Les annales du bac

On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module.

Afin de déterminer une valeur approchée de l'aire de la partie à peindre, on considère dans le repère \( (O, I, J) \) du plan de face, les points \(B_{k} \left( 1k, f(1k) \right) \) pour \(k\) variant de 0 à 25.
Ainsi, \( B_0 = B \).
On décide d'approcher l'arc de la courbe \( \mathscr{C} \) allant de \( B_k \) à \( B_{k+1} \) par le segment \( \left[ B_k B_{k+1} \right] \).
Ainsi l'aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type \(B_k B_{k+1} B'_{k+1} B'_k\) (voir figure ci-dessous).

Quelle expression doit compléter la boucle "Pour" ? (Ligne [A])

On considère l'équation (E) à résoudre dans \( \mathbb{Z} \) : \[ -11y + 7x = 1 \]

Donner, sous la forme d'un couple \( \left(x \ ; y \right) \) une solution évidente de (E).

Réécrire l'équation (E) sous la forme \( a(x + b) = c(y + d) \) où \( a \), \( b \), \( c \) et \( d \) sont des entiers.

Soit \( k \in \mathbb{Z} \). Donner sous la forme d'un couple \( \left(x \ ; y \right) \) une solution de (E) dépendant de \( k \).

Une boîte contient 35 jetons, des rouges, des verts et des blancs. Sur les 35 jetons, il y a \( x \) jetons rouges et \( y \) jetons verts.
Sachant que \( -11y + 7x = 1 \), donner, sous la forme d'un triplet \( \left( x \ ; y \ ; z \right) \) le nombre de jetons rouges, verts et blancs et sachant que l'on cherche à maximiser le nombre de jetons verts.

Dans la suite, on supposera qu'il y a 8 jetons rouges et 5 jetons verts.

On considère la marche aléatoire suivante d'un pion sur un triangle ABC. À chaque étape, on tire au hasard un des jetons parmi les 35, puis on le remet dans la boîte.

• Lorsqu'on est en A :
  Le pion va en B si le jeton tiré est vert. Il va en C si le jeton tiré est rouge. Enfin, il reste en A si le jeton tiré est blanc.
• Lorsqu'on est en B :
  Le pion va en A si le jeton tiré est vert. Il va en C si le jeton tiré est rouge. Enfin, il reste en B si le jeton tiré est blanc.
• Lorsqu'on est en C :
  Le pion va en A si le jeton tiré est vert. Il va en B si le jeton tiré est rouge. Enfin, il reste en C si le jeton tiré est blanc.

Au départ, le pion est sur le sommet A.

Pour tout entier naturel \( n \), on note \( a_{n} \), \( b_{n} \) et \( c_{n} \) les probabilités que le pion soit respectivement sur les sommets A, B et C à l'étape \( n \).

On note \( X_{n} \) la matrice ligne \( \begin{pmatrix} a_{n} & b_{n} & c_{n} \end{pmatrix} \) et \( T \) la matrice \( \begin{pmatrix}0,63 & 0,14 & 0,23\\0,14 & 0,63 & 0,23\\0,14 & 0,23 & 0,63\end{pmatrix} \).

Donner la matrice ligne \( X_{0} \).

Établir une relation entre \( X_{n+1} \), \( X_{n} \) et \( T \).

On admet que \( T = PDP^{-1} \) où \( P^{-1} = \begin{pmatrix}0 & - \dfrac{1}{21} & \dfrac{1}{21}\\- \dfrac{1}{18} & \dfrac{1}{18} & 0\\\dfrac{5}{18} & \dfrac{43}{126} & \dfrac{8}{21}\end{pmatrix} \) et \( D = \begin{pmatrix}0,4 & 0 & 0\\0 & 0,49 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} \).

À l'aide de la calculatrice, donner les coefficients de la matrice P.

Écrire la relation qui lie \( T^n \), \( P \), \( P^{-1} \) et \( D^n \).

Donner directement les coefficients de la matrice \( D^n \).

On note \( \alpha_n \), \( \beta_n \), \( \gamma_n \) les coefficients de la première ligne de la matrice \( T^n \). Ainsi : \[ T^{n} = \begin{pmatrix} \alpha_n & \beta_n & \gamma_n \\ ... & ... & ... \\ ... & ... & ... \end{pmatrix} \]

On admet que \( \alpha_n = \dfrac{5}{18} + \dfrac{13}{18} \times 17^{n} \times 35^{- n} \) et \( \beta_n = \dfrac{43}{126} - \dfrac{13}{18}\left(\dfrac{17}{35}\right)^{n} + \dfrac{8}{21}\left(\dfrac{2}{5}\right)^{n} \).

On ne cherchera pas à calculer les coefficients de la deuxième ligne ni ceux de la troisième ligne.
On rappelle que, pour tout entier naturel \( n \), \( X_n = X_0 T^n \).

Après avoir identifié la relation qui lie \( a_n \) à \( \alpha_n \) ainsi que celle qui lie \( b_n \) à \( \beta_n \), exprimer en fonction de \( n \) le nombre \( c_n \).

Déterminer les limites des suites \( (a_n) \), \( (b_n) \) et \( (c_n) \).
On donnera la réponse sous la forme d'un triplet de valeurs numériques \( ( l_a \ ; l_b \ ; l_c ) \).

Sur quel sommet a-t-on le plus de chance de se retrouver après un grand nombre d'itérations de cette marche aléatoire ?

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \( ( O\ ; \overrightarrow{u} \ , \overrightarrow{v} ) \).
On considère les points \( B \), \( C \) et \( D \) d'affixes respectives \( b = -1 + i\sqrt{3} \),\( c = -1 - i\sqrt{3} \) et \( d = i - \sqrt{3} \).

Pour la suite de l'exercice, on pourra s'aider d'une figure où l'on placera les points \( B \), \( C \) et \( D \) et que l'on complétera au fur et à mesure de l'avancement des questions.
On considère maintenant les points \( B' \), \( C' \) et \( D' \) d'affixes respectives \( b' = b e^{\dfrac{2}{3}\pi i}\),\( c' = c e^{\dfrac{2}{3}\pi i}\), et \( d' = d e^{\dfrac{2}{3}\pi i}\).

Pour la suite, on admet que \( b' = -1 - i\sqrt{3} \) et \( d' = -2i \).
On admet également que si \(M\) et \(N\) sont deux points du plan d'affixes respectives \(m\) et \(n\) alors le milieu \(I\) du segment \( \left[ MN \right] \) a pour affixe \( \frac{m+n}{2} \) et la longueur \( MN \) est égale à \( \left| n-m \right| \).
On note \( u \), \( v \) et \( w \) les affixes des milieux respectifs \( U \), \( V \) et \( W \) des segments \( \left[ B' C \right] \), \( \left[ C' D \right] \) et \( \left[ D' B \right] \). On admet que \( w = \dfrac{1}{2}\left(-1 -2i + i\sqrt{3}\right) \).

Partie A

• la probabilité qu’une personne malade présente un test positif est 0,961 ;
• la probabilité qu’une personne saine présente un test positif est 0,005.

• \(M\) l’événement « la personne choisie est malade ».
• \(S\) l’événement « la personne choisie est saine ».
• \(P\) l’événement « le test est positif ».
• \(N\) l’événement « le test est négatif ».

Partie B