Déterminer les solutions d’une équation différentielle avec second membre
Équations différentielles - Mathématiques Spécialité
Exercice 1 : Résoudre une équation différentielle avec un second membre comportant une fonction exponentielle
Soit l’équation différentielle \( (E) : 2y' + 5y = 5xe^{x} \)
Déterminer les réels \( a \) et \( b \) tels que la fonction \( f_0 : x \mapsto (ax + b)e^x \) soit une solution
de \( (E) \).
Résoudre l’équation différentielle \( (E’) : 2y' + 5y = 0 \).
On donnera la réponse sous la forme \( y = f \left( x,C \right) \), avec \( f \) la forme générale de la solution et \(C \in \mathbb{R}\) une constante.
On donnera la réponse sous la forme \( y = f \left( x,C \right) \), avec \( f \) la forme générale de la solution et \(C \in \mathbb{R}\) une constante.
En déduire l’ensemble des solutions de \( (E) \).
On donnera la réponse sous la forme \( y = f \left( x,C \right) \), avec \( f \) la forme générale de la solution et \(C \in \mathbb{R}\) une constante.
On donnera la réponse sous la forme \( y = f \left( x,C \right) \), avec \( f \) la forme générale de la solution et \(C \in \mathbb{R}\) une constante.
Déterminer la solution \( h \) de l’équation \( (E) \) dont la représentation graphique admet au point d’abscisse
\( 0 \) une tangente de coefficient directeur \( 0 \).
Exercice 2 : Problème - Résoudre une équation différentielle avec un second membre de forme exponentielle
Soit l’équation différentielle \( (E) : y' + 0\mbox{,}8 y = 0\mbox{,}06e^{-0\mbox{,}5x} \)
Déterminer le réel \( a \) tel que la fonction \( f_0 \mapsto ae^{-0\mbox{,}5 x} \)
soit une solution de \( (E) \).
Résoudre l’équation différentielle \( (E’) : y' + 0\mbox{,}8y = 0 \).
On donnera la réponse sous la forme \( y = f \left( x,A \right) \), avec \( f \) la forme générale de la solution et \( A \in \mathbb{R} \) une constante.
On donnera la réponse sous la forme \( y = f \left( x,A \right) \), avec \( f \) la forme générale de la solution et \( A \in \mathbb{R} \) une constante.
En déduire l’ensemble des solutions de \( (E) \).
On donnera la réponse sous la forme \( y = f \left( x,A \right) \), avec \( f \) la forme générale de la solution et \( A \in \mathbb{R} \) une constante.
On donnera la réponse sous la forme \( y = f \left( x,A \right) \), avec \( f \) la forme générale de la solution et \( A \in \mathbb{R} \) une constante.
Déterminer l'expression de la fonction solution de \( (E) \) qui s'annule en \( x = 0 \).
Exercice 3 : Résolution d’équation différentielle avec un second membre comportant une fonction trigonométrique
Soit l’équation différentielle \( (E) : y' + y = -4\operatorname{cos}{\left (x \right )} \)
Soit \( a \) et \( b \) deux réels tels que la fonction \( f_0 : x \mapsto acos(x) + bsin(x) \) soit une solution de \( (E) \).
Déterminer \( a \) et \( b \) et en déduire l'expression de \( f_0 \).
Résoudre l’équation différentielle \( (E’) : y' + y = 0 \).
On donnera la forme générale de la solution la plus simple possible, en utilisant \( A \) pour la valeur non fixée.
Par exemple : \(y: x \mapsto Ax^2 + 3\).
On donnera la forme générale de la solution la plus simple possible, en utilisant \( A \) pour la valeur non fixée.
Par exemple : \(y: x \mapsto Ax^2 + 3\).
En déduire l’ensemble des solutions de \( (E) \).
On donnera la forme générale de la solution la plus simple possible, en utilisant \( A \) pour la valeur non fixée.
Par exemple : \(y: x \mapsto Ax^2 + 3\).
On donnera la forme générale de la solution la plus simple possible, en utilisant \( A \) pour la valeur non fixée.
Par exemple : \(y: x \mapsto Ax^2 + 3\).
Déterminer \( h \) la solution de \( (E) \) telle que \( h(- \dfrac{1}{2}\pi ) = -1 \)
Exercice 4 : Résolution d’équation différentielle avec un second membre comportant une fonction polynôme de degré 2
Soit l’équation différentielle \( (E) : -5y' + 3y = 4x^{2} \)
Soit \( a, b \text{ et } c \) trois réels tels que la fonction \( f_0 : x \mapsto ax^{2} + bx + c \) soit une solution de \( (E) \).
Déterminer \( a, b \text{ et } c \) et en déduire l'expression de \( f_0 \).
Résoudre l’équation différentielle \( (E’) : -5y' + 3y = 0 \).
On donnera la forme générale de la solution la plus simple possible, en utilisant \( A \) pour la valeur non fixée.
Par exemple : \(y: x \mapsto Ae^{2x} + 3\).
En déduire l’ensemble des solutions de \( (E) \).
On donnera la forme générale de la solution la plus simple possible, en utilisant \( A \) pour la valeur non fixée.
Par exemple : \(y: x \mapsto Ae^{2x} + 3\).
Exercice 5 : Résolution d’équation différentielle avec un second membre comportant une fonction affine
Soit l’équation différentielle \( (E) : y' + 2y = 8x \)
Soit \( a \) et \( b \) deux réels tels que la fonction \( f_0 : x \mapsto ax + b \) soit une solution de \( (E) \).
Déterminer \( a \) et \( b \) et en déduire l'expression de \( f_0 \).
Résoudre l’équation différentielle \( (E’) : y' + 2y = 0 \).
On donnera la forme générale de la solution la plus simple possible, en utilisant \( A \) pour la valeur non fixée.
Par exemple : \(y: x \mapsto Ae^{2x} + 3\).
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Par exemple : \(y: x \mapsto Ae^{2x} + 3\).
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Par exemple : \(y: x \mapsto Ae^{2x} + 3\).
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