Suites géométriques

Suites numériques - Mathématiques STI2D/STL

Exercice 1 : Problème contextualisé - Seuil d'une suite géométrique

On s’intéresse à l’efficacité d’un type de vaccin européen contre la grippe.
En \( 2000 \), on a recensé \( 230 \) millions de cas de grippe.
Avec ce vaccin, chaque année, le nombre de cas diminue de \( 13 \)%

On modélise le nombre de cas annuel par une suite numérique géométrique \( ( b_n ) \).
Étant donné un entier naturel \( n \), on note \( b_n \), le nombre de cas observés (en millions) pendant l’année \( 2000 + n \).
\( b_0 \) est donc le nombre de cas recensés en \( 2000 \), et : \( b_0 = 230 \).

En dessous d’un certain seuil de nombre de cas, il faudra mettre en place un autre type de vaccin.

Déterminer à partir de quelle année le nombre de cas de grippe sera strictement inférieur à \( 100 \) millions.

Exemple de réponse attendue : \( 2000 \)

Exercice 2 : Déterminer la raison et le sens de variation d'une suite géométrique (explicite, q entier ou fraction > 0 et u0 entier > 0)

Soit la suite \( \left(u_n\right) \) définie sur \( \mathbb{N} \) telle que : \[ \left(u_n\right) : u_n = 5\left(\dfrac{1}{9}\right)^{n} \]

Si la suite \( \left(u_n\right) \) est géométrique ou arithmétique, donner sa raison \( q \), sinon écrire "aucun" :
En déduire le sens de variation de \( (u_n) \).

Exercice 3 : Écrire la forme explicite d'une suite géométrique connaissant u0 et la relation récurrence (q et u0 >0)

Calculer : \[ 1 + 7 + 7^{2} + 7^{3} + ... + 7^{15} \]
On donnera le résultat exact sous n'importe quelle forme ne comprenant pas de "...".

Exercice 4 : Somme des premiers termes d'une suite géométrique(la suite démarre forcément à u_0)

Soit \((u_n)\), la suite définie par \[ (u_n) : \begin{cases} u_0 = 8 \\ \forall n \geq 0, u_{n+1} = \dfrac{4}{5}u_n \end{cases} \] Calculer \(u_0 + u_1 + u_2 + ... u_{15}\).

Exercice 5 : Ecrire sous forme explicite à partir la forme de récurrence

Ecrire \(u_n\) uniquement en fonction de \(n\). \[ (u_n) : \begin{cases} u_1 = 3 \\ u_{n+1} = 9u_n \end{cases} \]
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