Expressions du produit scalaire

Géométrie - Mathématiques Spécialité

Exercice 1 : Forme vectorielle

Soit les coordonnées de 2 vecteurs dans un repère orthonormé : \[ \overrightarrow{x} \begin{pmatrix} x \\ 4 \end{pmatrix} \] et \[ \overrightarrow{y} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \] Calculer \[ \overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{y} \]

Exercice 2 : Trouver m pour que vect(u) et vect(v) soient orthogonaux, deux solutions

Dans un repère orthonormé, on donne \( \overrightarrow{u} (27m;9) \) et \( \overrightarrow{v} (9m;-28). \)
Trouver la ou les valeurs de \( m\) pour laquelle les vecteurs \( \overrightarrow{u} \text{ et } \overrightarrow{v} \) sont orthogonaux.

On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple \(\{1; 3\}\).

Exercice 3 : Produit scalaire de 2 vecteurs colinéaires avec droite graduée

On considère 3 points \( A, B \text{ et } C \) d'abscisse respective \( a, b \text{ et } c \) sur une droite graduée.
Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) dans les 2 cas suivants :

Cas 1 :

Cas 2 :

Exercice 4 : Utilisation de la décomposition du produit scalaire dans une figure

On considère la figure ci-dessous, où :

  • \( AH = 3 \)
  • \( AB = 5 \)
  • \( BE = 3 \)
  • \( BCE \) est rectangle en \( B \)
  • \( ABCD \) est un carré
  • \( FH = 6 \)
Calculer le produit scalaire \( \overrightarrow{DH} \cdot \overrightarrow{FC} \).
On donnera directement la réponse, sans préciser à quoi elle correspond.

Exercice 5 : Calcul de produit scalaire avec projection orthogonale

\( ECA \) est un triangle et \( H \) est le pied de la hauteur issue de \( C \).

On donne :
  • \( EH =9 \)
  • \( AH = 7 \)
  • \( EC = 12 \)

Calculer \( \overrightarrow{EH}\cdot\overrightarrow{HC} \)

Calculer \( \overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AC} \)

Calculer \( \overrightarrow{EH}\cdot\overrightarrow{EC} \)

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