Convexité : lien entre f, f' et f''
Dérivation, convexité - Mathématiques Spécialité
Exercice 1 : Retrouver le graphe de la dérivée depuis le graphe de la fonction
Observer les couples de courbes suivants.
Indiquer dans quels cas \(f'(x)\) peut représenter la dérivée de \(f(x)\).
A. \(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-13, 13]], "scale": [30.0, 7.6923076923076925], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 3.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 7.66666666666668 + ((((x) <= -7))?(-x):(((((x) <= 1.0))?(-6.81087239583334 + 0.587890625*Math.pow(x, 2) + 0.0068359375*Math.pow(x, 4) + 0.123697916666667*Math.pow(x, 3) - 1.57421875*x):(((((x) <= 7.0))?(-6.46064814814816 + 1.65277777777778*Math.pow(x, 2) + 0.0115740740740741*Math.pow(x, 4) - 2.62962962962963*x - 0.240740740740741*Math.pow(x, 3)):(-5.66666666666667 + x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-1):(((((x) <= 1.0))?(-0.001953125*Math.pow(1 - x, 3) + 0.015625*Math.pow(1 - x, 2)*(-2.625 - 0.375*x) - 12.25*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.125 - 0.125*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.00462962962962963*Math.pow(-1 + x, 3) + 0.0833333333333333*Math.pow(-1 + x, 2)*(1.16666666666667 - 0.166666666666667*x) + 1.36111111111111*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-2.0 + 2.0*x)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
B. \(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-17, 17]], "scale": [30.0, 5.882352941176471], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 4.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 27.25 + ((((x) <= -7))?(2*x):(((((x) <= 2.0))?(-21.0552126200274 + 0.273662551440329*Math.pow(x, 2) + 0.161865569272977*Math.pow(x, 3) + 0.0106310013717421*Math.pow(x, 4) - 3.37722908093279*x):(((((x) <= 7.0))?(-14.802 + 0.038*Math.pow(x, 4) + 5.292*Math.pow(x, 2) - 0.784*Math.pow(x, 3) - 12.976*x):(-9.99999999999999 - 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(2):(((((x) <= 2.0))?(0.0219478737997257*Math.pow(1 - 0.5*x, 3) + 0.0493827160493828*Math.pow(1 - 0.5*x, 2)*(4.66666666666667 + 0.666666666666667*x) - 16.3333333333333*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.222222222222222 - 0.111111111111111*x)):(((((x) <= 7.0))?(-0.128*Math.pow(-1 + 0.5*x, 3) + 1.96*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-6.0 + 3.0*x) - 0.96*Math.pow(-1 + 0.5*x, 2)*(1.4 - 0.2*x)):(-2))))));}", [-5, 5]]]}
C. \(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-30, 30]], "scale": [30.0, 3.3333333333333335], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 7.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 20.3333333333333 + ((((x) <= -7))?(-2*x):(((((x) <= 1.0))?(-13.6217447916667 + 1.17578125*Math.pow(x, 2) + 0.013671875*Math.pow(x, 4) + 0.247395833333333*Math.pow(x, 3) - 3.1484375*x):(((((x) <= 7.0))?(-12.9212962962963 + 3.30555555555556*Math.pow(x, 2) + 0.0231481481481482*Math.pow(x, 4) - 5.25925925925926*x - 0.481481481481482*Math.pow(x, 3)):(-11.3333333333333 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-2):(((((x) <= 1.0))?(-0.00390625*Math.pow(1 - x, 3) + 0.015625*Math.pow(1 - x, 2)*(-5.25 - 0.75*x) - 24.5*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.125 - 0.125*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.00925925925925926*Math.pow(-1 + x, 3) + 0.166666666666667*Math.pow(-1 + x, 2)*(1.16666666666667 - 0.166666666666667*x) + 1.36111111111111*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-4.0 + 4.0*x)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
D. \(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-16, 16]], "scale": [30.0, 6.25], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 4.0], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 4.0 + ((((x) <= -7))?(-x):(((((x) <= -1.0))?(-5.55787037037037 + 0.518518518518518*Math.pow(x, 3) + 5.35185185185185*x + 3.40277777777778*Math.pow(x, 2) + 0.025462962962963*Math.pow(x, 4)):(((((x) <= 7.0))?(-6.30305989583333 + 1.134765625*Math.pow(x, 2) + 3.10546875*x + 0.0146484375*Math.pow(x, 4) - 0.259114583333333*Math.pow(x, 3)):(10.3333333333333 + x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((2 + x) <= -7))?(-1):(((((2 + x) <= -1.0))?(-0.125*Math.pow(-1 - 0.333333333333333*x, 3) + 0.25*Math.pow(-1 - 0.333333333333333*x, 2)*(-4.5 - 0.5*x) - 54.0*Math.pow(1 + 0.111111111111111*x, 2)*(-0.5 - 0.166666666666667*x)):(((((2 + x) <= 7.0))?(0.001953125*Math.pow(3 + x, 3) + 0.046875*Math.pow(3 + x, 2)*(0.625 - 0.125*x) + 0.390625*Math.pow(1 - 0.2*x, 2)*(12.0 + 4.0*x)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
Exercice 2 : Retrouver le graphe de la fonction depuis le graphe de la dérivée
Parmi les paires de courbes suivantes, dans quelle(s) situation(s) la courbe de gauche peut-elle
représenter la dérivée de la fonction représentée par la courbe de droite ?
A. \( f'(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-27, 27]], "scale": [30.0, 3.7037037037037037], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 6.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 13.3333333333333 + ((((x) <= -7))?(2*x):(((((x) <= -3.0))?(30.3697916666667 + 0.078125*Math.pow(x, 4) + 13.34375*Math.pow(x, 2) + 41.8125*x + 1.72916666666667*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(-3.95283333333326 + 0.0105*Math.pow(x, 4) + 5.664*x + 0.0769999999999997*Math.pow(x, 2) - 0.150666666666667*Math.pow(x, 3)):(20.0000000000001 - x))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(2):(((((x) <= -3.0))?(0.84375*Math.pow(-1 - 0.333333333333333*x, 3) + 0.5625*Math.pow(-1 - 0.333333333333333*x, 2)*(10.5 + 1.5*x) - 49.0*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(-0.75 - 0.25*x)):(((((x) <= 7.0))?(-0.027*Math.pow(1 + 0.333333333333333*x, 3) + 0.49*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(12.0 + 4.0*x) - 0.27*Math.pow(1 + 0.333333333333333*x, 2)*(0.7 - 0.1*x)):(-1))))));}", [-5, 5]]]}
B. \( f'(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -4.91666666666667 + ((((x) <= -7))?(-2*x):(((((x) <= 0.0))?(2.91666666666667 + 0.0021865889212828*Math.pow(x, 4) + 0.054421768707483*Math.pow(x, 3) + 0.5*Math.pow(x, 2)):(((((x) <= 7.0))?(2.91666666666667 + 0.000728862973760932*Math.pow(x, 4) + 0.5*Math.pow(x, 2) - 0.0340136054421769*Math.pow(x, 3)):(-3.5 + 3*x))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-2):(((((x) <= 0.0))?(0.00583090379008746*Math.pow(x, 3) + 1.0*x*Math.pow(1.0 + 0.142857142857143*x, 2) + 0.0204081632653061*Math.pow(x, 2)*(-6.0 - 0.857142857142857*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.00874635568513119*Math.pow(x, 3) + 0.183673469387755*Math.pow(x, 2)*(1 - 0.142857142857143*x) + 1.0*x*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)):(3))))));}", [-5, 5]]]}
C. \( f'(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-2, 2]], "scale": [30.0, 50.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-2):(((((x) <= -1.0))?(-0.00925925925925926*Math.pow(-0.999999999999999 - x, 3) + 8.16666666666666*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(-0.166666666666667 - 0.166666666666667*x) + 0.0277777777777778*Math.pow(-0.999999999999999 - x, 2)*(-7.0 - 1.0*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.001953125*Math.pow(1 + x, 3) + 0.046875*Math.pow(1 + x, 2)*(0.875 - 0.125*x) + 0.765625*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-1.0 - 1.0*x)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-9, 9]], "scale": [30.0, 11.11111111111111], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 2.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -16.0 + ((((x) <= -7))?(-2*x):(((((x) <= -1.0))?(10.3217592592593 - 1.06944444444444*Math.pow(x, 2) - 0.212962962962963*Math.pow(x, 3) - 0.0115740740740741*Math.pow(x, 4) - 1.54629629629629*x):(((((x) <= 7.0))?(10.5940755208333 + 0.0794270833333333*Math.pow(x, 3) - 0.0048828125*Math.pow(x, 4) - 0.232421875*Math.pow(x, 2) - 0.72265625*x):(2.66666666666666 + x))))));}", [-5, 5]]]}
D. \( f'(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -((((x) <= -7))?(3):(((((x) <= 0.0))?(-0.00874635568513119*Math.pow(x, 3) + 3.0*x*Math.pow(1.0 + 0.142857142857143*x, 2) + 0.0204081632653061*Math.pow(x, 2)*(9.0 + 1.28571428571429*x)):(((((x) <= 7.0))?(-0.00583090379008746*Math.pow(x, 3) + 3.0*x*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2) - 0.122448979591837*Math.pow(x, 2)*(1 - 0.142857142857143*x)):(-2))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-8, 8]], "scale": [30.0, 12.5], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 2.0], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 22.75 + ((((x) <= -7))?(3*x):(((((x) <= 0.0))?(-22.75 + 1.5*Math.pow(x, 2) + 0.0196793002915452*Math.pow(x, 4) + 0.346938775510204*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(-22.75 + 1.5*Math.pow(x, 2) + 0.0182215743440233*Math.pow(x, 4) - 0.326530612244898*Math.pow(x, 3)):(-3.49999999999999 - 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
Exercice 3 : Retrouver le graphe de la dérivée depuis le graphe de la fonction
Observer les couples de courbes suivants.
Indiquer dans quels cas \(f'(x)\) peut représenter la dérivée de \(f(x)\).
A. \(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-18, 18]], "scale": [30.0, 5.555555555555555], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 4.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 2.33333333333335 + ((((x) <= -7))?(x):(((((x) <= -3.0))?(-20.5442708333333 - 4.703125*Math.pow(x, 2) - 15.84375*x - 0.552083333333333*Math.pow(x, 3) - 0.0234375*Math.pow(x, 4)):(((((x) <= 7.0))?(-8.36783333333335 + 0.0693333333333333*Math.pow(x, 3) - 0.0045*Math.pow(x, 4) - 0.133*Math.pow(x, 2) - 3.156*x):(-17.0 - x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(1):(((((x) <= -3.0))?(0.421875*Math.pow(-1 - 0.333333333333333*x, 3) + 0.5625*Math.pow(-1 - 0.333333333333333*x, 2)*(5.25 + 0.75*x) + 24.5*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(-0.75 - 0.25*x)):(((((x) <= 7.0))?(-0.027*Math.pow(1 + 0.333333333333333*x, 3) + 0.49*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-6.0 - 2.0*x) - 0.27*Math.pow(1 + 0.333333333333333*x, 2)*(0.7 - 0.1*x)):(-1))))));}", [-5, 5]]]}
B. \(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-8, 8]], "scale": [30.0, 12.5], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 2.0], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -2.25 + ((((x) <= -7))?(-2*x):(((((x) <= 2.0))?(-0.117626886145406 + 0.00171467764060357*Math.pow(x, 4) + 0.0356652949245542*Math.pow(x, 3) + 0.244855967078189*Math.pow(x, 2) - 1.46227709190672*x):(((((x) <= 7.0))?(1.09266666666666 + 0.006*Math.pow(x, 4) + 1.204*Math.pow(x, 2) - 0.141333333333333*Math.pow(x, 3) - 3.312*x):(-4.16666666666666 + x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-2):(((((x) <= 2.0))?(-0.0219478737997257*Math.pow(1 - 0.5*x, 3) + 0.0493827160493828*Math.pow(1 - 0.5*x, 2)*(-4.66666666666667 - 0.666666666666667*x) - 5.44444444444444*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.222222222222222 - 0.111111111111111*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.064*Math.pow(-1 + 0.5*x, 3) + 0.48*Math.pow(-1 + 0.5*x, 2)*(1.4 - 0.2*x) + 1.96*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-2.0 + 1.0*x)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
C. \(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-29, 29]], "scale": [30.0, 3.4482758620689653], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 7.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -19.0 + ((((x) <= -7))?(2*x):(((((x) <= 2.0))?(15.997256515775 + 5.09190672153635*x - 0.0109739368998628*Math.pow(x, 4) - 0.633744855967078*Math.pow(x, 2) - 0.183813443072702*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(9.47733333333333 + 0.781333333333333*Math.pow(x, 3) + 15.072*x - 0.036*Math.pow(x, 4) - 5.824*Math.pow(x, 2)):(18.1666666666666 - x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(2):(((((x) <= 2.0))?(0.0219478737997257*Math.pow(1 - 0.5*x, 3) + 21.7777777777778*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.222222222222222 - 0.111111111111111*x) + 0.0493827160493828*Math.pow(1 - 0.5*x, 2)*(4.66666666666667 + 0.666666666666667*x)):(((((x) <= 7.0))?(-0.064*Math.pow(-1 + 0.5*x, 3) + 1.96*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(8.0 - 4.0*x) - 0.48*Math.pow(-1 + 0.5*x, 2)*(1.4 - 0.2*x)):(-1))))));}", [-5, 5]]]}
D. \(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-17, 17]], "scale": [30.0, 5.882352941176471], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 4.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 22.0 + ((((x) <= -7))?(x):(((((x) <= 3.0))?(-18.522 + 0.008*Math.pow(x, 4) + 0.0420000000000003*Math.pow(x, 2) + 0.114*Math.pow(x, 3) - 4.194*x):(((((x) <= 7.0))?(6.1171875 + 0.0546875*Math.pow(x, 4) + 9.515625*Math.pow(x, 2) - 1.21875*Math.pow(x, 3) - 30.09375*x):(-18.0 - x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-5, 5]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -((((x) <= -7))?(1):(((((x) <= 3.0))?(0.027*Math.pow(1 - 0.333333333333333*x, 3) + 0.09*Math.pow(1 - 0.333333333333333*x, 2)*(2.1 + 0.3*x) - 14.7*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.3 - 0.1*x)):(((((x) <= 7.0))?(-0.421875*Math.pow(-1 + 0.333333333333333*x, 3) + 3.0625*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-9.0 + 3.0*x) - 1.6875*Math.pow(-1 + 0.333333333333333*x, 2)*(1.75 - 0.25*x)):(-1))))));}", [-5, 5]]]}
Exercice 4 : Retrouver le graphe de la fonction depuis le graphe de la dérivée
Parmi les paires de courbes suivantes, dans quelle(s) situation(s) la courbe de gauche peut-elle
représenter la dérivée de la fonction représentée par la courbe de droite ?
A. \( f'(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-17, 17]], "scale": [30.0, 5.882352941176471], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 4.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 12.75 + ((((x) <= -7))?(-x):(((((x) <= 0.0))?(-8.75 + 1.5*Math.pow(x, 2) + 0.26530612244898*Math.pow(x, 3) + 0.0138483965014577*Math.pow(x, 4)):(((((x) <= 7.0))?(-8.75 + 1.5*Math.pow(x, 2) + 0.0138483965014577*Math.pow(x, 4) - 0.26530612244898*Math.pow(x, 3)):(x))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-1):(((((x) <= 0.0))?(0.00291545189504373*Math.pow(x, 3) + 3.0*x*Math.pow(1.0 + 0.142857142857143*x, 2) + 0.0204081632653061*Math.pow(x, 2)*(-3.0 - 0.428571428571429*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.00291545189504373*Math.pow(x, 3) + 3.0*x*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2) + 0.0612244897959184*Math.pow(x, 2)*(1 - 0.142857142857143*x)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
B. \( f'(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-5, 5]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-2):(((((x) <= 2.0))?(-0.0219478737997257*Math.pow(1 - 0.5*x, 3) + 0.0493827160493828*Math.pow(1 - 0.5*x, 2)*(-4.66666666666667 - 0.666666666666667*x) - 16.3333333333333*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.222222222222222 - 0.111111111111111*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.192*Math.pow(-1 + 0.5*x, 3) + 1.44*Math.pow(-1 + 0.5*x, 2)*(1.4 - 0.2*x) + 1.96*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-6.0 + 3.0*x)):(3))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-30, 30]], "scale": [30.0, 3.3333333333333335], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 7.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 20.25 + ((((x) <= -7))?(-2*x):(((((x) <= 2.0))?(-10.7040466392318 + 0.13443072702332*Math.pow(x, 3) + 0.504115226337448*Math.pow(x, 2) + 0.00788751714677641*Math.pow(x, 4) - 3.88203017832648*x):(((((x) <= 7.0))?(-6.72199999999999 + 3.612*Math.pow(x, 2) + 0.018*Math.pow(x, 4) - 0.424*Math.pow(x, 3) - 9.936*x):(-22.5 + 3*x))))));}", [-5, 5]]]}
C. \( f'(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-2, 2]], "scale": [30.0, 50.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-3):(((((x) <= -1.0))?(-0.0138888888888889*Math.pow(-0.999999999999999 - x, 3) + 8.16666666666666*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(-0.166666666666667 - 0.166666666666667*x) + 0.0277777777777778*Math.pow(-0.999999999999999 - x, 2)*(-10.5 - 1.5*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.00390625*Math.pow(1 + x, 3) + 0.09375*Math.pow(1 + x, 2)*(0.875 - 0.125*x) + 0.765625*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-1.0 - 1.0*x)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-5, 5]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -17.0 + ((((x) <= -7))?(-3*x):(((((x) <= -1.0))?(14.2916666666667 - 0.0138888888888889*Math.pow(x, 4) - 1.16666666666667*Math.pow(x, 2) - 1.63888888888889*x - 0.25*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(14.6087239583334 + 0.0911458333333333*Math.pow(x, 3) - 0.005859375*Math.pow(x, 4) - 0.19140625*Math.pow(x, 2) - 0.6796875*x):(3.66666666666669 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
D. \( f'(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-2, 2]], "scale": [30.0, 50.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-1):(((((x) <= 2.0))?(-0.0109739368998628*Math.pow(1 - 0.5*x, 3) + 0.0493827160493828*Math.pow(1 - 0.5*x, 2)*(-2.33333333333333 - 0.333333333333333*x) - 5.44444444444444*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.222222222222222 - 0.111111111111111*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.128*Math.pow(-1 + 0.5*x, 3) + 0.96*Math.pow(-1 + 0.5*x, 2)*(1.4 - 0.2*x) + 1.96*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-2.0 + 1.0*x)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-8, 8]], "scale": [30.0, 12.5], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 2.0], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 2.25 + ((((x) <= -7))?(-x):(((((x) <= 2.0))?(-2.70541838134431 + 0.0425240054869684*Math.pow(x, 3) + 0.187242798353909*Math.pow(x, 2) + 0.00240054869684499*Math.pow(x, 4) - 1.3360768175583*x):(((((x) <= 7.0))?(-1.79133333333333 + 0.002*Math.pow(x, 4) + 0.868*Math.pow(x, 2) - 0.0693333333333333*Math.pow(x, 3) - 2.704*x):(-11.1666666666667 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
Exercice 5 : Retrouver le graphe de la dérivée depuis le graphe de la fonction
Observer les couples de courbes suivants.
Indiquer dans quels cas \(f'(x)\) peut représenter la dérivée de \(f(x)\).
A. \(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-5, 5]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -16.3333333333333 + ((((x) <= -7))?(-3*x):(((((x) <= 3.0))?(12.1193333333333 + 0.154*Math.pow(x, 2) + 0.822*x - 0.0486666666666667*Math.pow(x, 3) - 0.004*Math.pow(x, 4)):(((((x) <= 7.0))?(-0.572916666666668 + 14.25*x + 0.666666666666667*Math.pow(x, 3) - 0.03125*Math.pow(x, 4) - 4.8125*Math.pow(x, 2)):(3.0 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-3):(((((x) <= 3.0))?(-0.0809999999999999*Math.pow(1 - 0.333333333333333*x, 3) + 4.9*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.3 - 0.1*x) + 0.09*Math.pow(1 - 0.333333333333333*x, 2)*(-6.3 - 0.9*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.84375*Math.pow(-1 + 0.333333333333333*x, 3) + 3.375*Math.pow(-1 + 0.333333333333333*x, 2)*(1.75 - 0.25*x) + 3.0625*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(3.0 - 1.0*x)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
B. \(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-22, 22]], "scale": [30.0, 4.545454545454546], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 5.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 17.8333333333333 + ((((x) <= -7))?(-x):(((((x) <= 0.0))?(-12.8333333333333 + 0.0189504373177843*Math.pow(x, 4) + 2.0*Math.pow(x, 2) + 0.360544217687075*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(-12.8333333333333 + 0.0160349854227405*Math.pow(x, 4) + 2.0*Math.pow(x, 2) - 0.319727891156462*Math.pow(x, 3)):(-7.0 + 3*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-8, 8]], "scale": [30.0, 12.5], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 2.0], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 2 + ((((x) <= -7))?(-1):(((((x) <= 0.0))?(0.00291545189504373*Math.pow(x, 3) + 4.0*x*Math.pow(1.0 + 0.142857142857143*x, 2) + 0.0204081632653061*Math.pow(x, 2)*(-3.0 - 0.428571428571429*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.00874635568513119*Math.pow(x, 3) + 0.183673469387755*Math.pow(x, 2)*(1 - 0.142857142857143*x) + 4.0*x*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)):(3))))));}", [-5, 5]]]}
C. \(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-17, 17]], "scale": [30.0, 5.882352941176471], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 4.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -18.0 + ((((x) <= -7))?(-x):(((((x) <= -1.0))?(13.4976851851852 - 5.53703703703703*x - 0.0300925925925926*Math.pow(x, 4) - 0.592592592592592*Math.pow(x, 3) - 3.59722222222222*Math.pow(x, 2)):(((((x) <= 7.0))?(14.3616536458333 + 0.305989583333333*Math.pow(x, 3) - 0.0185546875*Math.pow(x, 4) - 0.970703125*Math.pow(x, 2) - 2.93359375*x):(-14.3333333333334 + 3*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-5, 5]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 1 + ((((x) <= -7))?(-1):(((((x) <= -1.0))?(-0.00462962962962963*Math.pow(-0.999999999999999 - x, 3) + 32.6666666666667*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(-0.166666666666667 - 0.166666666666667*x) + 0.0277777777777778*Math.pow(-0.999999999999999 - x, 2)*(-3.5 - 0.5*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.005859375*Math.pow(1 + x, 3) + 0.140625*Math.pow(1 + x, 2)*(0.875 - 0.125*x) + 0.765625*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-4.0 - 4.0*x)):(3))))));}", [-5, 5]]]}
D. \(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-18, 18]], "scale": [30.0, 5.555555555555555], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 4.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -2.33333333333333 + ((((x) <= -7))?(3*x):(((((x) <= 3.0))?(-1.25766666666667 + 2.118*x - 0.224*Math.pow(x, 2) - 0.001*Math.pow(x, 4) - 0.0246666666666667*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(-3.29166666666667 + 3.46944695195361e-18*Math.pow(x, 4) + 4.125*x + 0.0416666666666667*Math.pow(x, 3) - 0.875*Math.pow(x, 2)):(11.0 - 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-5, 5]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 1 + ((((x) <= -7))?(3):(((((x) <= 3.0))?(0.0809999999999999*Math.pow(1 - 0.333333333333333*x, 3) + 4.9*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.3 - 0.1*x) + 0.09*Math.pow(1 - 0.333333333333333*x, 2)*(6.3 + 0.9*x)):(((((x) <= 7.0))?(-0.84375*Math.pow(-1 + 0.333333333333333*x, 3) + 3.0625*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(3.0 - 1.0*x) - 3.375*Math.pow(-1 + 0.333333333333333*x, 2)*(1.75 - 0.25*x)):(-2))))));}", [-5, 5]]]}
Kwyk vous donne accès à plus de 8 000 exercices auto-corrigés en Mathématiques . Éducation Nationale de la 6e à la Terminale .
Grâce à Kwyk, les élèves s'entraînent sur du calcul mental, des exercices d'arithmétique et de géométrie,
des problèmes et des exercices d'application, des exercices d'algorithmique et de python, des annales du
brevet des collèges et du baccalauréat. Nos exercices sont proposés sous forme de réponse libre et/ou de QCM. Kwyk par leurs professeurs et aux devoirs
générés par notre outil utilisant l'IA mais aussi grâce aux différents modules de travail en autonomie mis
à disposition sur leur espace personnel. Pour les niveaux du collège, les élèves ont également accès à des
cours constitués d'une partie théorique et d'une partie pratique. Kwyk , vous mettez toutes les chances
du côté des élèves pour que les différents théorèmes, propriétés et définitions n'aient plus aucun secret
pour eux. 40 000 000 d'exercices ont été réalisés sur Kwyk en Mathématiques.