Les annales du bac

Pour aller plus loin (Ancien programme) - Mathématiques Spécialité

Exercice 1 : Bac S 2015 : Analyse, étude de fonctions

Une municipalité a décidé d'installer un module de skateboard dans un parc de la commune.
Le dessin ci-dessous en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères \( OAD'D \), \( DD'C'C \) et \( OAB'B \) sont des rectangles.
Le plan de la face \( (OBD) \) est muni d'un repère \( (O, \ I, \ J) \).
L'unité est le mètre. La largeur du module est de 20 mètres, autrement dit, \(DD' = 20\), sa longueur \(OD\) est de 10 mètres.


Le but du problème est de déterminer l'aire des différentes surfaces à peindre.
Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'une photo par la fonction f définie sur l'intervalle \( \left[0\ ; 10\right] \) par : \[ f : x \mapsto 18 -2x + \left(1 + x\right)\operatorname{ln}\left(1 + x\right) \] On note \(f '\) la fonction dérivée de la fonction \(f\) et \( \mathscr{C} \) la courbe représentative de la fonction \( f \) dans le repère \((O, I, J)\).

Calculer, pour tout réel \(x\) appartenant à l'intervalle \( \left[0\ ; 10\right] \), la valeur de \( f'(x) \).
Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \( \left[0\ ; 10\right] \).

Essais restants : 2

Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe \( \mathscr{C} \) au point d'abscisse \(0\).
La valeur absolue de ce coefficient est appelée l’inclinaison du module de skateboard au point \(B\).
On admet que la fonction \(g\) définie sur l'intervalle \( \left[0\ ; 10\right] \) par : \[ \dfrac{1}{4}\left(- x^{2} -2x + \left(2 + 2x^{2} + 4x\right)\operatorname{ln}\left(1 + x\right)\right) \] a pour dérivée la fonction \(g'\) définie sur l'intervalle \( \left[0\ ; 10\right] \) par : \[ \left(1 + x\right)\operatorname{ln}\left(1 + x\right) \]
Déterminer une primitive de la fonction \(f\) sur l’intervalle \( \left[0\ ; 10\right] \).
Les questions de cette partie sont indépendantes.Calculer la différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste.
On donnera la réponse avec une précision de \(10^{-1}\)
Calculer le rapport entre l'inclinaison de la piste en B et celle en C. On donnera la réponse avec une précision de \(10^{-1}\)
On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d'une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 9 \(\text{m}^{2}\) par litre.
Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.

On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module.

Afin de déterminer une valeur approchée de l'aire de la partie à peindre, on considère dans le repère \( (O, I, J) \) du plan de face, les points \(B_{k} \left( 1k, f(1k) \right) \) pour \(k\) variant de 0 à 10.
Ainsi, \( B_0 = B \).
On décide d'approcher l'arc de la courbe \( \mathscr{C} \) allant de \( B_k \) à \( B_{k+1} \) par le segment \( \left[ B_k B_{k+1} \right] \).
Ainsi l'aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type \(B_k B_{k+1} B'_{k+1} B'_k\) (voir figure ci-dessous).




Pour \(k\) variant de 0 à 9, exprimer en fonction de \(f(1k)\) et \(f(1\left(k + 1\right))\) la valeur de \(B_k B_{k+1}\).
Voici la structure d'un algorithme permettant de calculer la surface supérieure du module.
   Variables
   \(S\) est un nombre réel
   \(k\) est un entier naturel
   \(\operatorname{f}\) est une fonction définie par \(\operatorname{f}{\left (x \right )} = 18 -2 \times x + \left(1 + x\right) \times \operatorname{ln}\left(1 + x\right)\)
   Initialisation
   Affecter à \(S\) la valeur \(0\)
   Traitement
[A]Pour \(k\) allant de \(0\) à ... :
[B]Affecter à \(S\) la valeur ...
   Sortie
[C]Afficher « ... »

Les questions suivantes visent à compléter cet algorithme.

Quelle expression doit compléter la boucle "Pour" ? (Ligne [A])

Quelle est la valeur que prend \(S\) à chaque itération de \(K\) ? (Ligne [B])
Que faut-il afficher en fin d'algorithme ? (Ligne [C])

Exercice 2 : Bac S 2018 métropole - Exercice 2 Probabilité virus de la grippe

Le virus de la grippe atteint chaque année, en période hivernale, une partie de la population d’une ville.
La vaccination contre la grippe est possible ; elle doit être renouvelée chaque année.

Partie A

L’efficacité du vaccin contre la grippe peut être diminuée en fonction des caractéristiques individuelles des personnes vaccinées, ou en raison du vaccin, qui n’est pas toujours totalement adapté aux souches du virus qui circulent. Il est donc possible de contracter la grippe tout en étant vacciné.

Une étude menée dans la population de la ville à l’issue de la période hivernale a permis de constater que :

  • \( 61 \) % de la population est vaccinée.
  • \( 6 \) % des personnes vaccinées ont contracté la grippe.
  • \( 19 \) % de la population a contracté la grippe.

On choisit une personne au hasard dans la population de la ville et on considère les événements :

  • V : « la personne est vaccinée contre la grippe ».
  • G : « la personne a contracté la grippe ».
Donner la probabilité de l’événement \( G \).
Compléter l’arbre de probabilités donné.
{"V": {"G": {"value": " "}, "\\overline{G}": {"value": " "}, "value": " "}, "\\overline{V}": {"G": {"hide": "true", "value": " "}, "\\overline{G}": {"hide": "true", "value": " "}, "value": " "}}
Déterminer la probabilité que la personne choisie soit vaccinée et ait contracté la grippe.
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \) près.
Considérons le cas d'une personne non vaccinée. Déterminer la probabilité que la personne choisie ait contracté la grippe.
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \) près.

Partie B

Un laboratoire pharmaceutique mène une étude sur la vaccination contre la grippe dans cette ville.
Après la période hivernale, on interroge au hasard \( n \) habitants de la ville, en admettant que ce choix se ramène à \( n \) tirages successifs indépendants et avec remise.
On suppose que la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la ville soit vaccinée contre la grippe est égale à \( 0,61 \). On note \( X \) la variable aléatoire égale au nombre de personnes vaccinées parmi les \( n \) interrogées.

Déterminer la probabilité qu’exactement \( 14 \) des \( 38 \) personnes interrogées soient vaccinées.
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \) près.
Déterminer la probabilité qu'au moins la moitié des personnes interrogées soit vaccinée.
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \) près.

On interroge un échantillon de \( 3790 \) habitants de la ville, c’est-à-dire que l’on suppose ici que \( n = 3790 \).
On note \( Y \) la variable aléatoire définie par : \( \dfrac{X - 1520}{28} \).
On admet que la loi de probabilité de la variable aléatoire \( Y \) peut être approchée par la loi normale centrée réduite.

En utilisant cette approximation, déterminer la probabilité qu’il y ait entre \( 1435 \) et \( 1605 \) individus vaccinés dans l’échantillon interrogé.
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \) près.

Exercice 3 : Bac 2014 S métropole - Exercice 4 (Spécialité) - Suites et matrices

Un pisciculteur dispose de deux bassins A et B pour l’élevage de ses poissons.
Tous les ans à la même période :
  • - Il vide le bassin B et vend tous les poissons qu’il contenait et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B ;
  • - La vente de chaque poisson permet l’achat de trois petits poissons destinés au bassin A. Par ailleurs, le pisciculteur achète en plus \( 700 \) poissons pour le bassin A et \( 300 \) poissons pour le bassin B.

Pour tout entier naturel \( n \) supérieur ou égal à \( 1 \), on note respectivement \( a_n \) et \( b_n \) les effectifs de poissons des bassins A et B au bout de \( n \) années. En début de première année, le nombre de poissons du bassin A est \( a_0 = 500 \) et celui du bassin B est \( b_0 = 600 \).

Calculer \( a_1 \)
Calculer \( b_1 \)

On désigne par \( A \) et \( B \) les matrices telles que \( A = \begin{pmatrix}0 & 3\\1 & 0\end{pmatrix} \) et \( B = \begin{pmatrix}700\\300\end{pmatrix} \) et pour tout entier naturel \( n \), on pose \( X_n = \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix} \).

Écrire l'équation qui lie \( X_{n+1} \), \( X_n \), \( A \) et \( B \).
Déterminer les réels \( x \) et \( y \) tels que : \[ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} - B \]Déterminer \( x \).
Déterminer \( y \).
Pour tout entier naturel \( n \), on pose \( Yn = \begin{pmatrix}a_n + x=800 \\ b_n + y=500 \end{pmatrix} \).
Écrire l'équation qui lie \( Y_{n+1} \), \( Y_n \), \( A \) et \( B \).
Pour tout entier naturel \( n \), on pose \( Z_n = Y_{2n} \).
Écrire l'équation qui lie \( Z_{n+1} \), \( Z_n \), \( A \) et \( B \).
Calculer \( A^2 \).
Réécrire l'équation qui lie \( Z_{n+1} \) et \( Z_n \) sans \( A \) ni \( B \).
On admet que cette relation de récurrence permet de conclure que : \[ Y_{2n} = 3^{n} Y_0 \] \[ Y_{2n+1} = 3^{n} Y_1 \]En déduire, \( a_{2n} \) uniquement en fonction de \( n \).
Puis, \( a_{2n+1} \) uniquement en fonction de \( n \).

Exercice 4 : Bac S 2015 métropole - Exercice 1 - Combinatoire

Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d'achat à ses clients privilégiés. Chacun d'eux reçoit un bon d'achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant.
Les bons d'achats sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts.

Les bons d'achat verts prennent la valeur de 40 euros avec une probabilité égale à 0,09 ou des valeurs comprises entre 3 et 17 euros avec des probabilités non précisées ici.

De façon analogue, les bons d'achat rouges prennent les valeurs 40 ou 120 euros avec des probabilités respectivement égales à 0,15 et 0,1 ou des valeurs comprises entre 6 et 18 euros avec des probabilités non précisées ici.

Dans tout cet exercice, les résultats des probabilités seront arrondis à \(10^{-3}\) près.
Calculer la probabilité d'avoir un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 40 euros sachant qu'il est rouge.
Calculer la probabilité d'avoir un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 40 euros.

Dans un des magasins de cette chaîne, sur 225 clients privilégiés, 41 ont reçu un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 40€.
Le directeur du magasin considéré estime que ce nombre est trop important et doute de la répartition au hasard des bons d'achats dans les différents magasins de la chaîne.

Donner un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence de personnes ayant reçu un bon d'une valeur supérieure ou égale à 40€.
On arrondira les bornes à \(10^{-3}\) près. Par exemple, \([0,2627 ; 0,6648]\) deviendra \([0,263 ; 0,665]\).
Les doutes du directeur sont-ils justifiés ?

Exercice 5 : Bac S 2018 Afrique - Exercice 1 - Taux de CO2

Dans une usine, on se propose de tester un prototype de hotte aspirante pour un local industriel.
Avant de lancer la fabrication en série, on réalise l'expérience suivante : dans un local clos équipé du prototype de hotte aspirante, on diffuse du dioxyde de carbone (\( CO_2 \)) à débit constant.

Dans ce qui suit, \( t \) est le temps exprimé en minutes.

À l'instant \( t = 0\), la hotte est mise en marche et on la laisse fonctionner pendant \( 20 \) minutes. Les mesures réalisées permettent de modéliser le taux (en pourcentage) de \( CO_2 \) contenu dans le local au bout de \( t \) minutes de fonctionnement de la hotte par l'expression \( f(t) \), où \( f \) est la fonction définie pour tout réel \( t \) de l'intervalle \( [0 ; 20] \) par : \[ f(t) = \left(0,8t + 0,2\right)e^{-0,7t} + 0,24 \] On donne ci-après le tableau de variation de la fonction \( f \) sur l'intervalle \( [0; 20]\).

{"n_intervals": 2, "edges": [0, "1,18", 20], "has_edges": false, "signe": ["+", "-"], "signe_values": [0], "variations_values": ["0,44", "?", "?"], "variations": ["+", "-"]}

Ainsi, la valeur \( f(0) = 0,44 \) traduit le fait que le taux de \( CO_2 \) à l'instant \( 0 \) est égal à \( 44\%% \).

Calculer \( f(20) \).
On arrondira le résultat au millième.
Déterminer le taux maximal de \( CO_2 \) présent dans le local pendant l'expérience.
On arrondira le résultat à \( 0,1 \% \)

On souhaite que le taux de \( CO_2 \) retrouve une valeur \( V \) inférieure ou égale à \( 37\%% \).
On considère l'algorithme suivant :

\(t\) ← \(1,2\)
\(p\) ← \(0,1\)
\(V\) ← \(0,741\)
Tant que \(V \gt 0,37\) :
\(t\) ← \(t + p\)
\(V\) ← \(\left(0,8 \times t + 0,2\right) \times e^{-0,7 \times t} + 0,24\)

Quelle est la valeur de la variable \( t \) à la fin de l'algorithme ?
En partant du taux maximal de \( CO_2 \) à \( 1,2 \) minute, en progressant par paliers de \( 0,1 \) minute, à quel instant \( t\) obtenons-nous un taux de \( CO_2 \) qui redescend en dessous de \( 37\%% \) ?
Exemple de réponse attendue : \( 0,1min \)

On désigne par \( V_m \) le taux moyen (en pourcentage) de \( CO_2 \) présent dans le local pendant les \( 14 \) premières minutes de fonctionnement de la hotte aspirante.

Soit \( F \) la fonction définie sur l'intervalle \( [0; 14 ] \) par : \[ F(t) = - \dfrac{94}{49}e^{- \dfrac{7}{10}t} + \dfrac{6}{25}t - \dfrac{8}{7}te^{- \dfrac{7}{10}t} \] Calculer la dérivée de \( F \).
En déduire le taux moyen \( V_m \), valeur moyenne de la fonction \( f \) sur l'intervalle \( [0; 14] \).
On arrondira le résultat à \( 0,1 \% \)
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