Opérations sur les variables aléatoires

Probabilité : Somme de variables aléatoires - Mathématiques Spécialité

Exercice 1 : Définir les valeurs prises par une somme de variables aléatoires en Python

On considère la fonction generation définie en Python à l'aide d'une fonction randint qui prend deux entiers \( a\text{, }b \) en paramètres et renvoie un entier aléatoire \( r \) tel que \( a \leq r \leq b \).


    def generation():
        de_un = randint(4, 6)
        de_deux = randint(1, 8)
        de_trois = randint(0, 10)
        s = de_un + de_deux + de_trois
        return s
Quelle est la plus petite valeur que peut renvoyer la fonction generation ?
Quelle est la plus grande valeur que peut renvoyer la fonction generation ?

Exercice 2 : Comprendre les sommes de variables aléatoires

On considère deux variables aléatoires \( X \) et \( Y \) définies par les lois de probabilités suivantes :

\(x_i\)\(0\)\(1\)\(4\)
\(P(X=x_i)\)\(0,8\)\(0,05\)\(0,15\)

\(y_i\)\(3\)\(5\)
\(P(Y=y_i)\)\(0,75\)\(0,25\)
On définit \( Z = X + Y \).

Déterminer la loi de probabilité de Z.
La première ligne devra impérativement être ordonnée par ordre croissant.
{"data": [["?", "?", "?", "?", "?", "?"], ["?", "?", "?", "?", "?", "?"]], "header_left": ["\\(z_i\\)", "\\(P(Z = z_i)\\)"]}

Exercice 3 : Appliquer la propriété V(aX) = a^2V(X)

Soit \( I \) une variable aléatoire d'espérance \( E(I) = -2 \) et de variance \( V(I) = 8 \).
On définit la variable aléatoire \( J \) par \( J = -10I \).

Donner la valeur de la variance de cette variable aléatoire \( V(J) \).

Exercice 4 : Déterminer le min et le max d'une somme de variables aléatoires en Python

On considère le programme Python ci-dessous : 

from random import randint
def de():
    de_un = randint(6, 7)
    de_deux = randint(1, 9)
    de_trois = randint(3, 8)
    s = de_un + de_deux + de_trois
    return s

Quelle est la plus petite valeur que peut retourner la fonction de ?
Quelle est la plus grande valeur que peut retourner la fonction de ?

Exercice 5 : Somme de variables aléatoires suivant la loi de Bernoulli

On lance un dé à 4 faces équilibré. On définit \( X \) la variable aléatoire donnant le résultat du lancer de dé.

Déterminer la loi de probabilité de \( X \).
{"data": [["1", "2", "3", "4"], ["?", "?", "?", "?"]], "header_left": ["\\( x_i \\)", "\\( P(X=x_i) \\)"]}
Déterminer l'espérance de \( X \).
Déterminer la variance de \( X \).

On lance 4 fois le dé précédent et on définit \( Y \) la variable aléatoire donnant la somme des résultats des lancers successifs.

Déterminer l’espérance de \( Y \).
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