Loi binomiale : Avec un arbre

Probabilités : Loi binomiale - Mathématiques Spécialité

Exercice 1 : Arbre de probabilités, Tableau et espérance (exercice long)

On s’intéresse à la population masculine de la Moldavie. Nous savons qu'en 2010 il y avait \(1\:695\:289\) hommes et \(1\:877\:596\) femmes.
On sélectionne au hasard \(3\) personnes de ce pays, avec remise et de manière indépendante.
À chaque tirage, on regarde si la personne est un homme ou une femme.

On peut modéliser cette expérience aléatoire par \(n\) épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre \(p\), avec \(S\) le succès, c'est-à-dire que la personne tirée soit un homme, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire que la personne tirée ne soit pas un homme.

Calculer le paramètre \(p\) de la loi, la probabilité \(p(S)\) de succès de l'événement \(S\) « la personne tirée est un homme »
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
On décide donc de modéliser cette épreuve par une loi binomiale, de paramètres \(n = 3\) et \(p\). Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi.
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
Compléter le tableau de la loi de probabilité correspondante au nombre de fois où un homme a été tiré.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
{"data": [["0", "1", "2", "3"], ["?", "?", "?", "?"]], "header_left": ["Nombre de fois ou un homme a \u00e9t\u00e9 tir\u00e9", "Probabilit\u00e9"]}
En déduire l'espérance de cette loi.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

Exercice 2 : Arbre de probabilités - Dénombrement (2)

À l'occasion d'un jeu télévisé, une personne essaye de gagner une voiture. Pour cela, elle doit tirer exactement un ticket vert d'une urne contenant uniquement des tickets rouges et verts, et ce en 3 tirages. Les tirages sont avec remise et indépendants les uns des autres. La probabilité de tirer un ticket vert est de \(p = 0,3\). On décide donc de modéliser cette épreuve par une loi binomiale, de paramètres \(n = 3\) et \(p = 0,3\).Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi. On notera \(S\) le succès, c'est-à-dire tirer un ticket vert, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire tirer un ticket rouge d'une épreuve de Bernoulli de paramètre \(n\).
En déduire la probabilité de gagner la voiture.

Exercice 3 : Loi binomiale - construction d'arbre et coefficient binomial

On sélectionne au hasard 3 élèves d'une classe, avec remise et de manière indépendante. A chaque tirage, on regarde si l'élève est une fille ou un garçon. Il y a une probabilité \( p = 0,2 \) que ce soit un garçon. On peut modéliser cette expérience aléatoire par \(n\) épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre \(p\), avec \(S\) le succès, c'est-à-dire que la personne tirée soit un garçon, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire que la personne tirée ne soit pas un garçon. On peut donc affirmer que le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres \( n = 3 \) et \( p = 0,2 \).Dessiner l'arbre de probabilité représentant cette loi.
En comptant les branches de l'arbre, en déduire le coefficient binomial \( \binom{3}{1} \).

Exercice 4 : Loi binomiale - construction d'arbre

Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \(n = 3\) et \(p = 0,2\).
Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi, on notera \(S\) le succès et \(E\) l'échec d'une épreuve de Bernoulli de paramètre \(n\).

Exercice 5 : Arbre de probabilités, Tableau et espérance (exercice long)

On s’intéresse à la population masculine des Bahamas. Nous savons qu'en 2010 il y avait \(167\:646\) hommes et \(175\:231\) femmes.
On sélectionne au hasard \(3\) personnes de ce pays, avec remise et de manière indépendante.
À chaque tirage, on regarde si la personne est un homme ou une femme.

On peut modéliser cette expérience aléatoire par \(n\) épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre \(p\), avec \(S\) le succès, c'est-à-dire que la personne tirée soit un homme, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire que la personne tirée ne soit pas un homme.

Calculer le paramètre \(p\) de la loi, la probabilité \(p(S)\) de succès de l'événement \(S\) « la personne tirée est un homme »
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
On décide donc de modéliser cette épreuve par une loi binomiale, de paramètres \(n = 3\) et \(p\). Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi.
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
Compléter le tableau de la loi de probabilité correspondante au nombre de fois où un homme a été tiré.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
{"data": [["0", "1", "2", "3"], ["?", "?", "?", "?"]], "header_left": ["Nombre de fois ou un homme a \u00e9t\u00e9 tir\u00e9", "Probabilit\u00e9"]}
En déduire l'espérance de cette loi.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
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