Fonctions - Complémentaire

Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Exercice 1 : Déterminer la continuité d'une fonction à partir d'un graphique

Sur les graphiques suivant, cocher les fonctions continues sur l'intervalle \([-10; 10]\)

1.

{"init": {"range": [[-10, 10], [-10, 10]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 5], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 8/(2 + Math.pow(x, 2));}", [-10, 10], {"stroke": "blue"}]]}
2.

{"init": {"range": [[-10, 10], [-10, 10]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 5], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return Math.pow(x, 2)/10;}", [-10, 10], {"stroke": "blue"}]]}
3.

{"init": {"range": [[-10, 10], [-10, 10]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 5], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -Math.tan(x);}", [-10, 0], {"stroke": "blue"}], ["function(x){ return -Math.tan(x);}", [0, 10], {"stroke": "blue"}]]}
4.

{"init": {"range": [[-10, 10], [-10, 10]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 5], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return Math.sin(x);}", [-10, 10], {"stroke": "blue"}]]}

Exercice 2 : Déterminer le nombre de solutions d'une équation du type f(x) = k à partir d'un tableau de variations (difficile).

Soit \(f\) un fonction continue et définie sur \(\mathbb{R}\), dont le tableau de variations est donné ci dessous :

{"n_intervals": 5, "edges": ["-\\infty", -17, -5, 0, 17, "+\\infty"], "variations_values": [2, "\\dfrac{\\pi }{5}", "\\dfrac{\\pi }{3}", "\\dfrac{\\pi }{9}", "\\pi ", "\\dfrac{\\pi }{3}"], "variations": ["-", "+", "-", "+", "-"]}

Déterminer le nombre de solutions à l'équation du type \(f(x)=\dfrac{6\pi }{5}\).

Exercice 3 : Déterminer le nombre de solutions d'une équation de type f(x) = k à l'aide d'un tableau de variations

Le tableau de variations d'une fonction \(f\) sur l'intervalle \(\left[-6; 28\right]\) est donné ci-dessous :

{"n_intervals": 3, "edges": [-6, 2, 9, 28], "variations_values": [-3, 4, 1, 5], "variations": ["+", "-", "+"]}

Grâce au tableau de variations, déterminer le nombre de solutions dans \(\left[-6; 28\right]\) pour les équations suivantes :
\(f(x) = 0\)

\(f(x) = 4\)

\(f(x) = -4\)

\(f(x) = -2\)

Exercice 4 : Déterminer la continuité d'une fonction à partir d'un graphique

Voici la représentation graphique d'une fonction \( f \)

En quel(s) point(s) cette fonction est discontinue ?
On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple \(\{1; 3\}\) ou \([2; 4[\).

Exercice 5 : Déterminer le nombre de solutions d'une équation du type f(x) = k à partir d'un tableau de variation.

Soit \(f\) une fonction continue et définie sur \(\mathbb{R}\), dont le tableau de variations est donné ci dessous :

{"n_intervals": 5, "edges": ["-\\infty", -17, -15, -12, 7, "+\\infty"], "variations_values": [8, 9, 0, 9, 7, "+\\infty"], "variations": ["+", "-", "+", "-", "+"]}

Déterminer le nombre de solutions à l'équation du type \(f(x)=6\).

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