Lois continues : loi exponentielle
Probabilités - Mathématiques Complémentaire
Exercice 1 : Probabilité loi exponentielle - deux bornes
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \(2\).
Déterminer \(P\left( 5 \leq X \leq 10 \right)\) .
Déterminer \(P\left( 5 \leq X \leq 10 \right)\) .
Exercice 2 : Question de cours sur le paramètre d'une loi exponentielle
On rappelle qu'une loi de probabilité \(p\) suit une loi dite exponentielle de paramètre \(1,59\) si \(p\) possède la propriété suivante :
\[ p(x \leq t) = \int_{0}^{t} 1,59 \text{e}^{-1,59 x} \text{d}x \]
où \(t\) est un réel positif.
Quelle est l'espérance mathématique de \(p\) ? On attend le résultat sous forme exacte.
Exercice 3 : Calculs autour du paramètre d'une loi exponentielle
En 2014, le robot Philae s'est posé sur la comète Tchouri après plus de dix ans de voyage dans l'espace. Les scientifiques purent
ainsi pour la première fois étudier la composition d'une comète et ses propriétés.
Une telle expédition suppose une importante longévité du robot. Aussi les scientifiques ont conçu Philae de sorte à ce qu'il vive au moins 24 ans.
Des études préalables ont montré que la durée de vie \(p\) du robot suivait une loi exponentielle de paramètre srictement positif \(a\) : \[ p(x \leq t) = \int_{0}^{t} a \text{e}^{-a x} \text{d}x \] où \(p(x \leq t)\) donne la probabilité que Philae ait une panne au bout de \(t\) années. \(a\) est un paramètre qui décrit la qualité du robot.Quelle est la probabilité \(p(x \leq 24)\) qu'une panne survienne lors des 24 années prévues de la mission de Philae ? On attend une réponse sous forme exacte qui dépendra du paramètre de qualité \(a\).
Une telle expédition suppose une importante longévité du robot. Aussi les scientifiques ont conçu Philae de sorte à ce qu'il vive au moins 24 ans.
Des études préalables ont montré que la durée de vie \(p\) du robot suivait une loi exponentielle de paramètre srictement positif \(a\) : \[ p(x \leq t) = \int_{0}^{t} a \text{e}^{-a x} \text{d}x \] où \(p(x \leq t)\) donne la probabilité que Philae ait une panne au bout de \(t\) années. \(a\) est un paramètre qui décrit la qualité du robot.Quelle est la probabilité \(p(x \leq 24)\) qu'une panne survienne lors des 24 années prévues de la mission de Philae ? On attend une réponse sous forme exacte qui dépendra du paramètre de qualité \(a\).
À quel ensemble doit appartenir \(a\) si l'on souhaite réduire cette probabilité à au plus 0,01 ?
On attend le résultat sous la forme d'un intervalle : \(\left]0 ; l\right]\) avec \(l\) une valeur à déterminer.
Exercice 4 : Probabilité loi exponentielle - une borne
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \(\dfrac{6}{5}\).
Déterminer \(P\left( X \leq 6 \right)\) .
Déterminer \(P\left( X \leq 6 \right)\) .
Exercice 5 : Paramètre de la loi exponentielle à partir d'une probabilité - une borne
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\).
Sachant que \(P\left( X \geq 10 \right) = \dfrac{1}{2}\), déterminer le paramètre \(\lambda\).
Sachant que \(P\left( X \geq 10 \right) = \dfrac{1}{2}\), déterminer le paramètre \(\lambda\).
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Nos exercices sont conformes aux programmes de l'Éducation Nationale de la 6e à la Terminale. Grâce à Kwyk, les élèves s'entraînent sur du calcul mental, des exercices d'arithmétique et de géométrie, des problèmes et des exercices d'application, des exercices d'algorithmique et de python, des annales du brevet des collèges et du baccalauréat. Nos exercices sont proposés sous forme de réponse libre et/ou de QCM.
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