Loi de probabilité et variable aléatoire

Probabilités - Mathématiques STI2D/STL

Exercice 1 : Créer un tableau à double entrée (effectifs d'événements) - simple

Lors d'une enquête sur la pratique du sport, on a demandé à 200 personnes si elles pratiquaient le tennis et/ou la natation. 70 personnes pratiquent le tennis, 80 personnes la natation et 48 personnes pratiquent les deux sports.
Remplir le tableau d'effectifs.
{"header_top": ["Pratiquant le tennis", "Ne pratiquant pas le tennis", "Total"], "data": [["?", "?", "?"], ["?", "?", "?"], ["?", "?", "?"]], "header_left": ["Pratiquant la natation", "Ne pratiquant pas la natation", "Total"], "corner_cell": "Nombre de personnes"}

Exercice 2 : Déterminer les valeurs prises et la loi de probabilité à partir d'un énoncé (un seul tirage)

On lance un dé équilibré à six faces. On perd 3 € si le résultat est un nombre impair, on perd 4 € si le résultat est un 2 et sinon on gagne 7 €.
On appelle \( G \) la variable aléatoire égale au gain algébrique en euro obtenu en fin de partie.

Donner les valeurs prises par la variable aléatoire \( G \).
(On donnera la liste séparée par des point-virgules. S'il n'y en a aucun, écrire "Aucun" )
Donner la loi de probabilité de \( G \) en complétant le tableaux suivant.
On donnera les valeurs prises par la variable aléatoire dans l'ordre croissant.
{"data": [["?", "?", "?"], ["?", "?", "?"]], "header_left": ["\\(g_i\\)", "\\(P\\left(G=g_i\\right)\\)"]}

Exercice 3 : Arbre de probabilités et interprétation d'énoncé (3 branches)

Un magasin de vêtements a constitué un stock d'un certain type de pantalons venant de trois fabricants \( f_1 \), \( f_2 \) et \( f_3 \).
Certains de ces pantalons présentent un défaut.
25% du stock provient du fabricant \( f_1 \), 30% du stock provient du fabricant \( f_2 \) et le reste du stock provient du fabricant \( f_3 \).
La qualité de la production n'est pas la même selon les fabricants.

Ainsi :
  • 5% des pantalons produits par le fabricant \( f_1 \) sont défectueux.
  • 9% des pantalons produits par le fabricant \( f_2 \) sont défectueux.
  • 6% des pantalons produits par le fabricant \( f_3 \) sont défectueux.
On prélève au hasard un pantalon dans le stock. On considère les événements suivants :
  • \( F_1 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_1 \) » ;
  • \( F_2 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_2 \) » ;
  • \( F_3 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_3 \) » ;
  • \( D \) : « le pantalon est défectueux ».

Pour tout événement \( E \) , on note \( \overline{E} \) l’événement contraire de \( E \), \( p(E) \) la probabilité de \( E \) et, si \( F \) est un événement de probabilité non nulle, on note \( p_F(E) \) la probabilité conditionnelle de \( E \) sachant \( F \).

Donner \( p(F_3) \).
Calculer la probabilité, notée \( p(q2) \), que le pantalon choisi soit défectueux sachant qu'il a été fabriqué par \( f_1 \) ?
Compléter l’arbre de probabilités donné.
{"F_1": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}, "F_2": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}, "F_3": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}}
Traduire mathématiquement l’événement « le pantalon choisi a été fabriqué par \( f_3 \) et est défectueux »
Calculer sa probabilité, notée \( p(événement) \).

Exercice 4 : Loi binomiale : déterminer a et b tels que P(a <= X <= b) >= 0.95

Soit \( X \) une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \( n = 60 \) et \( p = 0,4 \).

Déterminer deux nombres entiers \( a \) et \( b \) tels que \( P(a \leq X \leq b) \geq 0,99 \) avec \( b - a \) le plus petit possible.
On donnera la réponse sous la forme d'un couple \( (a ; b) \), par exemple : \( ( 5 ; 2 ) \)

Exercice 5 : Loi de probabilités - Tableau à compléter

On étudie un dé truqué suivant la loi de probabilité décrite dans le tableau ci-dessous.
{"header_top": ["Face 1", "Face 2", "Face 3", "Face 4", "Face 5", "Face 6"], "header_left": ["Probabilit\u00e9"], "data": [["2a", "3a", "4a", "a", "a", "\\dfrac{1}{3}"]]}
Calculer la valeur de \(a\).
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