Projeté orthogonal
Orthogonalité et distances dans l’espace - Mathématiques Spécialité
Exercice 1 : Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur une droite
Dans un repère orthonormé de l'espace, \( d \) est la droite qui passe par le point \( A \left(-1;-1;-1\right) \) et dont \( \overrightarrow{u} \left(3;-1;1\right) \) est un vecteur directeur. \( B \) est le point de coordonnées \( \left(2;-1;-3\right) \).
Déterminer une équation cartésienne du plan \( \mathcal{P} \) passant par \( B \) et orthogonal à \( d \).On répondra sous la forme d'un triplet \( (x;y;z) \).
Exercice 2 : Trouver des projetés orthogonaux et calculer des distances point-droite et point-plan
\(EFGHIJKL \) est un pavé droit. \(EF = 3\:\text{cm}\), \(EH = 9\:\text{cm}\), \(EI = 1\:\text{cm}\). \( M \) et \( N \) sont les centres respectifs des faces \( FGKJ \) et \( EHLI \). Le point \( O \) est le milieu du segmet \( [JF] \).
On donnera les valeurs exactes des distances sous la forme d'un entier, d'un décimal ou d'une racine carrée avec l'unité qui convient.
Exercice 3 : Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur un plan
Dans un repère orthonormé de l'espace, \( \mathcal{P} \) est le plan d'équation cartésienne \( x + 3y -3z -3=0 \) et \( A \) le point de coordonnées \( \left(3;-3;3\right) \).
Déterminer les coefficients d'une représentation paramétrique de la droite \[ \Delta : \left\{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & a_xt + b_x \\ y & = & a_yt + b_y \\ z & = & a_zt + b_z \end{array} \right.\quad t \in \mathbb{R} \] passant par \( A \) et orthogonale à \( \mathcal{P} \).On répondra sous forme d'un sextuplet \( (a_x ; a_y ; a_z ; b_x ; b_y ; b_z) \).
On répondra sous la forme d'un triplet \( (x; y; z) \).
Exercice 4 : Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur une droite
Dans un repère orthonormé de l'espace, \( d \) est la droite qui passe par le point \( A \left(1;3;-3\right) \) et dont \( \overrightarrow{u} \left(-3;-3;2\right) \) est un vecteur directeur. \( B \) est le point de coordonnées \( \left(-2;-1;3\right) \).
Déterminer une équation cartésienne du plan \( \mathcal{P} \) passant par \( B \) et orthogonal à \( d \).On répondra sous la forme d'un triplet \( (x;y;z) \).
Exercice 5 : Trouver des projetés orthogonaux et calculer des distances point-droite et point-plan
\(OPQRSTUV \) est un pavé droit. \(OP = 5\:\text{cm}\), \(OR = 1\:\text{cm}\), \(OS = 3\:\text{cm}\). \( W \) et \( X \) sont les centres respectifs des faces \( PQUT \) et \( ORVS \). Le point \( Y \) est le milieu du segmet \( [TP] \).
On donnera les valeurs exactes des distances sous la forme d'un entier, d'un décimal ou d'une racine carrée avec l'unité qui convient.
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