Loi de probabilité et variable aléatoire

Probabilités - Mathématiques STMG

Exercice 1 : Créer un tableau à double entrée (effectifs d'événements) - simple

Lors d'une enquête sur la pratique du sport, on a demandé à 600 personnes si elles pratiquaient le tennis et/ou la natation. 166 personnes pratiquent le tennis, 135 personnes la natation et 123 personnes pratiquent les deux sports.
Remplir le tableau d'effectifs.
{"header_top": ["Pratiquant le tennis", "Ne pratiquant pas le tennis", "Total"], "corner_cell": "Nombre de personnes", "header_left": ["Pratiquant la natation", "Ne pratiquant pas la natation", "Total"], "data": [["?", "?", "?"], ["?", "?", "?"], ["?", "?", "?"]]}

Exercice 2 : Arbre de probabilités et interprétation d'énoncé (3 branches)

Un magasin de vêtements a constitué un stock d'un certain type de pantalons venant de trois fabricants \( f_1 \), \( f_2 \) et \( f_3 \).
Certains de ces pantalons présentent un défaut.
30% du stock provient du fabricant \( f_1 \), 15% du stock provient du fabricant \( f_2 \) et le reste du stock provient du fabricant \( f_3 \).
La qualité de la production n'est pas la même selon les fabricants.

Ainsi :
  • 9% des pantalons produits par le fabricant \( f_1 \) sont défectueux.
  • 3% des pantalons produits par le fabricant \( f_2 \) sont défectueux.
  • 6% des pantalons produits par le fabricant \( f_3 \) sont défectueux.
On prélève au hasard un pantalon dans le stock. On considère les événements suivants :
  • \( F_1 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_1 \) » ;
  • \( F_2 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_2 \) » ;
  • \( F_3 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_3 \) » ;
  • \( D \) : « le pantalon est défectueux ».

Pour tout événement \( E \) , on note \( \overline{E} \) l’événement contraire de \( E \), \( p(E) \) la probabilité de \( E \) et, si \( F \) est un événement de probabilité non nulle, on note \( p_F(E) \) la probabilité conditionnelle de \( E \) sachant \( F \).

Donner \( p(F_3) \).
Calculer la probabilité, notée \( p(q2) \), que le pantalon choisi soit défectueux sachant qu'il a été fabriqué par \( f_3 \) ?
Compléter l’arbre de probabilités donné.
{"F_1": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}, "F_2": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}, "F_3": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}}
Traduire mathématiquement l’événement « le pantalon choisi a été fabriqué par \( f_3 \) et est défectueux »
Calculer sa probabilité, notée \( p(événement) \).

Exercice 3 : Probabilités - Création d'un tableau à double entrée

Une enquête est réalisée auprès de 8000 familles.
Lors de cette enquête, 45.0 % des familles déclarent posséder une télévision, 65.0 % des familles déclarent posséder une voiture et 30.0 % ne possèdent aucun des deux.
Remplir le tableau d'effectifs.
{"corner_cell": "Nombre de familles", "data": [["?", "?", "?"], ["?", "?", "?"], ["?", "?", "?"]], "header_left": ["Poss\u00e9dant une voiture", "Ne poss\u00e9dant pas de voiture", "Total"], "header_top": ["Poss\u00e9dant une t\u00e9l\u00e9vision", "Ne poss\u00e9dant pas de t\u00e9l\u00e9vision", "Total"]}

Exercice 4 : Test d'hypothèse pourcentage de population ayant une maladie

On fait l'hypothèse qu'une maladie touche \( 30 \)% de la population.
Afin de tester cette hypothèse, on évalue le cas de \( 400 \) personnes dans la population et on trouve que \( 31 \)% de ces personnes sont touchées par la maladie.

Doit-on rejeter l'hypothèse que \( 30 \)% de la population est malade, au risque d'erreur de \( 5 \)% ?

Exercice 5 : Déterminer P(X=N), P(X≤M) et trouver la valeur d'une probabilité inconnue

On considère la loi de probabilité suivante :

\(x_i\)\( -3 \)\( 1 \)\( 2 \)\( 3 \)\( 8 \)
\( P( X = x_i ) \)\( 0,21 \)\( 0,17 \)\( 0,27 \)\( 0,07 \)\( p \)

Déterminer la probabilité \( P\left(X = 3 \right) \).
On donnera la réponse uniquement.
Déterminer la probabilité \( P\left(X \leq 2 \right) \).
On donnera la réponse uniquement.
Calculer la valeur de \( p \).
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