Utiliser le produit scalaire : Orthogonalité de deux vecteurs
Orthogonalité et distances dans l’espace - Mathématiques Spécialité
Exercice 1 : Calculer des coordonnées de vecteurs et utiliser le produit scalaire pour trouver des droites orthogonales
Dans un repère orthonormé, on considère les points \( A(-6;2;-3) \) ; \( B(-3;1;-2) \) ; \( C(4;3;-2) \) ; \( D(2;1;2) \) ; \( E(-3;3;1) \) et \( F(-4;0;1) \)
Exercice 2 : Déterminer si 2 vecteurs sont orthogonaux à partir de leur produit scalaire
Déterminer lesquels de ces 4 vecteurs sont orthogonaux
\[ \overrightarrow{t} (-3 ; 0 ; 0) \] \[ \overrightarrow{u} (1 ; 0 ; 1) \] \[ \overrightarrow{v} (0 ; 0 ; -2) \] \[ \overrightarrow{w} (1 ; -2 ; 0) \] Parmi les choix suivants, lesquels sont vrais?- A.\( \overrightarrow{t} \) et \( \overrightarrow{u} \) sont orthogonaux
- B.\( \overrightarrow{t} \) et \( \overrightarrow{v} \) sont orthogonaux
- C.\( \overrightarrow{t} \) et \( \overrightarrow{w} \) sont orthogonaux
- D.\( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) sont orthogonaux
- E.\( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{w} \) sont orthogonaux
- F.\( \overrightarrow{v} \) et \( \overrightarrow{w} \) sont orthogonaux
- G.aucun de ces vecteurs ne sont orthogonaux
Exercice 3 : Déterminer quelle droite est orthogonale à un plan défini par les coordonnées de trois points
Dans un repère orthonormé, on considère les points \( A(0;-5;-2) \) ; \( B(-3;-4;-4) \) et \( C(3;-6;3) \).
On note trois droites :
- \( (d_{1}) \) de vecteur directeur \( \overrightarrow{u} = \begin{bmatrix}
0\mbox{,}9 \\
-3\mbox{,}5 \\
-3\mbox{,}1
\end{bmatrix} \)
- \( (d_{2}) \) de vecteur directeur \( \overrightarrow{v} = \begin{bmatrix}
0\mbox{,}3 \\
0\mbox{,}9 \\
0
\end{bmatrix} \)
- \( (d_{3}) \) de vecteur directeur \( \overrightarrow{w} = \begin{bmatrix}
2\mbox{,}2 \\
-4\mbox{,}4 \\
-2\mbox{,}2
\end{bmatrix} \)
Exercice 4 : Calculer des coordonnées de vecteurs et utiliser le produit scalaire pour trouver des droites orthogonales
Dans un repère orthonormé, on considère les points \( A(-1;5;1) \) ; \( B(1;6;1) \) ; \( C(-6;0;2) \) ; \( D(-3;-6;-3) \) ; \( E(-1;0;5) \) et \( F(-2;2;2) \)
Exercice 5 : Déterminer si 2 vecteurs sont orthogonaux à partir de leur produit scalaire
Déterminer lesquels de ces 4 vecteurs sont orthogonaux
\[ \overrightarrow{t} (-2 ; -2 ; 1) \] \[ \overrightarrow{u} (-3 ; 2 ; 2) \] \[ \overrightarrow{v} (1 ; -1 ; -1) \] \[ \overrightarrow{w} (1 ; -1 ; 2) \] Parmi les choix suivants, lesquels sont vrais?- A.\( \overrightarrow{t} \) et \( \overrightarrow{u} \) sont orthogonaux
- B.\( \overrightarrow{t} \) et \( \overrightarrow{v} \) sont orthogonaux
- C.\( \overrightarrow{t} \) et \( \overrightarrow{w} \) sont orthogonaux
- D.\( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) sont orthogonaux
- E.\( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{w} \) sont orthogonaux
- F.\( \overrightarrow{v} \) et \( \overrightarrow{w} \) sont orthogonaux
- G.aucun de ces vecteurs ne sont orthogonaux
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