Congruence

Arithmétique - Mathématiques Expert

Exercice 1 : Déterminer le reste d'une division à l'aide de calculs avec les congruences

On donne deux entiers \(a\) et \(b\) tels que \[a \equiv 1 [6]\] \[b \equiv 3 [6]\]

Déterminer le reste de la division euclidienne de \(5a^{2} + 5b^{2}\) par \(6\).

Exercice 2 : Équation de congruence (grands nombres avec simplification possible)

Résoudre l'équation suivante : \[112x \equiv 14 \ [70]\] On donnera la réponse sous une forme générale dépendant d'un entier relatif quelconque \(k\), par exemple : \(\left\{3k+2\ ;\ 6k+1, k \in \mathbb{Z} \right\}\).

Exercice 3 : Equation de congruence simple (une seule solution)

Sachant que \( 0 \leq a \lt 11 \), résoudre l'équation suivante : \[ 80 \equiv a \ [11] \]
On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple \( \{1; 3\} \) ou \( [2; 4[ \).

Exercice 4 : Utilisation de la division euclidienne dans le numéro INSEE

Le numéro INSEE, aussi appelé numéro de Sécurité Sociale, est formé d'une suite unique de 15 chiffres attribués pour chaque individu de nationalité française.
Ce numéro est ainsi déterminé :

  • - 1 chiffre pour le sexe (\( 1 \) pour Homme et \( 2 \) pour Femme) ;
  • - 2 chiffres correspondant aux deux derniers chiffres de l'année de naissance ;
  • - 2 chiffres correspondant au mois de naissance ;
  • - 2 chiffres correspondant au département de naissance ;
  • - 3 chiffres correspondant à la commune de naissance ;
  • - 3 chiffres correspondant au numéro d'inscription sur le registre des naissances ;
  • - 2 chiffres correspondant à une clé de contrôle.

Pour calculer la clé de contrôle, on prend le nombre formé par les 13 premiers chiffres et on cherche son reste \( r \) dans la division par \( 97 \).
La clé est alors égale au nombre \( 97 - r \) écrit avec deux chiffres (le premier étant éventuellement un 0).

On prend un personne au hasard dans la population. Son numéro de Sécurité Sociale, dont on a caché la clé de contrôle, est le suivant : \[ 2\:98\:03\:47\:755\:014\: \text{xx} \]

Qu'y a-t-il d'écrit normalement à la place de \( \text{xx} \) ?

Dans un hôpital, un médecin se demande si son secrétaire n'aurait pas commis une erreur en recopiant le numéro INSEE de son patient : \[ 1\:69\:05\:39\:582\:367\:79 \]

Les doutes du médecin sont-ils justifiés ?

Exercice 5 : Utilisation des congruences avec des puissances

Donner, suivant les valeurs de l'entier naturel \(n\), les restes de la division euclidienne de \(4^n\) par 7.
{"header_left": ["\\(4^n \\equiv \\ ? \\ [7]\\)"], "corner_cell": "\\(n\\)", "header_top": ["0", "1", "2", "3", "4", "5", "6"], "data": [["?", "?", "?", "?", "?", "?", "?"]]}
Dans la suite de l'exercice, on mettra à profit les propriétés des congruences relatives aux puissances.Quel est le reste de la division euclidienne de \(4^{3449}\) par \(7\) ?
Quel est le reste de la division euclidienne de \(6227^{950}\) par \(7\) ?
Quel est le reste de la division euclidienne de \(3573^{949}\) par \(7\) ?
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