à l'intervalle \( [0;1] \).
On considère la suite \( (u_n) \) définie pour tout entier naturel \( n \geq 1 \) par : \( u_n = a_n - 0,5 \).

3. a) Déterminer la nature de la suite \( (u_n) \) et en déduire, pour tout entier naturel \( n \geq 1 \), l'expression de \( u_n \) en fonction de \( n \).
3. b) En déduire, pour tout entier naturel \( n \geq 1 \), l'expression de \( a_n \) en fonction de \( n \) et de \( a \).
3. c) Déterminer la limite \( l \) de la suite \( a_n \) en fonction de \( a \) si nécessaire.
3. d) La plateforme diffuse une publicité insérée en début des parties de type \( A \), et une autre publicité insérée en début des parties de type \( B \).
Quelle devrait être la publicité la plus vue par un joueur s'adonnant intensivement aux jeux vidéo de la plateforme ?
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