Loi de probabilité et variable aléatoire

Probabilités - Mathématiques STI2D/STL

Exercice 1 : Créer un tableau à double entrée (fréquences d'événements) - simple

Lors d'une enquête sur la pratique du sport, on a demandé à 500 personnes si elles pratiquaient le tennis et/ou la natation. 228 personnes pratiquent le tennis, 193 personnes la natation et 161 personnes pratiquent les deux sports.

Remplir le tableau de fréquences.
On donnera les réponses sous forme décimale ou de fractions.
{"header_top": ["Pratiquant le tennis", "Ne pratiquant pas le tennis", "Total"], "data": [["?", "?", "?"], ["?", "?", "?"], ["?", "?", "?"]], "header_left": ["Pratiquant la natation", "Ne pratiquant pas la natation", "Total"], "corner_cell": "Fr\u00e9quence des personnes"}

Exercice 2 : Arbre de probabilités et interprétation d'énoncé (3 branches)

Un magasin de vêtements a constitué un stock d'un certain type de pantalons venant de trois fabricants \( f_1 \), \( f_2 \) et \( f_3 \).
Certains de ces pantalons présentent un défaut.
15% du stock provient du fabricant \( f_1 \), 20% du stock provient du fabricant \( f_2 \) et le reste du stock provient du fabricant \( f_3 \).
La qualité de la production n'est pas la même selon les fabricants.

Ainsi :
  • 3% des pantalons produits par le fabricant \( f_1 \) sont défectueux.
  • 6% des pantalons produits par le fabricant \( f_2 \) sont défectueux.
  • 9% des pantalons produits par le fabricant \( f_3 \) sont défectueux.
On prélève au hasard un pantalon dans le stock. On considère les événements suivants :
  • \( F_1 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_1 \) » ;
  • \( F_2 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_2 \) » ;
  • \( F_3 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_3 \) » ;
  • \( D \) : « le pantalon est défectueux ».

Pour tout événement \( E \) , on note \( \overline{E} \) l’événement contraire de \( E \), \( p(E) \) la probabilité de \( E \) et, si \( F \) est un événement de probabilité non nulle, on note \( p_F(E) \) la probabilité conditionnelle de \( E \) sachant \( F \).

Donner \( p(F_2) \).
Calculer la probabilité, notée \( p(q2) \), que le pantalon choisi ne soit pas défectueux sachant qu'il a été fabriqué par \( f_1 \) ?
Compléter l’arbre de probabilités donné.
{"F_1": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}, "F_2": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}, "F_3": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}}
Traduire mathématiquement l’événement « le pantalon choisi a été fabriqué par \( f_1 \) et n'est pas défectueux »
Calculer sa probabilité, notée \( p(événement) \).

Exercice 3 : Déterminer P(X=N), P(X≤M) et trouver la valeur d'une probabilité inconnue

On considère la loi de probabilité suivante :

\(x_i\)\( -9 \)\( -4 \)\( -3 \)\( -2 \)\( 9 \)
\( P( X = x_i ) \)\( 0,01 \)\( 0,14 \)\( 0,18 \)\( 0,26 \)\( p \)

Déterminer la probabilité \( P\left(X = -9 \right) \).
On donnera la réponse uniquement.
Déterminer la probabilité \( P\left(X \leq -3 \right) \).
On donnera la réponse uniquement.
Calculer la valeur de \( p \).

Exercice 4 : Calcul de probabilités conditionnelles à partir d'un tableau à double entrée

Soit le tableau d'effectifs suivant :
{"header_top": ["\\(A\\)", "\\(\\overline{A}\\)", "Total"], "header_left": ["\\(B\\)", "\\(\\overline{B}\\)", "Total"], "data": [["?", 10, "?"], [15, "?", 43], [30, "?", 68]]}
Calculer la probabilité \(P_{\overline{A}} (\overline{B})\).
On donnera le résultat sous la forme d'une fraction.

Exercice 5 : Loi de probabilités - Tableau à compléter

On étudie un dé truqué suivant la loi de probabilité décrite dans le tableau ci-dessous.
{"header_top": ["Face 1", "Face 2", "Face 3", "Face 4", "Face 5", "Face 6"], "header_left": ["Probabilit\u00e9"], "data": [["3a", "a", "\\dfrac{1}{3}", "5a", "\\dfrac{2}{5}", "a"]]}
Calculer la valeur de \(a\).
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