Matrices : Résolution de systèmes linéaires

Graphes et matrices - Mathématiques Expert

Exercice 1 : Trouver les paramètres d'un trinôme passant par 3 points, formulation matricielle

Soit le système \(S\) suivant : \[ \begin{cases}2v -2w -5x = 15\\-4v -2w + 5x = -9\\-3v + w + x = -1\end{cases} \]Soient 2 matrices, \(X = \begin{pmatrix}v\\w\\x\end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix}15\\-9\\-1\end{pmatrix}\).
Déterminer la matrice \(A\) tel que le système \(S\) puisse s'écrire sous la forme \( A \times X = B \)

En déduire la solution de \(S\).

Exercice 2 : Résoudre système 3 équations, solutions entières relatives, formulation matricielle

Soit P la fonction polynôme définie pour tout réél x par: \[ P(x) = ax^2 + bx + c \] On sait que \[ P(4) = -49 \] \[ P(-1) = -14 \] \[ P(2) = -17 \]Soient 2 matrices, \(X = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix}-49\\-14\\-17\end{pmatrix}\).
Déterminer la matrice \(A\) tel que les coefficients de la fonction polynôme P puissent être déterminés par un système écrit sous la forme \( A \times X = B \)

En déduire la fonction polynôme P.
On écrira par exemple: \(2x^2 + 3x + 1\)

Exercice 3 : Problème - Résolution matricielle d'un système linéaire à 2 équations et 2 inconnues

Lors d’un spectacle on a vendu des places à \( 14\:\text{€} \) (tarif plein) et des places à \( 10\:\text{€} \) (tarif réduit).
Il y a eu \( 774 \) spectateurs pour une recette de \( 8\:764\:\text{€} \).

On note :
- \( x \) le nombre de places vendues plein tarif,
- \( y \) le nombre de places vendues au tarif réduit.

On souhaite déterminer le nombre de places vendues en plein tarif et en tarif réduit à l'aide des matrices.
Le système à résoudre est équivalent à l'équation matricielle \( AX = Y \) où \( X \) est le vecteur \( \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} \) et \( Y \) le vecteur \( \begin{pmatrix}8\:764\\774\end{pmatrix} \).

Donner la matrice \( A \).

Déterminer le déterminant de \( A \).

Calculer \( A^{-1} \).

Donner la solution du système.

Exercice 4 : Décomposer en éléments simples une fraction rationnelle

Soit \(f : x \rightarrow \dfrac{2x^{2} + 7x -2}{\left(x -1\right)\left(x -2\right)\left(x + 2\right)}\) définie pour \(x>2\).

L'objectif est d'écrire \(f\) sous la forme :
\(f(x)=\dfrac{a}{x + 2}+\dfrac{b}{x -2}+\dfrac{c}{x -1}\)

Déterminer la valeur de \(a\).

Déterminer la valeur de \(b\).

Déterminer la valeur de \(c\).

Exercice 5 : Trouver les paramètres d'un trinôme passant par 3 points, formulation matricielle

Soit le système \(S\) suivant : \[ \begin{cases}3t -6u -4v = -3\\-4t -2u + 4v = -48\\-4t -2u -5v = 6\end{cases} \]Soient 2 matrices, \(X = \begin{pmatrix}t\\u\\v\end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix}-3\\-48\\6\end{pmatrix}\).
Déterminer la matrice \(A\) tel que le système \(S\) puisse s'écrire sous la forme \( A \times X = B \)

En déduire la solution de \(S\).

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