Les probabilités conditionnelles

Probabilités et statistiques - Mathématiques Spécialité

Exercice 1 : Arbre de probabilités et interprétation d'énoncé (3 branches)

Un magasin de vêtements a constitué un stock d'un certain type de pantalons venant de trois fabricants \( f_1 \), \( f_2 \) et \( f_3 \).
Certains de ces pantalons présentent un défaut.
15% du stock provient du fabricant \( f_1 \), 10% du stock provient du fabricant \( f_2 \) et le reste du stock provient du fabricant \( f_3 \).
La qualité de la production n'est pas la même selon les fabricants.

Ainsi :

8% des pantalons produits par le fabricant \( f_1 \) sont défectueux.
4% des pantalons produits par le fabricant \( f_2 \) sont défectueux.
5% des pantalons produits par le fabricant \( f_3 \) sont défectueux.

On prélève au hasard un pantalon dans le stock. On considère les événements suivants :

\( F_1 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_1 \) » ;
\( F_2 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_2 \) » ;
\( F_3 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_3 \) » ;
\( D \) : « le pantalon est défectueux ».

Pour tout événement \( E \) , on note \( \overline{E} \) l’événement contraire de \( E \), \( p(E) \) la probabilité de \( E \) et, si \( F \) est un événement de probabilité non nulle, on note \( p_F(E) \) la probabilité conditionnelle de \( E \) sachant \( F \).

Donner \( p(F_3) \).

Calculer la probabilité, notée \( p(q2) \), que le pantalon choisi ne soit pas défectueux sachant qu'il a été fabriqué par \( f_1 \) ?

Compléter l’arbre de probabilités donné.

Traduire mathématiquement l’événement « le pantalon choisi a été fabriqué par \( f_1 \) et est défectueux »

Calculer sa probabilité, notée \( p(événement) \).

Exercice 2 : Déterminer si deux évènements sont indépendants à partir d'effectifs

\( F \) et \( M \) sont deux évènements associés à une expérience aléatoire. Le tableau ci-dessous donne certains effectifs de cette expérience.

Compléter ce tableau des effectifs.

Essais restants : 2

Calculer \( P(\overline{M}) \).
On donnera la réponse sous forme d'une fraction irréductible.

Calculer \( P_{M}(F) \).
On donnera la réponse sous forme d'une fraction irréductible.

Les évènements \( \overline{F} \) et \( M \) sont-ils indépendants ?

Exercice 3 : Probabilité conditionnelle en situation concrète avec un tableau rempli, questions en langage naturel

Dans un collège de 1000 élèves, on a constaté que :

- 32% font du football
- 58% font du handball et, parmi eux, 20% font aussi du football

On note :

- S1 : l’événement « l'élève fait du handball »
- S2 : l’événement « l'élève fait du football »

On donnera les informations sous forme d'un tableau :

	Pratique le handball	Ne pratique pas le handball	Total
Pratique le football	\(116\)	\(204\)	\(320\)
Ne pratique pas le football	\(464\)	\(216\)	\(680\)
Total	\(580\)	\(420\)	\(1000\)

On croise au hasard un élève de ce collège.

Indiquer la probabilité qu'il fasse du football.

Indiquer la probabilité qu'il fasse du football, sachant qu'il fait du handball.

Indiquer la probabilité qu'il fasse du handball ET du football

Indiquer la probabilité qu'il fasse du handball OU du football

Indiquer la probabilité qu'il ne fasse pas du football .

Exercice 4 : Calcul de probabilités conditionnelles à partir d'un tableau à double entrée

Soit le tableau d'effectifs suivant :

{"header_top": ["\\(A\\)", "\\(\\overline{A}\\)", "Total"], "header_left": ["\\(B\\)", "\\(\\overline{B}\\)", "Total"], "data": [["?", 25, 36], ["?", "?", 25], ["?", 37, "?"]]}

Calculer la probabilité \(P_{B} (\overline{A})\).
On donnera le résultat sous la forme d'une fraction.

Exercice 5 : Arbre de probabilités et interprétation d'énoncé (2 branches)

Un sondage a été effectué auprès de vacanciers sur leurs pratiques sportives pendant leurs congés.
Ce sondage révèle que 35% des vacanciers fréquentent une salle de sport pendant leurs congés et parmi ceux-ci, 65% pratiquent la natation.
Parmi les vacanciers qui ne fréquentent pas une salle de sport, 20% pratiquent la natation.

On choisit un vacancier au hasard. On considère les événements suivants :

- S : « le vacancier choisi fréquente une salle de sport »
- N : « le vacancier choisi pratique la natation ».

Donner \( p(\overline{S}) \).

Compléter l’arbre de probabilités donné.

Traduire mathématiquement l’événement « le vacancier choisi ne fréquente pas de salle de sport et ne pratique pas la natation »

Calculer la probabilité \( p \) de cet évènement.
On donnera la réponse sous la forme \(p = ...\).

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