La géométrie dans l'espace

Pour aller plus loin (Ancien programme) - Mathématiques Spécialité

Exercice 1 : Equation cartésienne d'un plan, 3 points non alignés

Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\).
Soit le plan \(P\) défini par les points \(A\left(-1;-5;1\right)\), \(B\left(-1;1;-2\right)\) et \(C\left(6;2;-2\right)\).

Donner une équation cartésienne de \(P\).

Exercice 2 : Coordonnées de vecteurs orthogonaux

Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\).
Soit les vecteurs \(\vec{u} \left(x;2;3\right) \) et \(\vec{v} \left(-23;16;20\right) \).

Combien doit valoir \(x\) pour que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) soient orthogonaux ?

Exercice 3 : Déterminer les équations cartésienne et paramétrique d'un cercle

Soit \((O;\vec{i};\vec{j})\) un repère orthonormal du plan. Soit un point \(A (1;-4)\).
On nomme \(\mathcal{C}\) le cercle de centre \(A\) et de diamètre \(6\).

Déterminer une équation de \(\mathcal{C}\).
On donnera la réponse sous la forme d'une équation de cercle.

Laquelle des représentations paramétriques suivantes est une représentation paramétrique de \(\mathcal{C}\) ?

\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 1 + 6\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & -4 + 6\operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left]- \pi ; \pi \right] \)

\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 3 -4\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & 3 + \operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left[0; 2\pi \right[ \)

\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & -4 + 3\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & 1 + 3\operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left[0; 2\pi \right[ \)

\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 3 + \operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & 3 -4\operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left]- \pi ; \pi \right] \)

\( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 1 + 3\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & -4 + 3\operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\left]- \pi ; \pi \right] \)

Exercice 4 : Norme d'un vecteur dans un repère orthonormé

Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\).
Soit le vecteur \(\overrightarrow{AB} \left(4;-1;3\right) \).

Calculer la norme de \(\overrightarrow{AB}\).

Exercice 5 : Parmi les couples de vecteurs suivants, lesquels sont orthogonaux ?

Parmi les couples de vecteurs suivants, lesquels sont orthogonaux ?

A.\( \vec{u}\left(-1;-5;4\right) \text{ et }\vec{v}\left(-19;11;18\right) \)
B.\( \vec{u}\left(1;-2;2\right) \text{ et }\vec{v}\left(15;5;-3\right) \)
C.\( \vec{u}\left(-4;-1;-2\right) \text{ et }\vec{v}\left(-6;10;-14\right) \)
D.\( \vec{u}\left(-3;1;4\right) \text{ et }\vec{v}\left(-14;18;-15\right) \)

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