Les variables aléatoires : Espérance, variance, écart-type
Probabilités et statistiques - Mathématiques Spécialité
Exercice 1 : Espérance de gain d'une loi discrète (transformation affine d'une variable aléatoire)
Une roue de loterie s'arrête de façon équiprobable sur un numéro entre 1 et 4 et permet les gains suivants :
| Numéro | \( 1 \) | \( 2 \) | \( 3 \) | \( 4 \) |
|---|---|---|---|---|
| Gains (en €) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 3 \) |
Soit \( X \) la variable aléatoire égale au gain d'un joueur.
Calculer l'espérance de gain \( E(X) \) de ce jeu.On donnera le résultat sous forme d’entier ou de fraction.
On donnera le résultat sous forme d’entier ou de fraction.
Si on paye \( 5 € \) on peut multiplier les gains par \( 3 \).
Soit \( Y \) la variable aléatoire qui donne le gain algébrique total qui
correspond à ce nouveau jeu.
On donnera le résultat sous forme d’entier ou de fraction.
On donnera le résultat sous forme d’entier ou de fraction.
Exercice 2 : Utilisation de la définition de l'espérance ; calcul d'écart-type
Après un certain nombre de parties, ils ont noté les résultats obtenus :
- \( 735 \) parties leur ont donné un gain nul.
- \( 112 \) parties leur ont donné un gain de \( 5 \) jetons.
- \( 136 \) parties leur ont donné un gain de \( 30 \) jetons.
Pour combien de parties ont-ils eu un gain de \( 10 \) jetons ?
Exercice 3 : Espérance et variance d'une loi discrète
Voici le tableau représentant la loi d'une variable aléatoire correspondant à un jeu de hasard.
| Probabilité | \( \dfrac{1}{4} \) | \( \dfrac{3}{20} \) | \( \dfrac{3}{5} \) |
|---|---|---|---|
| Gains (en €) | -20 | -10 | -90 |
Calculer l'espérance de gain de ce jeu.
Exercice 4 : Calculs sur les espérances et les écarts-types
Un célèbre parc d'attraction souhaite prévoir ses résultats financiers à l'année.
Les gérants du parc ont noté \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de visiteurs par jour.
Après quelques mesures, ils ont remarqué que l'espérance de \(X\) était de
355 personnes et son écart-type de 26 personnes.
Un ticket d'entrée au parc coûte 14 €, pour tout type de visiteur.
Soit \(X_{1}\), \(X_{2}\), …, \(X_{365}\), les variables aléatoires donnant le nombre d’entrées pour chaque
jour d'une année.
On peut considérer que ces 365 variables aléatoires sont indépendantes et que chacune
est identique à la loi de \(X\). On pose \(T = X_{1} + X_{2} + … + X_{365}\), la variable aléatoire donnant
le nombre total de visiteurs d’une année.
On donnera la réponse arrondie à l'unité.
Exercice 5 : Espérance de la transformation affine d'une variable aléatoire
Soit \( G \) une variable aléatoire d'espérance \( E(G) = -2 \) et de variance \( V(G) = 10 \).
On définit la variable aléatoire \( H \) par \( H = -9 -7G \).
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