Probabilités - Complémentaire

Soit B une loi binomiale de paramètres \(p = \dfrac{2}{5} \) et \(n = 6 \).
Quelle est l'espérance de B ?

Quelle est la variance de B ?

On s’intéresse à la population féminine de la Turquie. Nous savons qu'en 2010 il y avait 36 285 250 hommes et 36 467 075 femmes. On sélectionne au hasard 3 personnes de ce pays, avec remise et de manière indépendante. A chaque tirage, on regarde si la personne est un homme ou une femme.

On peut modéliser cette expérience aléatoire par \(n\) épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre \(p\), avec \(S\) le succès, c'est-à-dire que la personne tirée soit une femme, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire que la personne tirée ne soit pas une femme.

1. Calculer le paramètre \(p\) de la loi, la probabilité \(p(S)\) de succès de l'événement \(S\) « la personne tirée est une femme »

On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

2.

On décide donc de modéliser cette épreuve par une loi binomiale, de paramètres \(n = 3\) et \(p\).

Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi.

On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

3. Compléter le tableau de la loi de probabilité correspondante au nombre de fois ou une femme a été tiré.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

4. En déduire l'espérance de cette loi.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

Soit \( X \) une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \( n = 7 \) et \( p = \dfrac{3}{4} \).

Calculer \( P(X = 4) \)
On donnera la réponse arrondie à \( 10^{-4} \) près.
On donnera la réponse directement, sans préciser à quoi elle correspond.

Un joueur de football prétend qu'à l'entraînement, il peut marquer un but depuis l'autre bout du terrain \( 17 \) fois sur \( 24 \). On note \( T \) la variable aléatoire égale au nombre de buts marqués dans ce cadre lors d'une série de \( 5 \) essais, les essais étant supposés indépendants les uns des autres.

Quelle est la probabilité que ce joueur marque exactement \( 3 \) buts ?
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-2} \) près.

On rappelle que l'espérance de la loi \( T \) est le nombre moyen de buts que marquerait ce joueur s'il effectuait de nouvelles séries de \( 5 \) essais un grand nombre de fois.

Calculer l'espérance de la loi \( T \).
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-2} \) près.

Dans un hôpital, on a remarqué que la probabilité qu'un patient soit vacciné contre l'hépatite B est de \( p = 0,4 \). On tire au hasard, avec remise et de manière indépendante 3 patients de l'hôpital et on regarde s'ils sont vaccinés. On peut modéliser cette expérience aléatoire par \(n\) épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre \(p\)), avec \(S\) le succès, c'est-à-dire que le patient soit vacciné, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire que le patient ne soit pas vacciné. On peut donc affirmer que le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres \( n = 3 \) et \( p = 0,4 \).Dessiner l'arbre de probabilité représentant cette loi.

En comptant les branches de l'arbre, en déduire le coefficient binomial \( \binom{3}{3} \).