Fonctions - Complémentaire

Convexité

Exercice 1 : Trouver la convexité d'une fonction à l'aide de la dérivée

Soit f une fonction deux fois dérivable sur \( \mathbb{R} \) définie par \[ f: x \mapsto x^{3} + 4x^{2} + 5x -3 \] Choisir, parmi les propositions suivantes, l'affirmation exacte.

\(\text{f est concave sur }\mathbb{R}\)
\(\text{f est convexe sur }\mathbb{R}\)
\(\text{f est convexe sur }]-\infty;- \dfrac{4}{3}[ \text{ puis concave sur }]- \dfrac{4}{3};+\infty[\)
\(\text{f est concave sur }]-\infty;- \dfrac{4}{3}[ \text{ puis convexe sur }]- \dfrac{4}{3};+\infty[\)

Exercice 2 : Trouver la convexité d'une fonction à l'aide de son graphe

Voici la représentation graphique d'une fonction f définie sur \(]-\infty, \dfrac{1}{5}[ \cup ]\dfrac{1}{5}, +\infty[\).

Choisir, parmi les propositions suivantes, l'affirmation exacte.

f est convexe sur \( ]-\infty; 0,2[ \) puis concave sur \( ]0,2; +\infty[ \)
f est concave sur \( ]-\infty; 0,2[ \) puis convexe sur \( ]0,2; +\infty[ \)
f est convexe sur \( \mathbb{R} \)
f est concave sur \( \mathbb{R} \)

Exercice 3 : Dérivée seconde et étude de convexité d'une fonction (polynome, racine, racine et ln)

Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = 5x^{3} -3x^{2} -8x -8 \). On admet que \( f \) est dérivable deux fois sur son ensemble de définition.

Déterminer l'expression de la dérivée de \( f \).

Déterminer l'expression de la dérivée seconde de \( f \).

Dresser le tableau de signe de \( f'' \).

Sur quel ensemble \( f \) est-elle concave ?

Sur quel ensemble \( f \) est-elle convexe ?

Exercice 4 : Calcul de la dérivée première et seconde d'un fonction, puis recherche d'un point d'inflexion

Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = -9x^{3} + 4x^{2} + 8x -6 \). On admet que \( f \) est dérivable deux fois sur cet intervalle.

Calculer la dérivée de \( f \).

Calculer la dérivée seconde de \( f \).

En déduire la valeur de l'abscisse du ou des points d'inflexion de \( f \).
On écrira la réponse sous la forme \( \{ x_{1}; x_{2} ... \} \). Si \( f \) n'a pas de point d'inflexion, on écrira \( \varnothing \).

Exercice 5 : Dérivée seconde et étude de convexité d'une fonction (polynome, racine et racine)

Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = -3x^{3} + 3x^{2} -5x -8 \). On admet que \( f \) est dérivable deux fois sur son ensemble de définition.

Déterminer l'expression de la dérivée de \( f \).

Déterminer l'expression de la dérivée seconde de \( f \).

Dresser le tableau de signe de \( f'' \).

Sur quel ensemble \( f \) est-elle concave ?

Sur quel ensemble \( f \) est-elle convexe ?

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