Les annales du bac
Pour aller plus loin (Ancien programme) - Mathématiques Spécialité
Exercice 1 : Bac S 2015 : Analyse, étude de fonctions
Le dessin ci-dessous en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères \( OAD'D \), \( DD'C'C \) et \( OAB'B \) sont des rectangles.
Le plan de la face \( (OBD) \) est muni d'un repère \( (O, \ I, \ J) \).
L'unité est le mètre. La largeur du module est de 16 mètres, autrement dit, \(DD' = 16\), sa longueur \(OD\) est de 25 mètres.
Le but du problème est de déterminer l'aire des différentes surfaces à peindre.
Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'une photo par la fonction f définie sur l'intervalle \( \left[0\ ; 25\right] \) par : \[ f : x \mapsto 29 -4x + \left(2 + x\right)\operatorname{ln}\left(2 + x\right) \] On note \(f '\) la fonction dérivée de la fonction \(f\) et \( \mathscr{C} \) la courbe représentative de la fonction \( f \) dans le repère \((O, I, J)\).
Calculer, pour tout réel \(x\) appartenant à l'intervalle \( \left[0\ ; 25\right] \), la valeur de \( f'(x) \).
La valeur absolue de ce coefficient est appelée l’inclinaison du module de skateboard au point \(B\).
Déterminer une primitive de la fonction \(f\) sur l’intervalle \( \left[0\ ; 25\right] \).
On donnera la réponse avec une précision de \(10^{-1}\)
Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.
On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module.
Afin de déterminer une valeur approchée de l'aire de la partie à peindre,
on considère dans le repère \( (O, I, J) \) du plan de face, les points
\(B_{k} \left( 1k, f(1k) \right) \)
pour \(k\) variant de 0 à 25.
Ainsi, \( B_0 = B \).
On décide d'approcher l'arc de la courbe \( \mathscr{C} \) allant de
\( B_k \) à \( B_{k+1} \) par le segment \( \left[ B_k B_{k+1} \right] \).
Ainsi l'aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des
aires des rectangles du type \(B_k B_{k+1} B'_{k+1} B'_k\) (voir figure
ci-dessous).
Pour \(k\) variant de 0 à 24, exprimer en fonction de \(f(1k)\) et \(f(1\left(k + 1\right))\) la valeur de \(B_k B_{k+1}\).
Les questions suivantes visent à compléter cet algorithme.
Quelle expression doit compléter la boucle "Pour" ? (Ligne [A])
Exercice 2 : Bac S 2015 métropole - Exercice 3 (spécialité) - Matrices et probabilités
On considère l'équation (E) à résoudre dans \( \mathbb{Z} \) : \[ -11y + 7x = 1 \]
Donner, sous la forme d'un couple \( \left(x \ ; y \right) \) une solution évidente de (E).
Réécrire l'équation (E) sous la forme \( a(x + b) = c(y + d) \) où \( a \), \( b \), \( c \) et \( d \) sont des entiers.
Soit \( k \in \mathbb{Z} \). Donner sous la forme d'un couple \( \left(x \ ; y \right) \) une solution de (E) dépendant de \( k \).
Une boîte contient 35 jetons, des rouges, des verts et des blancs.
Sur les 35 jetons, il y a \( x \) jetons rouges et
\( y \) jetons verts.
Sachant que \( -11y + 7x = 1 \),
donner, sous la forme d'un triplet \( \left( x \ ; y \ ; z \right) \)
le nombre de jetons rouges, verts et blancs et sachant que l'on cherche
à maximiser le nombre de jetons verts.
Dans la suite, on supposera qu'il y a 8 jetons rouges et 5 jetons verts.
On considère la marche aléatoire suivante d'un pion sur un triangle ABC. À chaque étape, on tire au hasard un des jetons parmi les 35, puis on le remet dans la boîte.
- Lorsqu'on est en A :
Le pion va en B si le jeton tiré est vert. Il va en C si le jeton tiré est rouge. Enfin, il reste en A si le jeton tiré est blanc. - Lorsqu'on est en B :
Le pion va en A si le jeton tiré est vert. Il va en C si le jeton tiré est rouge. Enfin, il reste en B si le jeton tiré est blanc. - Lorsqu'on est en C :
Le pion va en A si le jeton tiré est vert. Il va en B si le jeton tiré est rouge. Enfin, il reste en C si le jeton tiré est blanc.
Au départ, le pion est sur le sommet A.
Pour tout entier naturel \( n \), on note \( a_{n} \), \( b_{n} \) et \( c_{n} \) les probabilités que le pion soit respectivement sur les sommets A, B et C à l'étape \( n \).
On note \( X_{n} \) la matrice ligne \( \begin{pmatrix} a_{n} & b_{n} & c_{n} \end{pmatrix} \) et \( T \) la matrice \( \begin{pmatrix}0,63 & 0,14 & 0,23\\0,14 & 0,63 & 0,23\\0,14 & 0,23 & 0,63\end{pmatrix} \).
Donner la matrice ligne \( X_{0} \).
Établir une relation entre \( X_{n+1} \), \( X_{n} \) et \( T \).
On admet que \( T = PDP^{-1} \) où \( P^{-1} = \begin{pmatrix}0 & - \dfrac{1}{21} & \dfrac{1}{21}\\- \dfrac{1}{18} & \dfrac{1}{18} & 0\\\dfrac{5}{18} & \dfrac{43}{126} & \dfrac{8}{21}\end{pmatrix} \) et \( D = \begin{pmatrix}0,4 & 0 & 0\\0 & 0,49 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} \).
À l'aide de la calculatrice, donner les coefficients de la matrice P.
Écrire la relation qui lie \( T^n \), \( P \), \( P^{-1} \) et \( D^n \).
Donner directement les coefficients de la matrice \( D^n \).
On note \( \alpha_n \), \( \beta_n \), \( \gamma_n \) les coefficients de la première ligne de la matrice \( T^n \). Ainsi : \[ T^{n} = \begin{pmatrix} \alpha_n & \beta_n & \gamma_n \\ ... & ... & ... \\ ... & ... & ... \end{pmatrix} \]
On admet que \( \alpha_n = \dfrac{5}{18} + \dfrac{13}{18} \times 17^{n} \times 35^{- n} \) et \( \beta_n = \dfrac{43}{126} - \dfrac{13}{18}\left(\dfrac{17}{35}\right)^{n} + \dfrac{8}{21}\left(\dfrac{2}{5}\right)^{n} \).
On ne cherchera pas à calculer les coefficients de la deuxième ligne ni
ceux de la troisième ligne.
On rappelle que, pour tout entier naturel \( n \), \( X_n = X_0 T^n \).
Après avoir identifié la relation qui lie \( a_n \) à \( \alpha_n \) ainsi que celle qui lie \( b_n \) à \( \beta_n \), exprimer en fonction de \( n \) le nombre \( c_n \).
Déterminer les limites des suites \( (a_n) \), \( (b_n) \) et
\( (c_n) \).
On donnera la réponse sous la forme d'un triplet de valeurs numériques
\( ( l_a \ ; l_b \ ; l_c ) \).
Sur quel sommet a-t-on le plus de chance de se retrouver après un grand nombre d'itérations de cette marche aléatoire ?
Exercice 3 : Bac S 2015 métropole - Exercice 3 - Nombres complexes
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \( ( O\ ; \overrightarrow{u} \ ,
\overrightarrow{v} ) \).
On considère les points \( B \), \( C \) et \( D \)
d'affixes respectives \( b = -1 + i\sqrt{3} \),\( c =
-1 - i\sqrt{3} \) et \( d = i - \sqrt{3} \).
On donnera en réponse uniquement le résultat sans formatage particulier.
On donnera en réponse uniquement le résultat sans formatage particulier.
On donnera en réponse uniquement le résultat sous la forme exponentielle sans formatage particulier.
On donnera en réponse uniquement le résultat sous la forme exponentielle sans formatage particulier.
Quel est le rayon de ce cercle ?
Pour la suite de l'exercice, on pourra s'aider d'une figure où l'on placera les points \(
B \), \( C \) et \( D \) et que l'on complétera au fur et à
mesure de l'avancement des questions.
On considère maintenant les points \( B' \), \( C' \) et \( D' \)
d'affixes respectives \( b' = b e^{\dfrac{2}{3}\pi i}\),\( c' =
c e^{\dfrac{2}{3}\pi i}\), et \( d' = d e^{\dfrac{2}{3}\pi i}\).
On donnera en réponse uniquement le résultat sans formatage particulier.
On donnera en réponse uniquement le résultat sans formatage particulier.
On donnera en réponse uniquement le résultat sans formatage particulier.
Pour la suite, on admet que \( b' = -1 - i\sqrt{3} \) et \(
d' = -2i \).
On admet également que si \(M\) et \(N\) sont deux points du plan d'affixes respectives
\(m\) et \(n\) alors le milieu \(I\) du segment \( \left[ MN \right] \) a pour affixe \(
\frac{m+n}{2} \) et la longueur \( MN \) est égale à \( \left| n-m \right| \).
On note \( u \), \( v \) et \( w \) les affixes
des milieux respectifs \( U \), \( V \) et \( W \) des
segments \( \left[ B' C \right] \), \( \left[ C' D \right] \) et \(
\left[ D' B \right] \). On admet que \( w = \dfrac{1}{2}\left(-1 -2i + i\sqrt{3}\right) \).
On donnera en réponse uniquement le résultat sans formatage particulier.
On donnera en réponse uniquement le résultat sans formatage particulier.
Exercice 4 : Bac S 2014 métropole - Exercice 2 - Probabilités
Partie A
Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de dépistage de diverses maladies. Son service de communication met en avant les caractéristiques suivantes :- la probabilité qu’une personne malade présente un test positif est 0,961 ;
- la probabilité qu’une personne saine présente un test positif est 0,005.
On note :
- \(M\) l’événement « la personne choisie est malade ».
- \(S\) l’événement « la personne choisie est saine ».
- \(P\) l’événement « le test est positif ».
- \(N\) l’événement « le test est négatif ».
On arrondira la probabilité à \(10^{-3}\) près.
On arrondira la probabilité à \(10^{-3}\) près.
On arrondira la proportion à \(10^{-3}\) près.
Partie B
La chaîne de production du laboratoire fabrique, en très grande quantité, le comprimé d’un médicament.Un comprimé est conforme si sa masse est comprise entre 1290 et 1310 mg. On admet que la masse en milligrammes d’un comprimé pris au hasard dans la production peut être modélisée par une variable aléatoire \(X\) qui suit la loi normale \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) de moyenne \(\mu = 1300\) et d'écart-type \(\sigma = 6\).Calculer la probabilité qu'un comprimé prélevé au hasard soit conforme.On arrondira la probabilité à \(10^{-3}\) près.
Le contrôle effectué a permis de dénombrer 38 comprimés non conformes sur l’échantillon prélevé.
Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la probabilité d'avoir un comprimé conforme.
On arrondira les bornes à \(10^{-3}\) près. Par exemple, \([0,2627 ; 0,6648]\) deviendra \([0,263 ; 0,665]\).
Exercice 5 : Bac S 2014 métropole - Exercice 3 - Equation complexe
On écrira sous la forme d'un ensemble, où les solutions sont sous la forme exponentielle.
Calculer \(a^{2}\) sous forme algébrique.
On écrira sous la forme d'un ensemble, où les solutions sont sous la forme algébrique.
On écrira sous la forme d'un ensemble, où les solutions sont sous la forme algébrique.
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