Convexité

Fonctions - Mathématiques Complémentaire

Exercice 1 : Trouver la convexité d'une fonction à l'aide de la dérivée

Soit f une fonction deux fois dérivable sur \( ]-\infty, \dfrac{7}{2}[ \cup ]\dfrac{7}{2}, +\infty[ \) définie par \[ f: x \mapsto \dfrac{-1}{2x -7} \] Choisir, parmi les propositions suivantes, l'affirmation exacte.

\(\text{f est convexe sur }\mathbb{R}\)

\(\text{f est convexe sur }]-\infty;\dfrac{7}{2}[ \text{ puis concave sur }]\dfrac{7}{2};+\infty[\)

\(\text{f est concave sur }]-\infty;\dfrac{7}{2}[ \text{ puis convexe sur }]\dfrac{7}{2};+\infty[\)

\(\text{f est concave sur }\mathbb{R}\)

Exercice 2 : Dérivée seconde et étude de convexité d'une fonction (polynome, racine, racine et ln)

Soit \( f \) la fonction définie sur \( \left]-1; +\infty\right[ \) par \( f(x) = \sqrt{2x + 2} \). On admet que \( f \) est dérivable deux fois sur son ensemble de définition.

Déterminer l'expression de la dérivée de \( f \).

Déterminer l'expression de la dérivée seconde de \( f \).

Dresser le tableau de signe de \( f'' \).

Sur quel ensemble \( f \) est-elle concave ?

Sur quel ensemble \( f \) est-elle convexe ?

Exercice 3 : Calcul de la dérivée première et seconde d'un fonction, puis recherche d'un point d'inflexion

Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = \operatorname{ln}\left(3x^{2} -2x + 3\right) \). On admet que \( f \) est dérivable deux fois sur cet intervalle.

Calculer la dérivée de \( f \).

Calculer la dérivée seconde de \( f \).

En déduire la valeur de l'abscisse du ou des points d'inflexion de \( f \).
On écrira la réponse sous la forme \( \{ x_{1}; x_{2} ... \} \). Si \( f \) n'a pas de point d'inflexion, on écrira \( \varnothing \).

Exercice 4 : Dérivée seconde et étude de convexité d'une fonction (polynome, racine et racine)

Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = x^{3} + 9x^{2} -3x + 6 \). On admet que \( f \) est dérivable deux fois sur son ensemble de définition.

Déterminer l'expression de la dérivée de \( f \).

Déterminer l'expression de la dérivée seconde de \( f \).

Dresser le tableau de signe de \( f'' \).

Sur quel ensemble \( f \) est-elle concave ?

Sur quel ensemble \( f \) est-elle convexe ?

Exercice 5 : Trouver la convexité d'une fonction à l'aide de son graphe

Voici la représentation graphique d'une fonction f définie sur \(]-\infty, - \dfrac{5}{3}[ \cup ]- \dfrac{5}{3}, +\infty[\).

Choisir, parmi les propositions suivantes, l'affirmation exacte.

f est concave sur \( ]-\infty; -1,67[ \) puis convexe sur \( ]-1,67; +\infty[ \)

f est concave sur \( \mathbb{R} \)

f est convexe sur \( ]-\infty; -1,67[ \) puis concave sur \( ]-1,67; +\infty[ \)

f est convexe sur \( \mathbb{R} \)

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