Les annales du bac

Pour aller plus loin (Ancien programme) - Mathématiques Spécialité

Exercice 1 : Bac S 2015 : Analyse, étude de fonctions

Une municipalité a décidé d'installer un module de skateboard dans un parc de la commune.
Le dessin ci-dessous en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères \( OAD'D \), \( DD'C'C \) et \( OAB'B \) sont des rectangles.
Le plan de la face \( (OBD) \) est muni d'un repère \( (O, \ I, \ J) \).
L'unité est le mètre. La largeur du module est de 16 mètres, autrement dit, \(DD' = 16\), sa longueur \(OD\) est de 25 mètres.


Le but du problème est de déterminer l'aire des différentes surfaces à peindre.
Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'une photo par la fonction f définie sur l'intervalle \( \left[0\ ; 25\right] \) par : \[ f : x \mapsto 29 -4x + \left(2 + x\right)\operatorname{ln}\left(2 + x\right) \] On note \(f '\) la fonction dérivée de la fonction \(f\) et \( \mathscr{C} \) la courbe représentative de la fonction \( f \) dans le repère \((O, I, J)\).

Calculer, pour tout réel \(x\) appartenant à l'intervalle \( \left[0\ ; 25\right] \), la valeur de \( f'(x) \).
Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \( \left[0\ ; 25\right] \).

Essais restants : 2

Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe \( \mathscr{C} \) au point d'abscisse \(0\).
La valeur absolue de ce coefficient est appelée l’inclinaison du module de skateboard au point \(B\).
On admet que la fonction \(g\) définie sur l'intervalle \( \left[0\ ; 25\right] \) par : \[ \dfrac{1}{4}\left(- x^{2} -4x + \left(8 + 2x^{2} + 8x\right)\operatorname{ln}\left(2 + x\right)\right) \] a pour dérivée la fonction \(g'\) définie sur l'intervalle \( \left[0\ ; 25\right] \) par : \[ \left(2 + x\right)\operatorname{ln}\left(2 + x\right) \]
Déterminer une primitive de la fonction \(f\) sur l’intervalle \( \left[0\ ; 25\right] \).
Les questions de cette partie sont indépendantes.Calculer la différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste.
On donnera la réponse avec une précision de \(10^{-1}\)
Calculer le rapport entre l'inclinaison de la piste en B et celle en C. On donnera la réponse avec une précision de \(10^{-1}\)
On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d'une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 2 \(\text{m}^{2}\) par litre.
Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.

On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module.

Afin de déterminer une valeur approchée de l'aire de la partie à peindre, on considère dans le repère \( (O, I, J) \) du plan de face, les points \(B_{k} \left( 1k, f(1k) \right) \) pour \(k\) variant de 0 à 25.
Ainsi, \( B_0 = B \).
On décide d'approcher l'arc de la courbe \( \mathscr{C} \) allant de \( B_k \) à \( B_{k+1} \) par le segment \( \left[ B_k B_{k+1} \right] \).
Ainsi l'aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type \(B_k B_{k+1} B'_{k+1} B'_k\) (voir figure ci-dessous).




Pour \(k\) variant de 0 à 24, exprimer en fonction de \(f(1k)\) et \(f(1\left(k + 1\right))\) la valeur de \(B_k B_{k+1}\).
Voici la structure d'un algorithme permettant de calculer la surface supérieure du module.
   Variables
   \(S\) est un nombre réel
   \(k\) est un entier naturel
   \(\operatorname{f}\) est une fonction définie par \(\operatorname{f}{\left (x \right )} = 29 -4 \times x + \left(2 + x\right) \times \operatorname{ln}\left(2 + x\right)\)
   Initialisation
   Affecter à \(S\) la valeur \(0\)
   Traitement
[A]Pour \(k\) allant de \(0\) à ... :
[B]Affecter à \(S\) la valeur ...
   Sortie
[C]Afficher « ... »

Les questions suivantes visent à compléter cet algorithme.

Quelle expression doit compléter la boucle "Pour" ? (Ligne [A])

Quelle est la valeur que prend \(S\) à chaque itération de \(K\) ? (Ligne [B])
Que faut-il afficher en fin d'algorithme ? (Ligne [C])

Exercice 2 : Bac S 2015 métropole - Exercice 3 (spécialité) - Matrices et probabilités

On considère l'équation (E) à résoudre dans \( \mathbb{Z} \) : \[ -11y + 7x = 1 \]

Donner, sous la forme d'un couple \( \left(x \ ; y \right) \) une solution évidente de (E).

Réécrire l'équation (E) sous la forme \( a(x + b) = c(y + d) \) où \( a \), \( b \), \( c \) et \( d \) sont des entiers.

Soit \( k \in \mathbb{Z} \). Donner sous la forme d'un couple \( \left(x \ ; y \right) \) une solution de (E) dépendant de \( k \).

Une boîte contient 35 jetons, des rouges, des verts et des blancs. Sur les 35 jetons, il y a \( x \) jetons rouges et \( y \) jetons verts.
Sachant que \( -11y + 7x = 1 \), donner, sous la forme d'un triplet \( \left( x \ ; y \ ; z \right) \) le nombre de jetons rouges, verts et blancs et sachant que l'on cherche à maximiser le nombre de jetons verts.

Dans la suite, on supposera qu'il y a 8 jetons rouges et 5 jetons verts.

On considère la marche aléatoire suivante d'un pion sur un triangle ABC. À chaque étape, on tire au hasard un des jetons parmi les 35, puis on le remet dans la boîte.

  • Lorsqu'on est en A :
    Le pion va en B si le jeton tiré est vert. Il va en C si le jeton tiré est rouge. Enfin, il reste en A si le jeton tiré est blanc.
  • Lorsqu'on est en B :
    Le pion va en A si le jeton tiré est vert. Il va en C si le jeton tiré est rouge. Enfin, il reste en B si le jeton tiré est blanc.
  • Lorsqu'on est en C :
    Le pion va en A si le jeton tiré est vert. Il va en B si le jeton tiré est rouge. Enfin, il reste en C si le jeton tiré est blanc.

Au départ, le pion est sur le sommet A.

Pour tout entier naturel \( n \), on note \( a_{n} \), \( b_{n} \) et \( c_{n} \) les probabilités que le pion soit respectivement sur les sommets A, B et C à l'étape \( n \).

On note \( X_{n} \) la matrice ligne \( \begin{pmatrix} a_{n} & b_{n} & c_{n} \end{pmatrix} \) et \( T \) la matrice \( \begin{pmatrix}0,63 & 0,14 & 0,23\\0,14 & 0,63 & 0,23\\0,14 & 0,23 & 0,63\end{pmatrix} \).

Donner la matrice ligne \( X_{0} \).

Établir une relation entre \( X_{n+1} \), \( X_{n} \) et \( T \).

On admet que \( T = PDP^{-1} \) où \( P^{-1} = \begin{pmatrix}0 & - \dfrac{1}{21} & \dfrac{1}{21}\\- \dfrac{1}{18} & \dfrac{1}{18} & 0\\\dfrac{5}{18} & \dfrac{43}{126} & \dfrac{8}{21}\end{pmatrix} \) et \( D = \begin{pmatrix}0,4 & 0 & 0\\0 & 0,49 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} \).

À l'aide de la calculatrice, donner les coefficients de la matrice P.

Écrire la relation qui lie \( T^n \), \( P \), \( P^{-1} \) et \( D^n \).

Donner directement les coefficients de la matrice \( D^n \).

On note \( \alpha_n \), \( \beta_n \), \( \gamma_n \) les coefficients de la première ligne de la matrice \( T^n \). Ainsi : \[ T^{n} = \begin{pmatrix} \alpha_n & \beta_n & \gamma_n \\ ... & ... & ... \\ ... & ... & ... \end{pmatrix} \]

On admet que \( \alpha_n = \dfrac{5}{18} + \dfrac{13}{18} \times 17^{n} \times 35^{- n} \) et \( \beta_n = \dfrac{43}{126} - \dfrac{13}{18}\left(\dfrac{17}{35}\right)^{n} + \dfrac{8}{21}\left(\dfrac{2}{5}\right)^{n} \).

On ne cherchera pas à calculer les coefficients de la deuxième ligne ni ceux de la troisième ligne.
On rappelle que, pour tout entier naturel \( n \), \( X_n = X_0 T^n \).

Après avoir identifié la relation qui lie \( a_n \) à \( \alpha_n \) ainsi que celle qui lie \( b_n \) à \( \beta_n \), exprimer en fonction de \( n \) le nombre \( c_n \).

Déterminer les limites des suites \( (a_n) \), \( (b_n) \) et \( (c_n) \).
On donnera la réponse sous la forme d'un triplet de valeurs numériques \( ( l_a \ ; l_b \ ; l_c ) \).

Sur quel sommet a-t-on le plus de chance de se retrouver après un grand nombre d'itérations de cette marche aléatoire ?

Exercice 3 : Bac S 2015 métropole - Exercice 3 - Nombres complexes

Résoudre dans l'ensemble \( \mathbb{C} \) des nombres complexes l'équation \((E)\) d'inconnue \(z\) : \[ 4 + z^{2} + 2z = 0 \] On écrira la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple \( \left\{ 1 ; 3 \right\}\) ou \( \left[ 2 ; 4 \right[ \)

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \( ( O\ ; \overrightarrow{u} \ , \overrightarrow{v} ) \).
On considère les points \( B \), \( C \) et \( D \) d'affixes respectives \( b = -1 + i\sqrt{3} \),\( c = -1 - i\sqrt{3} \) et \( d = i - \sqrt{3} \).

Calculer le module du nombre \( b \).
On donnera en réponse uniquement le résultat sans formatage particulier.
Calculer un argument du nombre \( b \).
On donnera en réponse uniquement le résultat sans formatage particulier.
Donner la forme exponentielle du nombre \( b \).
On donnera en réponse uniquement le résultat sous la forme exponentielle sans formatage particulier.
Donner la forme exponentielle du nombre \( c \).
On donnera en réponse uniquement le résultat sous la forme exponentielle sans formatage particulier.
Les points \( B \), \( C \) et \( D \) sont sur un même cercle \( \mathscr{C} \) de centre \(O\).
Quel est le rayon de ce cercle ?

Pour la suite de l'exercice, on pourra s'aider d'une figure où l'on placera les points \( B \), \( C \) et \( D \) et que l'on complétera au fur et à mesure de l'avancement des questions.
On considère maintenant les points \( B' \), \( C' \) et \( D' \) d'affixes respectives \( b' = b e^{\dfrac{2}{3}\pi i}\),\( c' = c e^{\dfrac{2}{3}\pi i}\), et \( d' = d e^{\dfrac{2}{3}\pi i}\).

Calculer l'affixe de \( c' \), sous forme polaire.
On donnera en réponse uniquement le résultat sans formatage particulier.
Calculer le module du nombre \( b' \).
On donnera en réponse uniquement le résultat sans formatage particulier.
Calculer un argument du nombre \( b' \).
On donnera en réponse uniquement le résultat sans formatage particulier.

Pour la suite, on admet que \( b' = -1 - i\sqrt{3} \) et \( d' = -2i \).
On admet également que si \(M\) et \(N\) sont deux points du plan d'affixes respectives \(m\) et \(n\) alors le milieu \(I\) du segment \( \left[ MN \right] \) a pour affixe \( \frac{m+n}{2} \) et la longueur \( MN \) est égale à \( \left| n-m \right| \).
On note \( u \), \( v \) et \( w \) les affixes des milieux respectifs \( U \), \( V \) et \( W \) des segments \( \left[ B' C \right] \), \( \left[ C' D \right] \) et \( \left[ D' B \right] \). On admet que \( w = \dfrac{1}{2}\left(-1 -2i + i\sqrt{3}\right) \).

Calculer \( u \).
On donnera en réponse uniquement le résultat sans formatage particulier.
Calculer également \( v \).
On donnera en réponse uniquement le résultat sans formatage particulier.
Quelle est la nature du triangle \( U V W \) ?

Exercice 4 : Bac S 2014 métropole - Exercice 2 - Probabilités

Partie A

Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de dépistage de diverses maladies. Son service de communication met en avant les caractéristiques suivantes :
  • la probabilité qu’une personne malade présente un test positif est 0,961 ;
  • la probabilité qu’une personne saine présente un test positif est 0,005.
Pour une maladie qui vient d’apparaître, le laboratoire élabore un nouveau test. Une étude statistique permet d’estimer que le pourcentage de personnes malades parmi la population d’une métropole est égal à 0,6%. On choisit au hasard une personne dans cette population et on lui fait subir le test.
On note :
  • \(M\) l’événement « la personne choisie est malade ».
  • \(S\) l’événement « la personne choisie est saine ».
  • \(P\) l’événement « le test est positif ».
  • \(N\) l’événement « le test est négatif ».
Traduire l’énoncé sous la forme d’un arbre pondéré.
Calculer \(p(P)\).
On arrondira la probabilité à \(10^{-3}\) près.
Si le test est positif, quelle est la probabilité que la personne soit malade ?
On arrondira la probabilité à \(10^{-3}\) près.
Le laboratoire décide de commercialiser le test dès lors que la probabilité qu’une personne testée positivement soit malade est supérieure ou égale à 0,95. On désigne par \(x\) la proportion de personnes atteintes d'une certaine maladie dans la population. A partir de quelle valeur de \(x\) le laboratoire commercialise-t-il le test correspondant ?
On arrondira la proportion à \(10^{-3}\) près.

Partie B

La chaîne de production du laboratoire fabrique, en très grande quantité, le comprimé d’un médicament.Un comprimé est conforme si sa masse est comprise entre 1290 et 1310 mg. On admet que la masse en milligrammes d’un comprimé pris au hasard dans la production peut être modélisée par une variable aléatoire \(X\) qui suit la loi normale \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) de moyenne \(\mu = 1300\) et d'écart-type \(\sigma = 6\).Calculer la probabilité qu'un comprimé prélevé au hasard soit conforme.
On arrondira la probabilité à \(10^{-3}\) près.
Déterminer le plus petit entier positif \(h\) tel que \(p(1300 -h \leq X \leq 1300 + h) \gt 0,9\).
La chaîne de production a été réglée dans le but d’obtenir au moins 98% de comprimés conformes. Afin d’évaluer l’efficacité des réglages, on effectue un contrôle en prélevant un échantillon de 2000 comprimés dans la production. La taille de la production est supposée suffisamment grande pour que ce prélèvement puisse être assimilé à 2000 tirages successifs avec remise.
Le contrôle effectué a permis de dénombrer 38 comprimés non conformes sur l’échantillon prélevé.
Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la probabilité d'avoir un comprimé conforme.
On arrondira les bornes à \(10^{-3}\) près. Par exemple, \([0,2627 ; 0,6648]\) deviendra \([0,263 ; 0,665]\).
Les réglages de l'usine sont-ils bons ?

Exercice 5 : Bac S 2014 métropole - Exercice 3 - Equation complexe

On désigne par \((E)\) l'équation \(z^{4} + 81 = 0\), d'inconnue complexe \(z\).Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(Z^{2} + 81 = 0\).
On écrira sous la forme d'un ensemble, où les solutions sont sous la forme exponentielle.
On désigne par \(a\) le nombre complexe dont le module est égal à \(3\) et dont un argument est \(\dfrac{3\pi }{4}\).
Calculer \(a^{2}\) sous forme algébrique.
En déduire l'ensemble des solutions dans \(\mathbb{C}\) de l'équation \(z^{2} = -9i\).
On écrira sous la forme d'un ensemble, où les solutions sont sous la forme algébrique.
On admet que \((E)\) admet au plus quatre solutions. En remarquant que si \(z\) est solutions de \((E)\) alors \(\overline{z}\) l'est aussi, donner l'ensemble des solutions de \((E)\).
On écrira sous la forme d'un ensemble, où les solutions sont sous la forme algébrique.
Kwyk vous donne accès à plus de 8 000 exercices auto-corrigés en Mathématiques.
Nos exercices sont conformes aux programmes de l'Éducation Nationale de la 6e à la Terminale. Grâce à Kwyk, les élèves s'entraînent sur du calcul mental, des exercices d'arithmétique et de géométrie, des problèmes et des exercices d'application, des exercices d'algorithmique et de python, des annales du brevet des collèges et du baccalauréat. Nos exercices sont proposés sous forme de réponse libre et/ou de QCM.

Afin d'assurer un entraînement efficace et pertinent aux élèves, chaque exercice est généré avec des valeurs aléatoires. Les élèves peuvent s'entraîner grâce aux devoirs donnés sur Kwyk par leurs professeurs et aux devoirs générés par notre outil utilisant l'IA mais aussi grâce aux différents modules de travail en autonomie mis à disposition sur leur espace personnel. Pour les niveaux du collège, les élèves ont également accès à des cours constitués d'une partie théorique et d'une partie pratique.
Avec Kwyk, vous mettez toutes les chances du côté des élèves pour que les différents théorèmes, propriétés et définitions n'aient plus aucun secret pour eux.

En 2024, plus de 40 000 000 d'exercices ont été réalisés sur Kwyk en Mathématiques.
Exercices de Mathématiques : préparer les examens
Brevet des collèges | Baccalauréat
S'entraîner dans d'autres matières
Français | Physique-Chimie
False