Annales du bac
Pour aller plus loin (Ancien programme) - Mathématiques Spécialité
Exemple d'exercice parmi les 278 exercices du chapitre
Une municipalité a décidé d'installer un module de skateboard dans un parc de la commune.
Le dessin ci-dessous en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères \(OAD'D\), \(DD'C'C\)
et \(OAB'B\) sont des rectangles.
Le plan de la face \((OBD)\) est muni d'un repère \((O, \ I, \ J)\).
L'unité est le mètre. La largeur du module est de \(19\:\text{m}\), autrement dit, \(DD' =
19\), sa longueur \(OD\) est de \(20\:\text{m}\).
Le but du problème est de déterminer l'aire des différentes surfaces à peindre.
Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'une photo par la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \(\left[0\ ; 20\right]\) par : \[ f : x \mapsto 14 -2x + \left(1 + x\right)\operatorname{ln}\left(1 + x\right) \] On note \(f '\) la fonction dérivée de la fonction \(f\) et \(\mathscr{C}\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans le repère \((O, I, J)\).
La valeur absolue de ce coefficient est appelée l’inclinaison du module de skateboard au point \(B\).
On admet que la fonction \(g\) définie sur l'intervalle \(\left[0\ ; 20\right]\) par : \[ \dfrac{1}{4}\left(- x^{2} -2x + \left(2 + 2x^{2} + 4x\right)\operatorname{ln}\left(1 + x\right)\right) \] a pour dérivée la fonction \(g'\) définie sur l'intervalle \(\left[0\ ; 20\right]\) par : \[ \left(1 + x\right)\operatorname{ln}\left(1 + x\right) \]
Les questions de cette partie sont indépendantes.
On donnera la réponse suivie de l'unité qui convient, avec une précision de \(10^{-1}\)
On donnera la réponse avec une précision de \(10^{-1}\)
On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d'une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de \(4\:\text{m}^{2} / \text{L}\).
On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module.
Afin de déterminer une valeur approchée de l'aire de la partie à peindre, on considère dans le repère \((O,
I, J)\) du plan de face, les points \(B_{k} (5k, f(5k))\)
pour \(k\) variant de 0 à 4.
Ainsi, \( B_0 = B \).
On décide d'approcher l'arc de la courbe \(\mathscr{C}\) allant de \(B_k\) à \(B_{k+1}\) par le segment
\([B_k B_{k+1}]\).
Ainsi l'aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type \(B_k
B_{k+1} B'_{k+1} B'_k\) (voir figure ci-dessous).
Voici la structure d'un algorithme permettant de calculer la surface supérieure du module.
Les questions suivantes visent à compléter cet algorithme.
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