Loi binomiale

Variables aléatoires discrètes finies - Mathématiques STMG

Exercice 1 : Probabilité de loi binomiale P(X = 3)

Soit \( X \) une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \( n = 5 \) et \( p = \dfrac{1}{2} \).

Calculer \( P(X = 2) \)
On donnera la réponse arrondie à \( 10^{-4} \) près.
On donnera la réponse directement, sans préciser à quoi elle correspond.

Exercice 2 : Probabilité de loi binomiale P(X ≥ 3)

Soit \( X \) une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \(n = 9\) et \(p = \dfrac{1}{2}\).

Calculer \(P\left(X \ge 5\right)\)
On donnera la réponse arrondie à \(10^{-4}\) près.

Exercice 3 : Arbre de probabilités - Dénombrement (2)

Pierre, après avoir observé son entourage, détermine qu'il y a une probabilité \(p = 0,6\) qu'une personne de son entourage sélectionnée au hasard porte un habit de la même couleur que lui un jour donné. Mathématicien dans l'âme, il tire 3 personnes avec remise de son entourage, et regarde si elles portent un habit de la même couleur que lui. On décide donc de modéliser cette épreuve par une loi binomiale, de paramètres \(n = 3\) et \(p = 0,6\).Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi. On notera \(S\) le succès, c'est-à-dire que la personne sélectionnée porte un habit de la même couleur que Pierre, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire que la personne sélectionnée ne porte pas un habit de la même couleur que Pierre d'une épreuve de Bernoulli de paramètre \(n\).
En déduire la probabilité de tomber sur aucune personne de son entourage sur les 3 sélectionnées portant un habit de la même couleur que Pierre.

Exercice 4 : Loi binomiale - Trouver les paramètres en lecture d'énoncé (difficile)

Une association cherche à faire des statistiques sur ses membres. Les gérants ont remarqué qu'en moyenne, parmi les 40 membres qui composent l'association, 10 d'entre eux cotisaient plus de 19 euros par trimestre. Pour mieux gérer l'expansion de l'association, ils cherchent à calculer à terme les fonds qu'ils peuvent espérer obtenir avec 44 membres. Ils décident de modéliser la situation par une loi binomiale et souhaitent calculer la probabilité que 35 de leurs membres cotisent plus de 19 euros par trimestre.

Que vaut le paramètre \(n\) de la loi binomiale ainsi modélisée ?
De même, que vaut son paramètre \(p\) ?

Exercice 5 : Arbre de probabilités, Tableau et espérance (exercice long)

On s’intéresse à la population masculine du Lesotho. Nous savons qu'en 2010 il y avait \(1\:067\:126\) hommes et \(1\:104\:192\) femmes.
On sélectionne au hasard \(3\) personnes de ce pays, avec remise et de manière indépendante.
À chaque tirage, on regarde si la personne est un homme ou une femme.

On peut modéliser cette expérience aléatoire par \(n\) épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre \(p\), avec \(S\) le succès, c'est-à-dire que la personne tirée soit un homme, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire que la personne tirée ne soit pas un homme.

Calculer le paramètre \(p\) de la loi, la probabilité \(p(S)\) de succès de l'événement \(S\) « la personne tirée est un homme »
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
On décide donc de modéliser cette épreuve par une loi binomiale, de paramètres \(n = 3\) et \(p\). Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi.
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
Compléter le tableau de la loi de probabilité correspondante au nombre de fois où un homme a été tiré.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
{"data": [["0", "1", "2", "3"], ["?", "?", "?", "?"]], "header_left": ["Nombre de fois ou un homme a \u00e9t\u00e9 tir\u00e9", "Probabilit\u00e9"]}
En déduire l'espérance de cette loi.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
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