Convexité : lien entre f, f' et f''
Dérivation, convexité - Mathématiques Spécialité
Exercice 1 : Retrouver le graphe de la fonction depuis le graphe de la dérivée
Parmi les paires de courbes suivantes, dans quelle(s) situation(s) la courbe de gauche peut-elle
représenter la dérivée de la fonction représentée par la courbe de droite ?
A. \( f'(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(1):(((((x) <= 1.0))?(0.001953125*Math.pow(1 - x, 3) + 0.015625*Math.pow(1 - x, 2)*(2.625 + 0.375*x) - 18.375*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.125 - 0.125*x)):(((((x) <= 7.0))?(-0.00462962962962963*Math.pow(-1 + x, 3) + 1.36111111111111*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-3.0 + 3.0*x) - 0.0833333333333333*Math.pow(-1 + x, 2)*(1.16666666666667 - 0.166666666666667*x)):(-1))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-9, 9]], "scale": [30.0, 11.11111111111111], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 2.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 14.0 + ((((x) <= -7))?(x):(((((x) <= 1.0))?(-17.7529296875 + 0.779296875*Math.pow(x, 2) + 0.0126953125*Math.pow(x, 4) + 0.21484375*Math.pow(x, 3) - 2.25390625*x):(((((x) <= 7.0))?(-17.1157407407408 + 0.0231481481481482*Math.pow(x, 4) + 2.72222222222222*Math.pow(x, 2) - 4.17592592592593*x - 0.453703703703704*Math.pow(x, 3)):(-6.00000000000003 - x))))));}", [-5, 5]]]}
B. \( f'(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-5, 5]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -((((x) <= -7))?(-1):(((((x) <= 3.0))?(-0.027*Math.pow(1 - 0.333333333333333*x, 3) + 0.09*Math.pow(1 - 0.333333333333333*x, 2)*(-2.1 - 0.3*x) - 14.7*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.3 - 0.1*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.421875*Math.pow(-1 + 0.333333333333333*x, 3) + 1.6875*Math.pow(-1 + 0.333333333333333*x, 2)*(1.75 - 0.25*x) + 3.0625*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-9.0 + 3.0*x)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-26, 26]], "scale": [30.0, 3.8461538461538463], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 6.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 21.0 + ((((x) <= -7))?(-x):(((((x) <= 3.0))?(-14.063 + 0.168*Math.pow(x, 2) + 0.106*Math.pow(x, 3) + 0.007*Math.pow(x, 4) - 4.626*x):(((((x) <= 7.0))?(5.4765625 + 0.0390625*Math.pow(x, 4) + 7.546875*Math.pow(x, 2) - 0.90625*Math.pow(x, 3) - 25.03125*x):(-24.0 + x))))));}", [-5, 5]]]}
C. \( f'(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-2, 2]], "scale": [30.0, 50.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(3):(((((x) <= -2.0))?(0.192*Math.pow(-1 - 0.5*x, 3) + 0.16*Math.pow(-1 - 0.5*x, 2)*(12.6 + 1.8*x) - 9.8*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(-0.4 - 0.2*x)):(((((x) <= 7.0))?(-0.0329218106995885*Math.pow(1 + 0.5*x, 3) + 0.604938271604938*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(2.0 + 1.0*x) - 0.444444444444444*Math.pow(1 + 0.5*x, 2)*(0.777777777777778 - 0.111111111111111*x)):(-3))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 13.5833333333334 + ((((x) <= -7))?(3*x):(((((x) <= -2.0))?(-11.2046666666667 + 0.022*Math.pow(x, 4) + 5.744*x + 2.548*Math.pow(x, 2) + 0.429333333333333*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(-14.3899176954733 + 0.831275720164609*x + 0.0051440329218107*Math.pow(x, 4) - 0.0432098765432099*Math.pow(x, 2) - 0.0699588477366255*Math.pow(x, 3)):(-1.33333333333337 - 3*x))))));}", [-5, 5]]]}
D. \( f'(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-16, 16]], "scale": [30.0, 6.25], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 4.0], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 16.0 + ((((x) <= -7))?(x):(((((x) <= -1.0))?(-11.1157407407408 + 0.0231481481481481*Math.pow(x, 4) + 4.17592592592592*x + 2.72222222222222*Math.pow(x, 2) + 0.453703703703704*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(-11.7529296875 + 0.0126953125*Math.pow(x, 4) + 0.779296875*Math.pow(x, 2) + 2.25390625*x - 0.21484375*Math.pow(x, 3)):(5.99999999999999 - x))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(1):(((((x) <= -1.0))?(0.00462962962962963*Math.pow(-0.999999999999999 - x, 3) + 0.0277777777777778*Math.pow(-0.999999999999999 - x, 2)*(3.5 + 0.5*x) - 24.5*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(-0.166666666666667 - 0.166666666666667*x)):(((((x) <= 7.0))?(-0.001953125*Math.pow(1 + x, 3) + 0.765625*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(3.0 + 3.0*x) - 0.046875*Math.pow(1 + x, 2)*(0.875 - 0.125*x)):(-1))))));}", [-5, 5]]]}
Exercice 2 : Retrouver le graphe de la dérivée depuis le graphe de la fonction
Observer les couples de courbes suivants.
Indiquer dans quels cas \(f'(x)\) peut représenter la dérivée de \(f(x)\).
A. \(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-8, 8]], "scale": [30.0, 12.5], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 2.0], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 5.00000000000001 + ((((x) <= -7))?(2*x):(((((x) <= -1.0))?(-3.17592592592594 - 0.00925925925925926*Math.pow(x, 4) - 1.55555555555555*Math.pow(x, 2) - 2.53703703703703*x - 0.203703703703704*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(-2.85579427083335 + 0.123697916666667*Math.pow(x, 3) - 0.0068359375*Math.pow(x, 4) - 0.587890625*Math.pow(x, 2) - 1.57421875*x):(-9.66666666666669 - x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(2):(((((x) <= -1.0))?(0.00925925925925926*Math.pow(-0.999999999999999 - x, 3) + 16.3333333333333*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(-0.166666666666667 - 0.166666666666667*x) + 0.0277777777777778*Math.pow(-0.999999999999999 - x, 2)*(7.0 + 1.0*x)):(((((x) <= 7.0))?(-0.001953125*Math.pow(1 + x, 3) + 0.765625*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-2.0 - 2.0*x) - 0.046875*Math.pow(1 + x, 2)*(0.875 - 0.125*x)):(-1))))));}", [-5, 5]]]}
B. \(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-31, 31]], "scale": [30.0, 3.225806451612903], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 7.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 26.5 + ((((x) <= -7))?(-x):(((((x) <= 2.0))?(-18.5850480109739 + 0.0116598079561043*Math.pow(x, 4) + 0.576131687242798*Math.pow(x, 2) + 0.190672153635117*Math.pow(x, 3) - 4.96570644718793*x):(((((x) <= 7.0))?(-12.3613333333333 + 5.488*Math.pow(x, 2) + 0.032*Math.pow(x, 4) - 0.709333333333333*Math.pow(x, 3) - 14.464*x):(-25.1666666666667 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-7, 7]], "scale": [30.0, 14.285714285714286], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -1 + ((((x) <= -7))?(-1):(((((x) <= 2.0))?(-0.0109739368998628*Math.pow(1 - 0.5*x, 3) + 0.0493827160493828*Math.pow(1 - 0.5*x, 2)*(-2.33333333333333 - 0.333333333333333*x) - 21.7777777777778*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.222222222222222 - 0.111111111111111*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.128*Math.pow(-1 + 0.5*x, 3) + 0.96*Math.pow(-1 + 0.5*x, 2)*(1.4 - 0.2*x) + 1.96*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-8.0 + 4.0*x)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
C. \(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -8.33333333333334 + ((((x) <= -7))?(-x):(((((x) <= -3.0))?(-6.25260416666666 - 0.0234375*Math.pow(x, 4) - 3.828125*Math.pow(x, 2) - 11.71875*x - 0.510416666666667*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(3.88983333333334 + 0.0910000000000001*Math.pow(x, 2) + 0.0446666666666667*Math.pow(x, 3) - 1.038*x - 0.0035*Math.pow(x, 4)):(-5.99999999999999 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -2 + ((((x) <= -7))?(-1):(((((x) <= -3.0))?(-0.421875*Math.pow(-1 - 0.333333333333333*x, 3) + 0.5625*Math.pow(-1 - 0.333333333333333*x, 2)*(-5.25 - 0.75*x) + 12.25*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(-0.75 - 0.25*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.054*Math.pow(1 + 0.333333333333333*x, 3) + 0.54*Math.pow(1 + 0.333333333333333*x, 2)*(0.7 - 0.1*x) + 0.49*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-3.0 - 1.0*x)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
D. \(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-22, 22]], "scale": [30.0, 4.545454545454546], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 5.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 6.66666666666668 + ((((x) <= -7))?(-3*x):(((((x) <= 1.0))?(-0.781575520833343 + 0.669921875*Math.pow(x, 2) + 0.0048828125*Math.pow(x, 4) + 0.100260416666667*Math.pow(x, 3) - 1.66015625*x):(((((x) <= 7.0))?(-0.49074074074075 + 1.55555555555556*Math.pow(x, 2) + 0.00925925925925926*Math.pow(x, 4) - 2.53703703703704*x - 0.203703703703704*Math.pow(x, 3)):(-3.66666666666669 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-3):(((((x) <= 1.0))?(-0.005859375*Math.pow(1 - x, 3) + 0.015625*Math.pow(1 - x, 2)*(-7.875 - 1.125*x) - 12.25*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.125 - 0.125*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.00925925925925926*Math.pow(-1 + x, 3) + 0.166666666666667*Math.pow(-1 + x, 2)*(1.16666666666667 - 0.166666666666667*x) + 1.36111111111111*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-2.0 + 2.0*x)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
Exercice 3 : Retrouver le graphe de la fonction depuis le graphe de la dérivée
Parmi les paires de courbes suivantes, dans quelle(s) situation(s) la courbe de gauche peut-elle
représenter la dérivée de la fonction représentée par la courbe de droite ?
A. \( f'(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-2):(((((x) <= -2.0))?(-0.128*Math.pow(-1 - 0.5*x, 3) + 0.16*Math.pow(-1 - 0.5*x, 2)*(-8.4 - 1.2*x) - 39.2*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(-0.4 - 0.2*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.0109739368998628*Math.pow(1 + 0.5*x, 3) + 0.604938271604938*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(8.0 + 4.0*x) + 0.148148148148148*Math.pow(1 + 0.5*x, 2)*(0.777777777777778 - 0.111111111111111*x)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-28, 28]], "scale": [30.0, 3.5714285714285716], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 7.0], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 1.33333333333324 + ((((x) <= -7))?(-2*x):(((((x) <= -2.0))?(12.8053333333334 + 0.032*Math.pow(x, 4) + 5.488*Math.pow(x, 2) + 0.709333333333334*Math.pow(x, 3) + 14.464*x):(((((x) <= 7.0))?(6.58161865569283 + 0.576131687242798*Math.pow(x, 2) + 4.96570644718793*x + 0.0116598079561043*Math.pow(x, 4) - 0.190672153635117*Math.pow(x, 3)):(25.1666666666668 + x))))));}", [-5, 5]]]}
B. \( f'(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -((((x) <= -7))?(-1):(((((x) <= 1.0))?(-0.001953125*Math.pow(1 - x, 3) + 0.015625*Math.pow(1 - x, 2)*(-2.625 - 0.375*x) - 6.125*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.125 - 0.125*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.0138888888888889*Math.pow(-1 + x, 3) + 0.25*Math.pow(-1 + x, 2)*(1.16666666666667 - 0.166666666666667*x) + 1.36111111111111*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-1.0 + 1.0*x)):(3))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-8, 8]], "scale": [30.0, 12.5], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 2.0], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 2.33333333333334 + ((((x) <= -7))?(-x):(((((x) <= 1.0))?(-1.89811197916667 + 0.314453125*Math.pow(x, 2) + 0.0029296875*Math.pow(x, 4) + 0.0559895833333333*Math.pow(x, 3) - 0.80859375*x):(((((x) <= 7.0))?(-1.80555555555556 + 0.583333333333333*Math.pow(x, 2) - 0.0277777777777778*Math.pow(x, 3) - 1.08333333333333*x):(-11.3333333333333 + 3*x))))));}", [-5, 5]]]}
C. \( f'(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-2):(((((x) <= 3.0))?(-0.054*Math.pow(1 - 0.333333333333333*x, 3) + 0.09*Math.pow(1 - 0.333333333333333*x, 2)*(-4.2 - 0.6*x) - 14.7*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.3 - 0.1*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.84375*Math.pow(-1 + 0.333333333333333*x, 3) + 3.375*Math.pow(-1 + 0.333333333333333*x, 2)*(1.75 - 0.25*x) + 3.0625*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-9.0 + 3.0*x)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-34, 34]], "scale": [30.0, 2.9411764705882355], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 8.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 24.0 + ((((x) <= -7))?(-2*x):(((((x) <= 3.0))?(-11.8335 + 0.0065*Math.pow(x, 4) + 0.102*Math.pow(x, 3) + 0.231*Math.pow(x, 2) - 4.842*x):(((((x) <= 7.0))?(5.15624999999999 + 0.03125*Math.pow(x, 4) + 6.5625*Math.pow(x, 2) - 0.75*Math.pow(x, 3) - 22.5*x):(-27.0 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
D. \( f'(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-2, 2]], "scale": [30.0, 50.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(3):(((((x) <= -3.0))?(1.265625*Math.pow(-1 - 0.333333333333333*x, 3) + 0.5625*Math.pow(-1 - 0.333333333333333*x, 2)*(15.75 + 2.25*x) - 12.25*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(-0.75 - 0.25*x)):(((((x) <= 7.0))?(-0.027*Math.pow(1 + 0.333333333333333*x, 3) + 0.49*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(3.0 + 1.0*x) - 0.27*Math.pow(1 + 0.333333333333333*x, 2)*(0.7 - 0.1*x)):(-1))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 14.3333333333334 + ((((x) <= -7))?(3*x):(((((x) <= -3.0))?(0.893229166666629 + 0.0390625*Math.pow(x, 4) + 5.796875*Math.pow(x, 2) + 16.78125*x + 0.822916666666667*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(-13.6603333333334 + 1.254*x + 0.003*Math.pow(x, 4) - 0.0280000000000001*Math.pow(x, 2) - 0.0406666666666667*Math.pow(x, 3)):(-6.00000000000004 - x))))));}", [-5, 5]]]}
Exercice 4 : Retrouver le graphe de la dérivée depuis le graphe de la fonction
Observer les couples de courbes suivants.
Indiquer dans quels cas \(f'(x)\) peut représenter la dérivée de \(f(x)\).
A. \(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-10, 10]], "scale": [30.0, 10.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 2.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -14.6666666666667 + ((((x) <= -7))?(-x):(((((x) <= 1.0))?(12.8401692708333 + 1.48828125*x - 0.0087890625*Math.pow(x, 4) - 0.505859375*Math.pow(x, 2) - 0.147135416666667*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(12.3402777777778 + 3.0*x + 0.388888888888889*Math.pow(x, 3) - 2.04166666666667*Math.pow(x, 2) - 0.0208333333333333*Math.pow(x, 4)):(-4.33333333333328 + 3*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -((((x) <= -7))?(-1):(((((x) <= 1.0))?(-0.001953125*Math.pow(1 - x, 3) + 0.015625*Math.pow(1 - x, 2)*(-2.625 - 0.375*x) + 12.25*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.125 - 0.125*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.0138888888888889*Math.pow(-1 + x, 3) + 0.25*Math.pow(-1 + x, 2)*(1.16666666666667 - 0.166666666666667*x) + 1.36111111111111*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(2.0 - 2.0*x)):(3))))));}", [-5, 5]]]}
B. \(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-12, 12]], "scale": [30.0, 8.333333333333334], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 3.0], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -3.33333333333332 + ((((x) <= -7))?(-3*x):(((((x) <= 1.0))?(-0.781575520833343 + 0.669921875*Math.pow(x, 2) + 0.0048828125*Math.pow(x, 4) + 0.100260416666667*Math.pow(x, 3) - 1.66015625*x):(((((x) <= 7.0))?(-0.49074074074075 + 1.55555555555556*Math.pow(x, 2) + 0.00925925925925926*Math.pow(x, 4) - 2.53703703703704*x - 0.203703703703704*Math.pow(x, 3)):(-3.66666666666669 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-3):(((((x) <= 1.0))?(-0.005859375*Math.pow(1 - x, 3) + 0.015625*Math.pow(1 - x, 2)*(-7.875 - 1.125*x) - 12.25*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.125 - 0.125*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.00925925925925926*Math.pow(-1 + x, 3) + 0.166666666666667*Math.pow(-1 + x, 2)*(1.16666666666667 - 0.166666666666667*x) + 1.36111111111111*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-2.0 + 2.0*x)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
C. \(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-5, 5]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 13.0833333333333 + ((((x) <= -7))?(2*x):(((((x) <= 0.0))?(-11.0833333333333 + 0.5*Math.pow(x, 2) + 0.00801749271137026*Math.pow(x, 4) + 0.136054421768707*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(-11.0833333333333 + 0.00655976676384839*Math.pow(x, 4) + 0.5*Math.pow(x, 2) - 0.115646258503401*Math.pow(x, 3)):(-3.50000000000001 - x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((-2 + x) <= -7))?(2):(((((-2 + x) <= 0.0))?(-0.00583090379008746*Math.pow(-2 + x, 3) + 0.510204081632653*Math.pow(1 + 0.2*x, 2)*(-2 + x) + 0.0204081632653061*Math.pow(-2 + x, 2)*(4.28571428571429 + 0.857142857142857*x)):(((((-2 + x) <= 7.0))?(-0.00291545189504373*Math.pow(-2 + x, 3) + 1.6530612244898*Math.pow(1 - 0.111111111111111*x, 2)*(-2 + x) - 0.0612244897959184*Math.pow(-2 + x, 2)*(1.28571428571429 - 0.142857142857143*x)):(-1))))));}", [-5, 5]]]}
D. \(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-31, 31]], "scale": [30.0, 3.225806451612903], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 7.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 19.3333333333333 + ((((x) <= -7))?(2*x):(((((x) <= -3.0))?(30.3697916666667 + 0.078125*Math.pow(x, 4) + 13.34375*Math.pow(x, 2) + 41.8125*x + 1.72916666666667*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(-4.18233333333326 + 0.0139999999999997*Math.pow(x, 2) + 0.011*Math.pow(x, 4) + 5.448*x - 0.154666666666667*Math.pow(x, 3)):(22.0000000000001 - 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(2):(((((x) <= -3.0))?(0.84375*Math.pow(-1 - 0.333333333333333*x, 3) + 0.5625*Math.pow(-1 - 0.333333333333333*x, 2)*(10.5 + 1.5*x) - 49.0*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(-0.75 - 0.25*x)):(((((x) <= 7.0))?(-0.054*Math.pow(1 + 0.333333333333333*x, 3) + 0.49*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(12.0 + 4.0*x) - 0.54*Math.pow(1 + 0.333333333333333*x, 2)*(0.7 - 0.1*x)):(-2))))));}", [-5, 5]]]}
Exercice 5 : Retrouver le graphe de la fonction depuis le graphe de la dérivée
Parmi les paires de courbes suivantes, dans quelle(s) situation(s) la courbe de gauche peut-elle
représenter la dérivée de la fonction représentée par la courbe de droite ?
A. \( f'(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-3):(((((x) <= 2.0))?(-0.0329218106995885*Math.pow(1 - 0.5*x, 3) + 5.44444444444444*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.222222222222222 - 0.111111111111111*x) + 0.0493827160493828*Math.pow(1 - 0.5*x, 2)*(-7.0 - 1.0*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.064*Math.pow(-1 + 0.5*x, 3) + 0.48*Math.pow(-1 + 0.5*x, 2)*(1.4 - 0.2*x) + 1.96*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(2.0 - 1.0*x)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -17.25 + ((((x) <= -7))?(-3*x):(((((x) <= 2.0))?(13.0565843621399 + 0.0432098765432101*Math.pow(x, 2) + 0.831275720164609*x - 0.0699588477366255*Math.pow(x, 3) - 0.0051440329218107*Math.pow(x, 4)):(((((x) <= 7.0))?(10.6393333333333 + 4.528*x + 0.285333333333333*Math.pow(x, 3) - 0.014*Math.pow(x, 4) - 1.876*Math.pow(x, 2)):(7.66666666666666 + x))))));}", [-5, 5]]]}
B. \( f'(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 17.6666666666667 + ((((x) <= -7))?(3*x):(((((x) <= 3.0))?(-17.5501666666667 + 0.0853333333333334*Math.pow(x, 3) + 0.0065*Math.pow(x, 4) - 0.119*Math.pow(x, 2) - 2.292*x):(((((x) <= 7.0))?(2.50520833333334 + 0.046875*Math.pow(x, 4) + 7.65625*Math.pow(x, 2) - 23.4375*x - 1.02083333333333*Math.pow(x, 3)):(-9.99999999999994 - 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(3):(((((x) <= 3.0))?(0.0809999999999999*Math.pow(1 - 0.333333333333333*x, 3) + 0.09*Math.pow(1 - 0.333333333333333*x, 2)*(6.3 + 0.9*x) - 9.8*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.3 - 0.1*x)):(((((x) <= 7.0))?(-0.84375*Math.pow(-1 + 0.333333333333333*x, 3) + 3.0625*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-6.0 + 2.0*x) - 3.375*Math.pow(-1 + 0.333333333333333*x, 2)*(1.75 - 0.25*x)):(-2))))));}", [-5, 5]]]}
C. \( f'(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-2):(((((x) <= 3.0))?(-0.054*Math.pow(1 - 0.333333333333333*x, 3) + 0.09*Math.pow(1 - 0.333333333333333*x, 2)*(-4.2 - 0.6*x) - 9.8*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.3 - 0.1*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.421875*Math.pow(-1 + 0.333333333333333*x, 3) + 1.6875*Math.pow(-1 + 0.333333333333333*x, 2)*(1.75 - 0.25*x) + 3.0625*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-6.0 + 2.0*x)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-19, 19]], "scale": [30.0, 5.2631578947368425], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 4.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 8.66666666666666 + ((((x) <= -7))?(-2*x):(((((x) <= 3.0))?(-6.40266666666666 + 0.004*Math.pow(x, 4) + 0.0653333333333334*Math.pow(x, 3) + 0.196*Math.pow(x, 2) - 3.372*x):(((((x) <= 7.0))?(5.54427083333334 + 4.703125*Math.pow(x, 2) + 0.0234375*Math.pow(x, 4) - 15.84375*x - 0.552083333333333*Math.pow(x, 3)):(-15.0 + x))))));}", [-5, 5]]]}
D. \( f'(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -((((x) <= -7))?(-2):(((((x) <= 3.0))?(-0.054*Math.pow(1 - 0.333333333333333*x, 3) + 0.09*Math.pow(1 - 0.333333333333333*x, 2)*(-4.2 - 0.6*x) - 9.8*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.3 - 0.1*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.421875*Math.pow(-1 + 0.333333333333333*x, 3) + 1.6875*Math.pow(-1 + 0.333333333333333*x, 2)*(1.75 - 0.25*x) + 3.0625*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-6.0 + 2.0*x)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-18, 18]], "scale": [30.0, 5.555555555555555], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 4.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 7.66666666666666 + ((((x) <= -7))?(-2*x):(((((x) <= 3.0))?(-6.40266666666666 + 0.004*Math.pow(x, 4) + 0.0653333333333334*Math.pow(x, 3) + 0.196*Math.pow(x, 2) - 3.372*x):(((((x) <= 7.0))?(5.54427083333334 + 4.703125*Math.pow(x, 2) + 0.0234375*Math.pow(x, 4) - 15.84375*x - 0.552083333333333*Math.pow(x, 3)):(-15.0 + x))))));}", [-5, 5]]]}
Kwyk vous donne accès à plus de 8 000 exercices auto-corrigés en Mathématiques . Éducation Nationale de la 6e à la Terminale .
Grâce à Kwyk, les élèves s'entraînent sur du calcul mental, des exercices d'arithmétique et de géométrie,
des problèmes et des exercices d'application, des exercices d'algorithmique et de python, des annales du
brevet des collèges et du baccalauréat. Nos exercices sont proposés sous forme de réponse libre et/ou de QCM. Kwyk par leurs professeurs et aux devoirs
générés par notre outil utilisant l'IA mais aussi grâce aux différents modules de travail en autonomie mis
à disposition sur leur espace personnel. Pour les niveaux du collège, les élèves ont également accès à des
cours constitués d'une partie théorique et d'une partie pratique. Kwyk , vous mettez toutes les chances
du côté des élèves pour que les différents théorèmes, propriétés et définitions n'aient plus aucun secret
pour eux. 40 000 000 d'exercices ont été réalisés sur Kwyk en Mathématiques.