Sens de variation : Exercices Analyse : Dérivation et applications ST2S/STD2A

Un producteur de cerises cultive, ramasse et conditionne entre 0 et 45 kg de ce produit par semaine durant la période de production des cerises. On désigne par \( B(x) \) le bénéfice hebdomadaire, en euros, réalisé par la vente de \( x \) kg de cerises.
La fonction \( B \) est définie sur \( \left[0; 45\right] \) par : \[ B(x) = -105x^{2} + 2x^{3} + 1500x + 4 \]

Calculer \( B'(x) \)

Trouver le couple \( (f,g) \) tel que, pour tout \( x \) de \( \left[0; 45\right] \), \( B'(x) = 6f(x)g(x) \)

\( f:x\mapsto x + 25 \text{ et } g:x\mapsto x -10 \)

\( f:x\mapsto x -25 \text{ et } g:x\mapsto x + 10 \)

\( f:x\mapsto x -25 \text{ et } g:x\mapsto x -10 \)

\( f:x\mapsto x + 25 \text{ et } g:x\mapsto x + 10 \)

Déterminer le tableau de signes de \( f \) sur \( \left[0; 45\right] \)

Déterminer le tableau de signes de \( g \) sur \( \left[0; 45\right] \).

En déduire le tableau de variations de \( B \) sur \( \left[0; 45\right] \).

Pour quelle quantité de cerises le bénéfice du producteur est-il maximal ?

À combien s'élève ce bénéfice ?

Parmi les paires de courbes suivantes, dans quelle(s) situation(s) la courbe de gauche peut-elle représenter la dérivée de la fonction représentée par la courbe de droite ?

A.\( f'(x) \) :

{"init": {"range": [[-5, 5], [-5, 5]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(1):(((((x) <= 3.0))?(0.027*Math.pow(1 - 0.333333333333333*x, 3) + 0.09*Math.pow(1 - 0.333333333333333*x, 2)*(2.1 + 0.3*x) - 14.7*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.3 - 0.1*x)):(((((x) <= 7.0))?(-0.84375*Math.pow(-1 + 0.333333333333333*x, 3) + 3.0625*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-9.0 + 3.0*x) - 3.375*Math.pow(-1 + 0.333333333333333*x, 2)*(1.75 - 0.25*x)):(-2))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :

{"init": {"range": [[-5, 5], [-18, 18]], "scale": [30.0, 5.555555555555555], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 4.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 23.0 + ((((x) <= -7))?(x):(((((x) <= 3.0))?(-18.522 + 0.008*Math.pow(x, 4) + 0.0420000000000003*Math.pow(x, 2) + 0.114*Math.pow(x, 3) - 4.194*x):(((((x) <= 7.0))?(8.4375 + 0.0625*Math.pow(x, 4) + 10.5*Math.pow(x, 2) - 1.375*Math.pow(x, 3) - 32.625*x):(-13.0 - 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
B.\( f'(x) \) :

{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-2):(((((x) <= 1.0))?(-0.00390625*Math.pow(1 - x, 3) + 0.015625*Math.pow(1 - x, 2)*(-5.25 - 0.75*x) + 18.375*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.125 - 0.125*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.00925925925925926*Math.pow(-1 + x, 3) + 0.166666666666667*Math.pow(-1 + x, 2)*(1.16666666666667 - 0.166666666666667*x) + 1.36111111111111*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(3.0 - 3.0*x)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :

{"init": {"range": [[-5, 5], [-11, 11]], "scale": [30.0, 9.090909090909092], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 2.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -22.0 + ((((x) <= -7))?(-2*x):(((((x) <= 1.0))?(20.767578125 + 2.2109375*x - 0.73828125*Math.pow(x, 2) - 0.013671875*Math.pow(x, 4) - 0.2265625*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(20.0856481481482 + 4.26851851851852*x + 0.490740740740741*Math.pow(x, 3) - 0.025462962962963*Math.pow(x, 4) - 2.81944444444444*Math.pow(x, 2)):(5.00000000000003 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
C.\( f'(x) \) :

{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-3):(((((x) <= 0.0))?(0.00874635568513119*Math.pow(x, 3) + 0.0204081632653061*Math.pow(x, 2)*(-9.0 - 1.28571428571429*x) - 3.0*x*Math.pow(1.0 + 0.142857142857143*x, 2)):(((((x) <= 7.0))?(0.00291545189504373*Math.pow(x, 3) + 0.0612244897959184*Math.pow(x, 2)*(1 - 0.142857142857143*x) - 3.0*x*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :

{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -17.75 + ((((x) <= -7))?(-3*x):(((((x) <= 0.0))?(22.75 - 1.5*Math.pow(x, 2) - 0.0196793002915452*Math.pow(x, 4) - 0.346938775510204*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(22.75 + 0.306122448979592*Math.pow(x, 3) - 1.5*Math.pow(x, 2) - 0.0167638483965015*Math.pow(x, 4)):(6.99999999999999 + x))))));}", [-5, 5]]]}
D.\( f'(x) \) :

{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((-1 + x) <= -7))?(-2):(((((-1 + x) <= -1.0))?(-0.00925925925925926*Math.pow(8.88178419700125e-16 - x, 3) + 0.0277777777777778*Math.pow(8.88178419700125e-16 - x, 2)*(-6.0 - 1.0*x) - 12.0*Math.pow(1 + 0.166666666666667*x, 2)*(1.38777878078145e-16 - 0.166666666666667*x)):(((((-1 + x) <= 7.0))?(0.001953125*Math.pow(x, 3) + 0.046875*Math.pow(x, 2)*(1.0 - 0.125*x) + 2.0*x*Math.pow(1 - 0.125*x, 2)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :

{"init": {"range": [[-5, 5], [-13, 13]], "scale": [30.0, 7.6923076923076925], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 3.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 4.44089209850063e-16 + ((((x) <= -7))?(-2*x):(((((x) <= -1.0))?(3.17592592592592 + 0.00925925925925926*Math.pow(x, 4) + 2.53703703703703*x + 1.55555555555555*Math.pow(x, 2) + 0.203703703703704*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(2.85579427083333 + 0.587890625*Math.pow(x, 2) + 1.57421875*x + 0.0068359375*Math.pow(x, 4) - 0.123697916666667*Math.pow(x, 3)):(9.66666666666667 + x))))));}", [-5, 5]]]}

Sens de variation

Analyse : Dérivation et applications - Mathématiques ST2S/STD2A

Exercice 1 : Utilisation de la dérivation pour déterminer un bénéfice

Exercice 2 : Tableau de variations de kx², sur [-5; 5]

Exercice 3 : Etablir le tableau de variations d'une fonction du 2e degré (en utilisant la dérivée)

Exercice 4 : Retrouver le graphe de la fonction depuis le graphe de la dérivée

Exercice 5 : Tableau de variations guidé d'une fonction polynôme de degré 3