Suites - Complémentaire

Louis suit \(492\) comptes sur un réseau social et ne parvient plus à suivre tous les statuts de ses connaissances. Il décide donc, chaque semaine, de retirer \(25\%\) des comptes qu'il suit et de n'en rajouter que \(11\) en plus.

Combien aura-t-il de contacts après une semaine à appliquer cette règle ?

Combien aura-t-il de contacts après la 3ème semaine à appliquer cette règle ?

On note \(u_n\) le nombre de contacts restant au bout de la n-ième semaine à appliquer cette règle.
Exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).

Manarie et Monica jouent à un jeu, toutes les deux ont la même probabilité de gagner la première partie. En revanche, si Manarie gagne une partie, la probabilité qu'elle gagne la suivante est \(0,6\) ; si elle perd, la probabilité qu'elle perde la suivante est \(0,9\).
\(n\) étant un entier naturel non nul, on note \(G_{n}\) l'événement : «Manarie gagne la n-ième partie».
Compléter l'arbre de probabilité correspondant à la situation.

Calculer la probabilité \(G_{2}\) noté \(P(G_{2})\)

Sachant que Manarie a gagné la deuxième partie, quelle est la probabilité qu'elle ait gagné la première ?

On suppose, ici, qu'elles font plusieurs parties. \(n\) étant un entier naturel non nul, on note : \(p_{n} = P(G_{n})\).

Exprimer \(p_{n + 1}\) en fonction de \(p_{n}\)

Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose : \(v_{n} = p_{n} - 1/5\).
Exprimer \(v_{n + 1}\) en fonction de \(v_{n}\).

Exprimer \(v_{n}\) en fonction de \(n\).

Exprimer \(p_{n}\) en fonction de \(n\).

Déterminer la limite de la suite \(p_{n}\).

À l’automne 2021, Claude achète une maison à la campagne. Il dispose d’un terrain de \( 1400 m^2 \) entièrement engazonné.
Mais tous les ans, 20 % de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse.
Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de \( 40 m^2 \) et la remplace par du gazon.

Pour tout nombre entier naturel \( n \), on note \( u_n \) la surface en \( m^2 \) de terrain engazonné au bout de \( n \) années, c’est-à-dire à l’automne 2021 + \( n \).
On a donc \( u_0=1400 \).

Calculer \( u_1 \).

Écrire \( u_{n+1} \) en fonction de \( u_n \).

On considère la suite \( (v_n) \) définie pour tout nombre entier naturel \( n \) par : \( v_n = u_n - 200 \).

\( (v_n) \) est une suite géométrique. Donner sa raison.

Donner son premier terme.

Exprimer \( v_n \) en fonction de \( n \).

Exprimer \( u_n \) en fonction de \( n \).

Quelle est la surface de terrain engazonné au bout de 8 années ?
On donnera une réponse arrondie à \( 0,01 m^2 \) près.

Déterminer par le calcul la plus petite valeur de l’entier naturel \( n \) telle que :
\( 200 + 1200 \times 0,8^{n} \lt 214 \)

Calculer la limite de \( (u_n) \) quand \( n \to +\infty \).

Claude est certain que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalité de son terrain.
A-t-il raison ?

Soit \((u_n)\) la suite définie par : \[ (u_n) : \begin{cases} u_0 = 3\\ u_{n+1} = 2 - \dfrac{1}{3}u_n \end{cases} \]Calculer \(u_1\).

Calculer \(u_2\).

Calculer \(u_3\).

Calculer \(u_4\).

On définit \(\left(v_n\right)\) la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par \[ v_n = - \dfrac{3}{2} + u_n \]Exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\)

Exprimer \(v_n\) uniquement en fonction de n.

Exprimer \(u_n\) uniquement en fonction de n.

Soit \((u_n)\) la suite définie par : \[ (u_n) : \begin{cases} u_0 = 3\\ u_{n+1} = 2 - \dfrac{1}{2}u_n \end{cases} \]Calculer \(u_1\).

Calculer \(u_2\).

Calculer \(u_3\).

Calculer \(u_4\).

On définit \(\left(v_n\right)\) la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par \[ v_n = - \dfrac{4}{3} + u_n \]Exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\)

Exprimer \(v_n\) uniquement en fonction de n.

Exprimer \(u_n\) uniquement en fonction de n.

Calculer la limite de \((v_n)\). (Si la suite n'admet pas de limite écrire "indéfinie")

Calculer la limite de \((u_n)\). (Si la suite n'admet pas de limite écrire "indéfinie")