Opérations sur les variables aléatoires

Probabilité : Somme de variables aléatoires - Mathématiques Spécialité

Exercice 1 : Déterminer le min et le max d'une somme de variables aléatoires en Python

On considère le programme Python ci-dessous :

from random import randint
def de():
    de_un = randint(7, 10)
    de_deux = randint(5, 6)
    de_trois = randint(5, 5)
    s = de_un + de_deux + de_trois
    return s

Quelle est la plus petite valeur que peut retourner la fonction de ?

Quelle est la plus grande valeur que peut retourner la fonction de ?

Exercice 2 : Un problème concret de probabilités

À l’inscription d’un complexe sportif, la salle de remise en forme propose un tarif de \( 10 € \) par mois aux moins de 20 ans, \( 15 € \) aux retraités et \( 20 € \) pour les autres. On constate que \( 5 \) % des adhérents ont moins de 20 ans, et \( 20 \) % sont des retraités.
En complément, ils peuvent prendre un forfait mensuel pour profiter de la piscine, \( 5 € \) par mois pour un passage par semaine ou \( 10 € \) pour deux passages. On constate que \( 35 \) % des adhérents prennent un forfait un passage pour la piscine et \( 15 \) % prennent un forfait deux passages. Les autres se contentent de la salle de remise en forme.
On note \( X_1 \) la variable aléatoire donnant le prix payé pour la remise en forme.
On note \( X_2 \) la variable aléatoire donnant le prix payé pour la piscine.
On note \( X \) la variable aléatoire donnant le prix total payé par un adhérent.

Déterminer la loi de probabilité de \( X_1 \).
On remplira la première ligne par ordre croissant, sans préciser d'unité.

Déterminer la loi de probabilité de \( X_2 \).
On remplira la première ligne par ordre croissant, sans préciser d'unité.

Quelles sont les valeurs prises par \( X \) ?
On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble sans unités, par exemple \( \{1; 3 \} \).

Calculer \( P(X=30) \).
On donnera la valeur décimale exacte.

Déterminer la loi de probabilité de \( X \).
On remplira la première ligne par ordre croissant, sans préciser d'unité.

Exercice 3 : Somme de variables aléatoires en Python

On considère les fonctions suivantes définie en Python à l'aide d'une fonction randint qui prend deux entiers \( a\text{, }b \) en paramètres et renvoie un entier aléatoire \( r \) tel que \( a \leq r \leq b \).


        def simul1():
            alea = randint(1, 100)
            if alea <= 53:
                return -5
            if alea >= 77:
                return -3
            return 0

        def simul2():
            alea = randint(1, 10)
            if alea <= 3:
                return 1
            if alea > 6:
                return 2
            return 3

        def simul3():
            s = simul1() + simul2()
            return s

Donner la loi de probabilité de \( X_1 \) la variable aléatoire simulée par la fonction simul1.
On donnera les valeurs prises par la variable aléatoire dans l'ordre croissant.

Donner la loi de probabilité de \( X_2 \) la variable aléatoire simulée par la fonction simul2.
On donnera les valeurs prises par la variable aléatoire dans l'ordre croissant.

Donner la loi de probabilité de \( X_3 \) la variable aléatoire simulée par la fonction simul3.
On donnera les valeurs prises par la variable aléatoire dans l'ordre croissant.

Exercice 4 : Comprendre les sommes de variables aléatoires

On considère deux variables aléatoires \( X \) et \( Y \) définies par les lois de probabilités suivantes :

\(x_i\)	\(0\)	\(3\)	\(4\)
\(P(X=x_i)\)	\(0,55\)	\(0,35\)	\(0,1\)

\(y_i\)	\(0\)	\(4\)	\(5\)
\(P(Y=y_i)\)	\(0,4\)	\(0,45\)	\(0,15\)

On définit \( Z = X + Y \).

Déterminer la loi de probabilité de Z.
La première ligne devra impérativement être ordonnée par ordre croissant.

Exercice 5 : Situation concrète de somme de variables aléatoires

Une carte de grattage comporte deux cases.
La première case suit la loi de probabilité \( X \) suivante :

\(x_i\)	\(1 €\)	\(3 €\)	\(4 €\)
\(P(X=x_i)\)	\(0,1\)	\(0,8\)	\(0,1\)

La seconde case suit la loi de probabilité \( Y \) suivante :

\(y_i\)	\(0 €\)	\(4 €\)	\(5 €\)
\(P(Y=y_i)\)	\(0,45\)	\(0,3\)	\(0,25\)

Déterminer l'espérance de gain pour la première case à gratter.

Déterminer l'espérance de gain pour la seconde case.

Déterminer la loi de la variable aléatoire \( Z = X + Y \).
On remplira la première ligne par ordre croissant, sans préciser d'unité.

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