Loi binomiale

Probabilités - Mathématiques Complémentaire

Exercice 1 : Arbre de probabilités, Tableau et espérance (exercice long)

On s’intéresse à la population masculine de Porto Rico. Nous savons qu'en 2010 il y avait \(1\:802\:913\) hommes et \(1\:946\:096\) femmes.
On sélectionne au hasard \(3\) personnes de ce pays, avec remise et de manière indépendante.
À chaque tirage, on regarde si la personne est un homme ou une femme.

On peut modéliser cette expérience aléatoire par \(n\) épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre \(p\), avec \(S\) le succès, c'est-à-dire que la personne tirée soit un homme, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire que la personne tirée ne soit pas un homme.

Calculer le paramètre \(p\) de la loi, la probabilité \(p(S)\) de succès de l'événement \(S\) « la personne tirée est un homme »
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
On décide donc de modéliser cette épreuve par une loi binomiale, de paramètres \(n = 3\) et \(p\). Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi.
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
Compléter le tableau de la loi de probabilité correspondante au nombre de fois où un homme a été tiré.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
{"header_left": ["Nombre de fois ou un homme a \u00e9t\u00e9 tir\u00e9", "Probabilit\u00e9"], "data": [["0", "1", "2", "3"], ["?", "?", "?", "?"]]}
En déduire l'espérance de cette loi.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

Exercice 2 : Loi binomiale - Espérance et variance

Soit B une loi binomiale de paramètres \(p = \dfrac{1}{5} \) et \(n = 5 \).
Quelle est l'espérance de B ?
Quelle est la variance de B ?

Exercice 3 : Probabilité de loi binomiale P(X = 3)

Soit \( X \) une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \( n = 9 \) et \( p = \dfrac{1}{2} \).

Calculer \( P(X = 5) \)
On donnera la réponse arrondie à \( 10^{-4} \) près.
On donnera la réponse directement, sans préciser à quoi elle correspond.

Exercice 4 : Arbre de probabilités - Dénombrement (2)

À l'occasion d'un jeu télévisé, une personne essaye de gagner une voiture. Pour cela, elle doit tirer exactement trois tickets verts d'une urne contenant uniquement des tickets rouges et verts, et ce en 3 tirages. Les tirages sont avec remise et indépendants les uns des autres. La probabilité de tirer un ticket vert est de \(p = 0,9\). On décide donc de modéliser cette épreuve par une loi binomiale, de paramètres \(n = 3\) et \(p = 0,9\).Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi. On notera \(S\) le succès, c'est-à-dire tirer un ticket vert, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire tirer un ticket rouge d'une épreuve de Bernoulli de paramètre \(n\).
En déduire la probabilité de gagner la voiture.

Exercice 5 : Loi binomiale - Trouver les paramètres en lecture d'énoncé (difficile)

Un groupe de musique désire mesurer sa popularité auprès du public. Ses membres ont remarqué qu'en moyenne, après des concerts de 25 personnes, 4 personnes les ont suivi sur les réseaux sociaux et 20 ont laissé un commentaire sur le profil du groupe. Leur prochain concert dans la ville voisine approche et ses 33 spectateurs également ! Ils souhaitent estimer leur futur succès. Ils cherchent ainsi à calculer la probabilité que plus de 20 personnes les suivent sur les réseaux sociaux après leur concert et modélisent pour cela la situation par une loi binomiale.

Que vaut le paramètre \(n\) de la loi binomiale ainsi modélisée ?
De même, que vaut son paramètre \(p\) ?
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