Suites arithmético-géométriques
Suites - Mathématiques Complémentaire
Exercice 1 : Etude d'une suite arithmético-géométrique (sans limite)
Soit \((u_n)\) la suite définie par :
\[ (u_n) :
\begin{cases}
u_0 = 2\\
u_{n+1} = -2 + 3u_n
\end{cases}
\]Calculer \(u_1\).
Calculer \(u_2\).
Calculer \(u_3\).
Calculer \(u_4\).
On définit \(\left(v_n\right)\) la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par
\[ v_n = -1 + u_n \]Exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\)
Exprimer \(v_n\) uniquement en fonction de n.
Exprimer \(u_n\) uniquement en fonction de n.
Exercice 2 : Traduire un énoncé en français en une suite (arithmético-géométrique)
Jean-Christophe suit \(190\) comptes sur un réseau social et ne parvient plus à suivre tous les statuts de ses connaissances. Il décide donc, chaque semaine, de retirer \(20\%\) des comptes qu'il suit et de n'en rajouter que \(13\) en plus.
Combien aura-t-il de contacts après une semaine à appliquer cette règle ?
Combien aura-t-il de contacts après la 3ème semaine à appliquer cette règle ?
On note \(u_n\) le nombre de contacts restant au bout de la n-ième semaine à appliquer cette règle.
Exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).
Exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).
Exercice 3 : Bac ES 2014 métropole - Exercice 2 - Etude d'une suite
À l’automne 2021, Claude achète une maison à la campagne. Il dispose d’un terrain de \( 1500 m^2 \)
entièrement engazonné.
Mais tous les ans, 40 % de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse.
Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de \( 36 m^2 \) et la remplace par du gazon.
Pour tout nombre entier naturel \( n \), on note \( u_n \) la surface en \( m^2 \) de terrain engazonné au bout
de \( n \) années, c’est-à-dire à l’automne 2021 + \( n \).
On a donc \( u_0=1500 \).
Calculer \( u_1 \).
Écrire \( u_{n+1} \) en fonction de \( u_n \).
On considère la suite \( (v_n) \) définie pour tout nombre entier naturel \( n \) par : \( v_n = u_n - 90 \).
\( (v_n) \) est une suite géométrique. Donner sa raison.
Donner son premier terme.
Exprimer \( v_n \) en fonction de \( n \).
Exprimer \( u_n \) en fonction de \( n \).
Quelle est la surface de terrain engazonné au bout de 5 années ?
On donnera une réponse arrondie à \( 0,01 m^2 \) près.
On donnera une réponse arrondie à \( 0,01 m^2 \) près.
Déterminer par le calcul la plus petite valeur de l’entier naturel \( n \) telle que :
\( 90 + 1410 \times 0,6^{n} \lt 91 \)
\( 90 + 1410 \times 0,6^{n} \lt 91 \)
Calculer la limite de \( (u_n) \) quand \( n \to +\infty \).
Claude est certain que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalité de son terrain.
A-t-il raison ?
A-t-il raison ?
Exercice 4 : Etude d'une suite arithmético-géométrique (avec limite)
Soit \((u_n)\) la suite définie par :
\[ (u_n) :
\begin{cases}
u_0 = 1\\
u_{n+1} = -3 + \dfrac{1}{3}u_n
\end{cases}
\]Calculer \(u_1\).
Calculer \(u_2\).
Calculer \(u_3\).
Calculer \(u_4\).
On définit \(\left(v_n\right)\) la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par
\[ v_n = \dfrac{9}{2} + u_n \]Exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\)
Exprimer \(v_n\) uniquement en fonction de n.
Exprimer \(u_n\) uniquement en fonction de n.
Calculer la limite de \((v_n)\).
(Si la suite n'admet pas de limite écrire "indéfinie")
Calculer la limite de \((u_n)\).
(Si la suite n'admet pas de limite écrire "indéfinie")
Exercice 5 : Bac 2012 Amérique du Sud, probabilités conditionnelles et suite géométrique
Manarie et Monica jouent à un jeu, toutes les deux ont la même probabilité de gagner la première partie.
En revanche, si Manarie gagne une partie, la probabilité qu'elle gagne la suivante est \(0,9\) ; si elle
perd, la probabilité qu'elle perde la suivante est \(0,7\).
\(n\) étant un entier naturel non nul, on note \(G_{n}\) l'événement : «Manarie gagne la n-ième partie».
Compléter l'arbre de probabilité correspondant à la situation.
\(n\) étant un entier naturel non nul, on note \(G_{n}\) l'événement : «Manarie gagne la n-ième partie».
Compléter l'arbre de probabilité correspondant à la situation.
Calculer la probabilité \(G_{2}\) noté \(P(G_{2})\)
Sachant que Manarie a gagné la deuxième partie, quelle est la probabilité qu'elle ait gagné la première ?
On suppose, ici, qu'elles font plusieurs parties.
\(n\) étant un entier naturel non nul, on note : \(p_{n} = P(G_{n})\).
Exprimer \(p_{n + 1}\) en fonction de \(p_{n}\)
Exprimer \(p_{n + 1}\) en fonction de \(p_{n}\)
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose : \(v_{n} = p_{n} - 3/4\).
Exprimer \(v_{n + 1}\) en fonction de \(v_{n}\).
Exprimer \(v_{n + 1}\) en fonction de \(v_{n}\).
Exprimer \(v_{n}\) en fonction de \(n\).
Exprimer \(p_{n}\) en fonction de \(n\).
Déterminer la limite de la suite \(p_{n}\).
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