Loi de probabilité

Variables aléatoires discrètes finies - Mathématiques ST2S/STD2A

Exercice 1 : Déterminer P(X=N), P(X≤M) et trouver la valeur d'une probabilité inconnue

On considère la loi de probabilité suivante :

\(x_i\)\( -6 \)\( -1 \)\( 1 \)\( 6 \)\( 10 \)
\( P( X = x_i ) \)\( 0,01 \)\( 0,33 \)\( 0,27 \)\( 0,05 \)\( p \)

Déterminer la probabilité \( P\left(X = 1 \right) \).
On donnera la réponse uniquement.
Déterminer la probabilité \( P\left(X \leq 1 \right) \).
On donnera la réponse uniquement.
Calculer la valeur de \( p \).

Exercice 2 : Retrouver une loi aléatoire à partir d'une simulation Python

La fonction simul définie en Python simule une loi de probabilité \( X \), en utilisant une fonction randint qui prend deux entiers \( a\text{, }b \) en paramètres et renvoie un entier aléatoire \( r \) tel que \( a \le r \le b \) . 

from random import randint
def simul():
     alea = randint(1, 60)
     if alea <= 22:
          return 0
     if alea >= 33:
          return 1
     return 3
Donner la loi de probabilité de \( X \) en complétant le tableau suivant.
On donnera les valeurs prises par la variable aléatoire dans l'ordre croissant.
{"data": [["?", "?", "?"], ["?", "?", "?"]], "header_left": ["\\( x_i \\)", "\\( P\\left(X=x_i\\right) \\)"]}
Quelle est l'espérance de cette loi de probabilité ?
On donnera la réponse sous la forme d'un entier ou d'une fraction simplifiée.

Exercice 3 : Déterminer les valeurs prises et la loi de probabilité à partir d'un énoncé (deux tirages avec remise)

On lance deux fois un dé équilibré à six faces. À chaque lancer, on perd 8 € si le résultat est un nombre impair, on gagne 7 € si le résultat est un 4, et on perd 1 € dans les autres cas.
On appelle \( G \) la variable aléatoire égale au gain algébrique en euro obtenu en fin de partie.


Donner les valeurs prises par la variable aléatoire \( G \).
On donnera la liste séparée par des point-virgules. S'il n'y en a aucun, écrire Aucun.
Donner la loi de probabilité de \( G \) en complétant le tableau suivant.
On donnera les valeurs prises par la variable aléatoire dans l'ordre croissant.
{"header_left": ["\\( g_i \\)", "\\( P\\left(G=g_i\\right) \\)"], "data": [["?", "?", "?", "?", "?", "?"], ["?", "?", "?", "?", "?", "?"]]}

Exercice 4 : Déterminer les valeurs prises et la loi de probabilité à partir d'un énoncé (un seul tirage)

On lance un dé équilibré à six faces. On perd 2 € si le résultat est un nombre supérieur ou égal à 4, on gagne 5 € si le résultat est un 2 et sinon on perd 4 €.
On appelle \( G \) la variable aléatoire égale au gain algébrique en euro obtenu en fin de partie.

Donner les valeurs prises par la variable aléatoire \( G \).
(On donnera la liste séparée par des point-virgules. S'il n'y en a aucun, écrire "Aucun" )
Donner la loi de probabilité de \( G \) en complétant le tableaux suivant.
On donnera les valeurs prises par la variable aléatoire dans l'ordre croissant.
{"header_left": ["\\(g_i\\)", "\\(P\\left(G=g_i\\right)\\)"], "data": [["?", "?", "?"], ["?", "?", "?"]]}

Exercice 5 : Déterminer une loi de probabilité à partir d'un énoncé (trois tirages sans remise)

Un sac contient douze cubes : quatre gros cubes mauves, deux petits cubes verts, trois gros cubes verts, deux petits cubes blancs et un petit cube mauve. Un enfant prend trois cubes simultanément dans le sac.

On note :
  • \(A\) : l'évènement d'obtenir trois cubes de couleurs différentes.
  • \(B\) : l'évènement d'obtenir au plus un petit cube.
Calculer la probabilité de \(A\).
On arrondira la réponse à \(10^{-2}\).
Calculer la probabilité de \(B\).
On arrondira la réponse à \(10^{-2}\).

Soit \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de petit cube mauve tirés par l'enfant.

Donner la loi de probabilité de \(X\) en complétant le tableau suivant.
On donnera les valeurs prises par la variable aléatoire dans l'ordre croissant et on arrondira les réponses à \(10^{-2}\).
{"header_left": ["\\(x_i\\)", "\\(P(X=x_i)\\)"], "data": [["?", "?"], ["?", "?"]]}
Calculer l'espérance de \(X\).
On utilisera les valeurs exactes pour faire le calcul, qu'on arrondira à \(10^{-2}\) au dernier moment.
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