Loi binomiale

Probabilités - Mathématiques Complémentaire

Exercice 1 : Arbre de probabilités, Tableau et espérance (exercice long)

On s’intéresse à la population féminine du Brunei. Nous savons qu'en 2010 il y avait \(201\:562\) hommes et \(197\:358\) femmes.
On sélectionne au hasard \(3\) personnes de ce pays, avec remise et de manière indépendante.
À chaque tirage, on regarde si la personne est un homme ou une femme.

On peut modéliser cette expérience aléatoire par \(n\) épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre \(p\), avec \(S\) le succès, c'est-à-dire que la personne tirée soit une femme, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire que la personne tirée ne soit pas une femme.

Calculer le paramètre \(p\) de la loi, la probabilité \(p(S)\) de succès de l'événement \(S\) « la personne tirée est une femme »
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

On décide donc de modéliser cette épreuve par une loi binomiale, de paramètres \(n = 3\) et \(p\). Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi.
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

Compléter le tableau de la loi de probabilité correspondante au nombre de fois où une femme a été tiré.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

En déduire l'espérance de cette loi.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

Exercice 2 : Probabilité de loi binomiale P(X = 3)

Soit \( X \) une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \( n = 6 \) et \( p = \dfrac{1}{2} \).

Calculer \( P(X = 4) \)
On donnera la réponse arrondie à \( 10^{-4} \) près.
On donnera la réponse directement, sans préciser à quoi elle correspond.

Exercice 3 : Loi binomiale - Espérance uniquement

Soit B une loi binomiale de paramètres \(p = \dfrac{1}{2} \) et \(n = 10 \).

Quelle est l'espérance de B ?

Exercice 4 : Proba de loi binomiale P(X ≤ 3)

Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \(n = 9\) et \(p = \dfrac{1}{2}\).
Calculer \(P\left(X \lt 4\right)\)
On donnera la réponse arrondie à \(10^{-4}\) près.

Exercice 5 : Loi binomiale : déterminer a et b tels que P(a <= X <= b) >= 0.95

Soit \( X \) une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \( n = 60 \) et \( p = 0,44 \).

Déterminer deux nombres entiers \( a \) et \( b \) tels que \( P(a \leq X \leq b) \geq 0,99 \) avec \( b - a \) le plus petit possible.
On donnera la réponse sous la forme d'un couple \( (a ; b) \), par exemple : \( ( 5 ; 2 ) \)

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