Loi binomiale

Probabilités - Mathématiques Complémentaire

Exercice 1 : Arbre de probabilités, Tableau et espérance (exercice long)

On s’intéresse à la population féminine de Haïti. Nous savons qu'en 2010 il y avait \(4\:956\:750\) hommes et \(5\:036\:497\) femmes.
On sélectionne au hasard \(3\) personnes de ce pays, avec remise et de manière indépendante.
À chaque tirage, on regarde si la personne est un homme ou une femme.

On peut modéliser cette expérience aléatoire par \(n\) épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre \(p\), avec \(S\) le succès, c'est-à-dire que la personne tirée soit une femme, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire que la personne tirée ne soit pas une femme.

Calculer le paramètre \(p\) de la loi, la probabilité \(p(S)\) de succès de l'événement \(S\) « la personne tirée est une femme »
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
On décide donc de modéliser cette épreuve par une loi binomiale, de paramètres \(n = 3\) et \(p\). Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi.
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
Compléter le tableau de la loi de probabilité correspondante au nombre de fois où une femme a été tiré.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
{"data": [["0", "1", "2", "3"], ["?", "?", "?", "?"]], "header_left": ["Nombre de fois ou une femme a \u00e9t\u00e9 tir\u00e9", "Probabilit\u00e9"]}
En déduire l'espérance de cette loi.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

Exercice 2 : Loi binomiale - Trouver les paramètres en lecture d'énoncé (difficile)

Une association cherche à faire des statistiques sur ses membres. Les gérants ont remarqué qu'en moyenne, parmi les 60 membres qui composent l'association, 10 d'entre eux cotisaient plus de 26 euros par trimestre. Pour mieux gérer l'expansion de l'association, ils cherchent à calculer à terme les fonds qu'ils peuvent espérer obtenir avec 65 membres. Ils décident de modéliser la situation par une loi binomiale et souhaitent calculer la probabilité que 58 de leurs membres cotisent plus de 26 euros par trimestre.

Que vaut le paramètre \(n\) de la loi binomiale ainsi modélisée ?
De même, que vaut son paramètre \(p\) ?

Exercice 3 : Loi binomiale - construction d'arbre et coefficient binomial

Bonnie et Clyde s'affrontent à pile ou face pour départager leur butin. La pièce qu'ils choisissent de lancer est cependant truquée, et elle a une probabilité \( p = 0,8 \) de tomber sur face. Ils décident de jouer 3 tirages, et pour chaque sortie de face, Bonnie gagne un tiers du butin. On peut modéliser cette expérience aléatoire par \(n\) épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre \(p\), avec \(S\) le succès, c'est-à-dire que la pièce tombe sur face, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire que la pièce ne tombe pas sur face. On peut donc affirmer que le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres \( n = 3 \) et \( p = 0,8 \).Dessiner l'arbre de probabilité représentant cette loi.
En comptant les branches de l'arbre, en déduire le coefficient binomial \( \binom{3}{2} \).

Exercice 4 : Loi binomiale : déterminer a et b tels que P(a <= X <= b) >= 0.95

Soit \( X \) une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \( n = 100 \) et \( p = 0,24 \).

Déterminer deux nombres entiers \( a \) et \( b \) tels que \( P(a \leq X \leq b) \geq 0,9 \) avec \( b - a \) le plus petit possible.
On donnera la réponse sous la forme d'un couple \( (a ; b) \), par exemple : \( ( 5 ; 2 ) \)

Exercice 5 : Loi binomiale - Approche intuitive de l'espérance

Armelle et Jean-Christophe jouent à lancer une pièce de monnaie qui a 3 fois plus de chances de tomber sur Pile que sur Face.
En utilisant la formule de l'espérance d'une loi binomiale, estimer le nombre de Pile qu'ils peuvent s'attendre à obtenir après 450 lancers. On arrondira le résultat pour qu'il s'exprime sous la forme d'un entier.
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