Problèmes (sujets bac)

Limites de suites - Mathématiques Spécialité

Exercice 1 : Bac S 2013 métropole - Exercice 3 - Etude d'une suite

Soit \((u_n)\) la suite définie par : \[ (u_n) : \begin{cases} u_0 = 3\\ u_{n+1} = - \dfrac{9}{2} -6n - \dfrac{1}{3}u_n \end{cases} \]Calculer \(u_1\).
Calculer \(u_2\).
Calculer \(u_3\).
Calculer \(u_4\).
On peut conjecturer que :
Calculer \(u_{n+1} - u_n\)
On définit \(\left(v_n\right)\) la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par \[ v_n = u_n + \dfrac{9}{2}n \]Exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\)
Exprimer \(v_n\) uniquement en fonction de n.
Exprimer \(u_n\) uniquement en fonction de n.
Pour tout entier naturel non nul n, on pose : \[ S_n = \sum_{k=0}^n u_k = u_0 + u_1 + ... + u_n \] \[ T_n = \frac{S_n}{n^2} \]Exprimer \(S_n\) en fonction de n.
Déterminer la limite de la suite \(\left(T_n\right)\).

Exercice 2 : Bac ES 2014 métropole - Exercice 2 - Etude d'une suite

À l’automne 2021, Claude achète une maison à la campagne. Il dispose d’un terrain de \( 1900 m^2 \) entièrement engazonné.
Mais tous les ans, 60 % de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse.
Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de \( 66 m^2 \) et la remplace par du gazon.

Pour tout nombre entier naturel \( n \), on note \( u_n \) la surface en \( m^2 \) de terrain engazonné au bout de \( n \) années, c’est-à-dire à l’automne 2021 + \( n \).
On a donc \( u_0=1900 \).


Calculer \( u_1 \).
Écrire \( u_{n+1} \) en fonction de \( u_n \).

On considère la suite \( (v_n) \) définie pour tout nombre entier naturel \( n \) par : \( v_n = u_n - 110 \).

\( (v_n) \) est une suite géométrique. Donner sa raison.
Donner son premier terme.
Exprimer \( v_n \) en fonction de \( n \).
Exprimer \( u_n \) en fonction de \( n \).
Quelle est la surface de terrain engazonné au bout de 8 années ?
On donnera une réponse arrondie à \( 0,01 m^2 \) près.
Déterminer par le calcul la plus petite valeur de l’entier naturel \( n \) telle que :
\( 110 + 1790 \times 0,4^{n} \lt 122 \)
Calculer la limite de \( (u_n) \) quand \( n \to +\infty \).
Claude est certain que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalité de son terrain.
A-t-il raison ?

Exercice 3 : Bac 2012 Amérique du Sud, probabilités conditionnelles et suite géométrique

Manarie et Monica jouent à un jeu, toutes les deux ont la même probabilité de gagner la première partie. En revanche, si Manarie gagne une partie, la probabilité qu'elle gagne la suivante est \(0,6\) ; si elle perd, la probabilité qu'elle perde la suivante est \(0,5\).
\(n\) étant un entier naturel non nul, on note \(G_{n}\) l'événement : «Manarie gagne la n-ième partie».
Compléter l'arbre de probabilité correspondant à la situation.
{"G_{1}": {"G_{2}": {"intersection": " ", "value": " "}, "\\overline{G_{2}}": {"intersection": " ", "value": " "}, "value": " "}, "\\overline{G_{1}}": {"G_{2}": {"intersection": " ", "value": " "}, "\\overline{G_{2}}": {"intersection": " ", "value": " "}, "value": " "}}
Calculer la probabilité \(G_{2}\) noté \(P(G_{2})\)
Sachant que Manarie a gagné la deuxième partie, quelle est la probabilité qu'elle ait gagné la première ?
On suppose, ici, qu'elles font plusieurs parties. \(n\) étant un entier naturel non nul, on note : \(p_{n} = P(G_{n})\).

Exprimer \(p_{n + 1}\) en fonction de \(p_{n}\)
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose : \(v_{n} = p_{n} - 5/9\).
Exprimer \(v_{n + 1}\) en fonction de \(v_{n}\).
Exprimer \(v_{n}\) en fonction de \(n\).
Exprimer \(p_{n}\) en fonction de \(n\).
Déterminer la limite de la suite \(p_{n}\).

Exercice 4 : Bac ES 2015 métropole - Exercice 2 - Suites, algorithmique

Le fonctionnement de certaines centrales géothermiques repose sur l'utilisation de la chaleur du sous-sol. Pour pouvoir exploiter cette chaleur naturelle, il est nécessaire de creuser plusieurs puits suffisamment profonds.

Lors de la construction d'une telle centrale, on modélise le tarif pour le forage du premier puits par la suite \( (u_n) \), définie pour tout entier naturel \( n \) non nul, par : \[ u_n = 2000 \times 1,002^{n -1} \]

où \( u_n \) représente le coût en euros du forage de la \( n \)-ième dizaine de mètres.

On a ainsi \( u_1 = 2000 \) et \( u_2 = 2004 \), c'est-à-dire que le forage des dix premiers mètres coûte 2000 euros, et celui des dix mètres suivants coûte 2004 euros.Calculer \( u_3 \).
On donnera le résultat obtenu arrondi au centième.
Calculer le coût total de forage des 30 premiers mètres.
On donnera le résultat obtenu arrondi au centième.

Soit \( n \) un entier naturel non nul.

Exprimer \( u_{n+1} \) en fonction de \( u_n \).
Quelle est la nature de la suite \( (u_n) \) ?
En déduire le pourcentage d'augmentation du coût de forage de la \( (n+1) \)-ième dizaine de mètres par rapport à celui de la \( n \)-ième dizaine de mètres.
On considère l'algorithme ci-dessous :
Variables
\(u\) et \(S\) sont des nombres réels
\(i\) et \(n\) sont des entiers naturels
Initialisation
Affecter à \(u\) la valeur \(2000\)
Affecter à \(S\) la valeur \(2000\)
Entrée
Demander à l'utilisateur la valeur de \(n\)
Traitement
Pour \(i\) allant de \(2\) à \(n\) :
Affecter à \(u\) la valeur \(1,002 \times u\)
Affecter à \(S\) la valeur \(S + u\)
Afficher \(u\) arrondie au centième
Afficher \(S\) arrondie au centième

On fait fonctionner l'algorithme précédent en donnant \( 6 \) comme valeur à \( n \).

Résumer les résultats obtenus à chaque étape dans le tableau ci-dessous.
On utilisera des valeurs exactes pour toutes les étapes de calcul. En revanche pour remplir le tableau, on écrira des valeurs arrondies au centième.
{"data": [["", 2, "?", "?", "?", "?"], [2000, "?", "?", "?", "?", "?"], [2000, "?", "?", "?", "?", "?"]], "header_left": ["i", "u", "S"]}
Quelle est la valeur de \( S \) affichée en sortie ? On note cette valeur \( S_f \).
On donnera le résultat obtenu arrondi au centième.
À quoi correspond cette valeur dans le contexte de l'exercice ?

On note \( S_n = u_1 + u_2 + ... + u_n \) la somme des \( n \) premiers termes de la suite \( (u_n) \), \( n \) étant un entier naturel non nul.
On admet que : \[ S_n = -1000000 + 1000000 \times 500^{- n} \times 501^{n} \]
Le budget consenti pour le forage du premier puits est de 75000 euros. On souhaite déterminer la profondeur maximale du puits que l'on peut espérer avec ce budget.

Calculer la profondeur maximale par la méthode de votre choix (utilisation de la calculatrice, résolution d'une inéquation...).

Exercice 5 : Bac ST2S 2015 métropole - Exercice 2 - Étude d'une suite

Consommation d'antibiotiques

En l'an 2000, les ventes d'antibiotiques s'élevaient en France à 202 millions de boîtes. La consommation abusive d’antibiotiques s'est traduite par un développement des résistances bactériennes. Cette question préoccupe encore aujourd’hui les autorités sanitaires. En France, un plan national a été engagé en 2001 sur le thème «les antibiotiques, c'est pas automatique».
On a constaté que, de 2000 à 2015, la vente de boîtes d’antibiotiques en France a baissé chaque année de 5%. On suppose, dans cet exercice, que la baisse de 5% par an va se poursuivre jusqu’en 2100. On étudie ce modèle.

Le nombre de boîtes d’antibiotiques vendues sera exprimé en millions de boîtes, arrondi si nécessaire, à \( 10^{-3} \).
On modélise le nombre de boîtes d'antibiotiques vendues en France à l’aide d’une suite numérique \( (u_n) \).
On note \( u_0 \), le nombre (en millions) de boîtes d'antibiotiques vendues en France en l'an 2000.
Étant donné un entier naturel \( n \), on note \( u_n \) une estimation, dans le modèle choisi, du nombre (en millions) de boîtes d'antibiotiques vendues en France pendant l'année 2000 + \( n \).
On a donc \( u_0 = 202 \).

À combien de millions peut-on estimer le nombre de boîtes d'antibiotiques vendues en 2001 selon le modèle choisi ?
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \).
Quelle est la nature de la suite \( (u_n) \) ?
Déterminer sa raison.
Exprimer \( u_n \) en fonction de \( n \), pour tout entier naturel \( n \).
Résoudre l'inéquation : \[ 202 \times 0,95^{x} \leq 120 \]
On donnera la réponse exacte sous la forme \( x \leq ... \) ou \( x \geq ... \) et en utilisant, si nécessaire, le logarithme népérien.
En utilisant le modèle choisi, déterminer à partir de quelle année le nombre de boîtes d'antibiotiques vendues sera inférieur à 120 millions.
Revenir au choix du niveau
Kwyk vous donne accès à plus de 8 000 exercices auto-corrigés en Mathématiques.
Nos exercices sont conformes aux programmes de l'Éducation Nationale de la 6e à la Terminale. Grâce à Kwyk, les élèves s'entraînent sur du calcul mental, des exercices d'arithmétique et de géométrie, des problèmes et des exercices d'application, des exercices d'algorithmique et de python, des annales du brevet des collèges et du baccalauréat. Nos exercices sont proposés sous forme de réponse libre et/ou de QCM.

Afin d'assurer un entraînement efficace et pertinent aux élèves, chaque exercice est généré avec des valeurs aléatoires. Les élèves peuvent s'entraîner grâce aux devoirs donnés sur Kwyk par leurs professeurs et aux devoirs générés par notre outil utilisant l'IA mais aussi grâce aux différents modules de travail en autonomie mis à disposition sur leur espace personnel. Pour les niveaux du collège, les élèves ont également accès à des cours constitués d'une partie théorique et d'une partie pratique.
Avec Kwyk, vous mettez toutes les chances du côté des élèves pour que les différents théorèmes, propriétés et définitions n'aient plus aucun secret pour eux.

En 2024, plus de 40 000 000 d'exercices ont été réalisés sur Kwyk en Mathématiques.
Exercices de Mathématiques : préparer les examens
Brevet des collèges | Baccalauréat
S'entraîner dans d'autres matières
Français | Physique-Chimie
False