Les annales du Bac

L’objectif de cet exercice est d’étudier les trajectoires de deux sous-marins en phase de plongée.
On considère que ces sous-marins se déplacent en ligne droite, chacun à vitesse constante.
À chaque instant, exprimé en minutes, le premier sous-marin est repéré par le point \( S_{1}(t) \) et le second sous-marin est repéré par le point \( S_{2}(t) \) dans un repère orthonormé \( (O ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \) dont l’unité est le mètre.
Le plan défini par \( (O ; \vec{i}, \vec{j}) \) représente la surface de la mer. La cote \( z \) est nulle au niveau de la mer, négative sous l’eau.

On admet que, pour tout réel \( t \geq 0 \) le point \( S_{1}(t) \) a pour coordonnées : \[ \begin{cases}x_{t} = 170 -140t\\y_{t} = 190 -180t\\z_{t} = -130 -30t\end{cases} \]

On se place dans le plan vertical contenant la trajectoire du premier sous-marin.

Au début de l'observation, le second sous-marin est situé au point \( S_{2}(0) \) de coordonnées \( \left(-60; 10 ; -70 \right) \) et atteint au bout de \( 1 \) minutes le points \( S_{2}(1) \) de coordonnées \( \left(-70; 50 ; -130 \right) \) avec une vitesse constante.

Dans une usine, un four cuit des céramiques à la température de \( 975 \) °C.
À la fin de la cuisson, il est éteint et il refroidit.

On s’intéresse à la phase de refroidissement du four, qui débute dès l’instant où il est éteint.
La température du four est exprimée en degré Celsius (°C).
La porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques dès que sa température est inférieure à \( 43 \) °C. Sinon les céramiques peuvent se fissurer, voire se casser.

Partie A

Pour un nombre entier naturel \( n \), on note \( n_{T} \) la température en degré Celsius du four au bout de \( n \) heures écoulées à partir de l’instant où il a été éteint. On a donc \( T_{0} = 975 \)
La température \( n_{T} \) est calculée par l’algorithme suivant :

Partie B

Dans cette partie, on note \( t \) le temps (en heure) écoulé depuis l’instant où le four a été éteint. La température du four (en degré Celsius) à l’instant \( t \) est donnée par la fonction \( f \) définie, pour tout nombre réel \( t \) positif, par \( f(t) = ae^{- \dfrac{6}{25}t} + b \) où \( a \) et \( b \) sont deux nombres réels.

On admet que \( f \) vérifie la relation suivante : \( f'(t) + \dfrac{6}{25} \times f(t) = 6 \).

Le virus de la grippe atteint chaque année, en période hivernale, une partie de la population d’une ville.
La vaccination contre la grippe est possible ; elle doit être renouvelée chaque année.

Partie A

L’efficacité du vaccin contre la grippe peut être diminuée en fonction des caractéristiques individuelles des personnes vaccinées, ou en raison du vaccin, qui n’est pas toujours totalement adapté aux souches du virus qui circulent. Il est donc possible de contracter la grippe tout en étant vacciné.

Une étude menée dans la population de la ville à l’issue de la période hivernale a permis de constater que :

• \( 59 \) % de la population est vaccinée.
• \( 9 \) % des personnes vaccinées ont contracté la grippe.
• \( 16 \) % de la population a contracté la grippe.

On choisit une personne au hasard dans la population de la ville et on considère les événements :

• V : « la personne est vaccinée contre la grippe ».
• G : « la personne a contracté la grippe ».

Partie B

Un laboratoire pharmaceutique mène une étude sur la vaccination contre la grippe dans cette ville.
Après la période hivernale, on interroge au hasard \( n \) habitants de la ville, en admettant que ce choix se ramène à \( n \) tirages successifs indépendants et avec remise.
On suppose que la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la ville soit vaccinée contre la grippe est égale à \( 0,59 \). On note \( X \) la variable aléatoire égale au nombre de personnes vaccinées parmi les \( n \) interrogées.

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points suivants :
\[ A\left(-3;-4;-5\right), B\left(-4;-3;-2\right), C\left(-2;-5;3\right), D\left(-4;-2;4\right) \text{ et } H\left(-3;-4;-2\right) \]

On suppose que le plan \( (EFG) \) a pour équation cartésienne \( x -2y -6z -17 = 0 \).

La directrice d'une école souhaite réaliser une étude auprès des étudiants qui ont passé l'examen de fin d'étude, pour analyser la façon dont ils pensent avoir réussi cet examen.

Pour cette étude, on demande aux étudiants à l'issue de l'examen de répondre de manière individuelle à la question : « Pensez-vous avoir réussi l'examen ? ». Seules les réponses « oui » ou « non » sont possibles, et on observe que \( 88\mbox{,}6 \) % des étudiants interrogés ont répondu « oui ».

On interroge au hasard un étudiant qui a passé l'examen.

1.On note \( R \) l'événement « l'étudiant a réussi l'examen » et \( Q \) l'événement « l'étudiant a répondu « oui » à la question ».
Pour un événement \( A \) quelconque, on note \( \text{P}(A) \) sa probabilité et \( \overline{A} \) son évènement contraire.

2. On note \( x \) la probabilité que l'étudiant interrogé ait réussi l'examen.

3. L'étudiant interrogé a répondu « oui » à la question.

4. La note obtenue par un étudiant interrogé au hasard est un nombre entier entre 0 et 20. On suppose qu'elle est modélisée par une variable aléatoire \( \text{N} \) qui suit la loi binomiale de paramètres \( (20 ; 0\mbox{,}61) \). La directrice souhaite attribuer une récompense aux étudiants ayant obtenu les meilleurs résultats.

5. On interroge au hasard dix étudiants.
Les variables aléatoires \( \text{N}_{1},\text{N}_{2},…,\text{N}_{10} \) modélisent la note sur 20 obtenue à l'examen par chacun des étudiants. On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale avec les paramètres \( n=20 \) et \( p=0\mbox{,}61 \).
Soit \( S \) la variable aléatoire définie par \( \text{S}=\text{N}_{1}+\text{N}_{2}+…+\text{N}_{10} \).

6. On considère la variable aléatoire \( \text{M} = \frac{\text{S}}{10} \).