Préparation au Bac 2025

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé \((O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}; \overrightarrow{k})\) d’unité \(1\) \(\text{cm}\), on considère les points suivants : \(J(4; 8; 12)\), \(K(0; 16; 12)\), \(L(-44; -16; -24)\)

Dans la suite, \(T\) désigne le point de coordonnées \((-3; 4; 6)\).

On rappelle que le volume \(V\) d’un tétraèdre est donné par la formule :

\(V = \frac{1}{3} B \times h\) où \(B\) désigne l’aire d’une base et \(h\) la hauteur correspondante.

La directrice d'une école souhaite réaliser une étude auprès des étudiants qui ont passé l'examen de fin d'étude, pour analyser la façon dont ils pensent avoir réussi cet examen.

Pour cette étude, on demande aux étudiants à l'issue de l'examen de répondre de manière individuelle à la question : « Pensez-vous avoir réussi l'examen ? ». Seules les réponses « oui » ou « non » sont possibles, et on observe que \( 92\mbox{,}3 \) % des étudiants interrogés ont répondu « oui ».

On interroge au hasard un étudiant qui a passé l'examen.

1.On note \( R \) l'événement « l'étudiant a réussi l'examen » et \( Q \) l'événement « l'étudiant a répondu « oui » à la question ».
Pour un événement \( A \) quelconque, on note \( \text{P}(A) \) sa probabilité et \( \overline{A} \) son évènement contraire.

2. On note \( x \) la probabilité que l'étudiant interrogé ait réussi l'examen.

3. L'étudiant interrogé a répondu « oui » à la question.

4. La note obtenue par un étudiant interrogé au hasard est un nombre entier entre 0 et 20. On suppose qu'elle est modélisée par une variable aléatoire \( \text{N} \) qui suit la loi binomiale de paramètres \( (20 ; 0\mbox{,}605) \). La directrice souhaite attribuer une récompense aux étudiants ayant obtenu les meilleurs résultats.

5. On interroge au hasard dix étudiants.
Les variables aléatoires \( \text{N}_{1},\text{N}_{2},…,\text{N}_{10} \) modélisent la note sur 20 obtenue à l'examen par chacun des étudiants. On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale avec les paramètres \( n=20 \) et \( p=0\mbox{,}605 \).
Soit \( S \) la variable aléatoire définie par \( \text{S}=\text{N}_{1}+\text{N}_{2}+…+\text{N}_{10} \).

6. On considère la variable aléatoire \( \text{M} = \frac{\text{S}}{10} \).

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points suivants :
\[ A\left(-2;3;3\right), B\left(-5;0;3\right), C\left(-5;-5;-1\right), D\left(-4;-4;-1\right) \text{ et } H\left(-2;8;7\right) \]

On suppose que le plan \( (EFG) \) a pour équation cartésienne \( x + 12y + 8z -\:150 = 0 \).

Partie A
Dans un repère orthonormé \( (O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \) de l'espace, on considère le plan \((P)\) d'équation :
\[-4x - y + z + 2 = 0\]
On consière les trois points \(A\), \(B\) et \(C\) de coordonnées :
\[A(3 ; -5 ; 5), B(2 ; -3 ; 3), C(-4 ; -1 ; -1) \]
Le but de cet exercice est d'étudier le rapport des aires entre un triangle et son projeté orthogonal dans un plan.

On admet l'existence d'un unique point H vérifiant les deux conditions :
\[ \left\{ \begin{array}{l} H \in (AB) \\ (AB) \perp (HC) \end{array} \right. \]

Partie B
On admet que les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{HC}\) sont : \( \overrightarrow{HC} = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \)

Partie C
On admet que \(HC' = \sqrt{2}\)

On admet que les droites \((C'H)\) et \((AB)\) sont perpendiculaires.

Un récipient contenant initialement \( 9 \) litres d’eau est laissé au soleil.
Toutes les heures, le volume d’eau diminue de \( 10 \) %.

On considère la suite \( (u_{n}) \) définie pour tout entier naturel \( n \) par : \[ \left\{\begin{matrix} u_{n+1} = 3 + \dfrac{3}{5}u_n \\ u_{0} = 4 \end{matrix}\right. \]

On considère la fonction \( f \) définie sur l'intervalle \( ]0;+\infty[ \) par : \[ f(x) = 3ln(6x) \]

On considère la fonction \( g \) définie sur l'intervalle \( ] \dfrac{1}{2};+\infty[ \) par : \[ g(x) = \dfrac{ln(2x)}{2x - 1} \]
On note \( C_g \) la courbe représentative de la fonction \( g \) dans un repère orthogonal.

Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction \( h \) définie sur l'intervalle \( ]0;2] \) par : \[ h(x) = 4x^{2}(1+2ln(x)) \]
On note \( C_h \) la courbe représentative de \( h \) dans un repère du plan.
On admet que \( h \) est deux fois dérivables sur l'intervalle \( ]0;2] \).
On note \( h' \) sa dérivée et \( h'' \) sa dérivée seconde.
On admet que, pour tout réel \( x \) de l'intervalle \( ]0;2] \), on a : \[ h'(x) = 16x(1+ln(x)) \]