Division euclidienne

Les publications, comme les journaux et les périodiques, sont identifiées par un numéro ISSN (International Standard Serial Number). L'impression de l'ISSN sur les publications en série est obligatoire.
Le numéro ISSN est composé de deux groupes de quatre chiffres séparés par un tiret : \(abcd-efgh\).
Par exemple, la revue Maths & malices a pour ISSN : \(1162-9487\).

Les sept premiers caractères sont des chiffres qui caractérisent la publication.
Le dernier caractère, situé à la huitième position, est la clé de contrôle. Cette clé de contrôle est prise dans la liste des \(11\) caractères suivants : \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, X\) (où \(X\) représente le nombre \(10\)).
Pour déterminer cette clé, on calcule le nombre \(S=8a+7b+6c+5d+4e+3f+2g\) puis on détermine le reste de la division euclidienne de \(-S\) par \(11\). Ce reste constitue la clé de contrôle.

Sur un journal, un des caractères ISSN est illisible. On le note \(n\).
On a alors : \(n029-1280\)

Le numéro INSEE, aussi appelé numéro de Sécurité Sociale, est formé d'une suite unique de 15 chiffres attribués pour chaque individu de nationalité française.
Ce numéro est ainsi déterminé :

Pour calculer la clé de contrôle, on prend le nombre formé par les 13 premiers chiffres et on cherche son reste \( r \) dans la division par \( 97 \).
La clé est alors égale au nombre \( 97 - r \) écrit avec deux chiffres (le premier étant éventuellement un 0).

On prend un personne au hasard dans la population. Son numéro de Sécurité Sociale, dont on a caché la clé de contrôle, est le suivant : \[ 1\:69\:08\:40\:128\:295\: \text{xx} \]

Dans un hôpital, un médecin se demande si son secrétaire n'aurait pas commis une erreur en recopiant le numéro INSEE de son patient : \[ 1\:78\:01\:35\:683\:287\:21 \]