Les probabilités conditionnelles

Probabilités et statistiques - Mathématiques Spécialité

Exercice 1 : Arbre de probabilités et interprétation d'énoncé (2 branches)

Un sondage a été effectué auprès de vacanciers sur leurs pratiques sportives pendant leurs congés.
Ce sondage révèle que 40% des vacanciers fréquentent une salle de sport pendant leurs congés et parmi ceux-ci, 35% pratiquent la natation.
Parmi les vacanciers qui ne fréquentent pas une salle de sport, 35% pratiquent la natation.

On choisit un vacancier au hasard. On considère les événements suivants :

- S : « le vacancier choisi fréquente une salle de sport »
- N : « le vacancier choisi pratique la natation ».

Pour tout événement \( E \) , on note \( \overline{E} \) l’événement contraire de \( E \), \( p(E) \) la probabilité de \( E \) et, si \( F \) est un événement de probabilité non nulle, on note \( p_F(E) \) la probabilité conditionnelle de \( E \) sachant \( F \).

Donner \( p(\overline{S}) \).

Compléter l’arbre de probabilités donné.

Traduire mathématiquement l’événement « le vacancier choisi ne fréquente pas de salle de sport et ne pratique pas la natation »

Calculer la probabilité \( p \) de cet évènement.
On donnera la réponse sous la forme \(p = ...\).

Exercice 2 : Probabilité conditionnelle en situation concrète avec un tableau rempli, questions en langage mathématique

Dans un collège de 1000 élèves, on a constaté que :

- 46% font du tennis
- 49% font du football et, parmi eux, 40% font aussi du tennis

On note :

- S1 : l’événement « l'élève fait du football »
- S2 : l’événement « l'élève fait du tennis »

On donnera les informations sous forme d'un tableau :

	Pratique le football	Ne pratique pas le football	Total
Pratique le tennis	\(196\)	\(264\)	\(460\)
Ne pratique pas le tennis	\(294\)	\(246\)	\(540\)
Total	\(490\)	\(510\)	\(1000\)

Indiquer la probabilité \(P_{}(S2) \).

Indiquer la probabilité \( P_{S1}(S2) \).

Indiquer la probabilité \( P(S1 \cap S2) \).

Indiquer la probabilité \( P(S1 \cup S2) \).

Indiquer la probabilité \( P(\overline{S2}) \).

Exercice 3 : Arbre de probabilités et interprétation d'énoncé (3 branches)

Un magasin de vêtements a constitué un stock d'un certain type de pantalons venant de trois fabricants \( f_1 \), \( f_2 \) et \( f_3 \).
Certains de ces pantalons présentent un défaut.
35% du stock provient du fabricant \( f_1 \), 30% du stock provient du fabricant \( f_2 \) et le reste du stock provient du fabricant \( f_3 \).
La qualité de la production n'est pas la même selon les fabricants.

Ainsi :

1% des pantalons produits par le fabricant \( f_1 \) sont défectueux.
8% des pantalons produits par le fabricant \( f_2 \) sont défectueux.
9% des pantalons produits par le fabricant \( f_3 \) sont défectueux.

On prélève au hasard un pantalon dans le stock. On considère les événements suivants :

\( F_1 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_1 \) » ;
\( F_2 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_2 \) » ;
\( F_3 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_3 \) » ;
\( D \) : « le pantalon est défectueux ».

Donner \( p(F_2) \).

Calculer la probabilité, notée \( p(q2) \), que le pantalon choisi soit défectueux sachant qu'il a été fabriqué par \( f_2 \) ?

Compléter l’arbre de probabilités donné.

Traduire mathématiquement l’événement « le pantalon choisi a été fabriqué par \( f_1 \) et n'est pas défectueux »

Calculer sa probabilité, notée \( p(événement) \).

Exercice 4 : Tirer une boule verte au deuxième tirage sans remise

Dans une urne contenant 4 boules vertes, 6 boules bleues et 4 boules rouges, on tire 2 boules sans remise, quelle est la probabilité de tirer une boule verte au 2e tirage ?
On donnera la réponse sous la forme d'un entier relatif ou d'une fraction.

Exercice 5 : Parmi les couples d'événements suivants, lesquels sont indépendants ?

Parmi les propositions suivantes, sélectionnez celles où \(A\) et \(B\) sont des événements indépendants.

A.\( P\left(A\right) = 0,66 \) , \( P\left(B\right) = 0,32 \) et \( P \left( A \cap B \right) = 0,2112 \)
B.\( P\left(A\right) = 0,88 \) , \( P\left(B\right) = 0,52 \) et \( P \left( A \cap B \right) = 0,4576 \)
C.\( P\left(A\right) = 0,34 \) , \( P\left(B\right) = 0,8 \) et \( P \left( A \cap B \right) = 0,24 \)
D.\( P\left(A\right) = 0,3 \) , \( P\left(B\right) = 0,42 \) et \( P \left( A \cap B \right) = 0,102 \)

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