Annales et exercices Bac

Préparation au Bac - Mathématiques Spécialité

Exemple d'exercice parmi les 29 exercices du chapitre

Le virus de la grippe atteint chaque année, en période hivernale, une partie de la population d’une ville.
La vaccination contre la grippe est possible ; elle doit être renouvelée chaque année.

Partie A

L’efficacité du vaccin contre la grippe peut être diminuée en fonction des caractéristiques individuelles des personnes vaccinées, ou en raison du vaccin, qui n’est pas toujours totalement adapté aux souches du virus qui circulent. Il est donc possible de contracter la grippe tout en étant vacciné.

Une étude menée dans la population de la ville à l’issue de la période hivernale a permis de constater que :

  • \( 39 \) % de la population est vaccinée.
  • \( 6 \) % des personnes vaccinées ont contracté la grippe.
  • \( 22 \) % de la population a contracté la grippe.

On choisit une personne au hasard dans la population de la ville et on considère les événements :

  • V : « la personne est vaccinée contre la grippe ».
  • G : « la personne a contracté la grippe ».
Donner la probabilité de l’événement \( G \).
Compléter l’arbre de probabilités donné.
{"V": {"G": {"value": " "}, "\\overline{G}": {"value": " "}, "value": " "}, "\\overline{V}": {"G": {"hide": "true", "value": " "}, "\\overline{G}": {"hide": "true", "value": " "}, "value": " "}}
Déterminer la probabilité que la personne choisie soit vaccinée et ait contracté la grippe.
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \) près.
Considérons le cas d'une personne non vaccinée. Déterminer la probabilité que la personne choisie ait contracté la grippe.
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \) près.

Partie B

Un laboratoire pharmaceutique mène une étude sur la vaccination contre la grippe dans cette ville.
Après la période hivernale, on interroge au hasard \( n \) habitants de la ville, en admettant que ce choix se ramène à \( n \) tirages successifs indépendants et avec remise.
On suppose que la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la ville soit vaccinée contre la grippe est égale à \( 0,39 \). On note \( X \) la variable aléatoire égale au nombre de personnes vaccinées parmi les \( n \) interrogées.

Déterminer la probabilité qu’exactement \( 16 \) des \( 30 \) personnes interrogées soient vaccinées.
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \) près.
Déterminer la probabilité qu'au moins la moitié des personnes interrogées soit vaccinée.
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \) près.

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