Loi binomiale

Probabilités - Mathématiques Complémentaire

Exercice 1 : Loi binomiale - Espérance uniquement

Soit B une loi binomiale de paramètres \(p = \dfrac{1}{3} \) et \(n = 8 \).

Quelle est l'espérance de B ?

Exercice 2 : Loi binomiale : déterminer a et b tels que P(a <= X <= b) >= 0.95

Soit \( X \) une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \( n = 60 \) et \( p = 0,32 \).

Déterminer deux nombres entiers \( a \) et \( b \) tels que \( P(a \leq X \leq b) \geq 0,95 \) avec \( b - a \) le plus petit possible.
On donnera la réponse sous la forme d'un couple \( (a ; b) \), par exemple : \( ( 5 ; 2 ) \)

Exercice 3 : Loi binomiale - construction d'arbre et coefficient binomial

Un conducteur constate après de nombreux trajets que pendant une minute de route, il a une probabilité de \(p = 0,3\) à chaque feu de croisement que ce dernier soit vert au moment où il arrive. Pendant une minute, ce conducteur rencontre exactement 4 feux. On peut modéliser cette expérience aléatoire par \(n\) épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre \(p\), avec \(S\) le succès, c'est-à-dire que le feu soit vert quand il arrive au croisement, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire que le feu soit orange ou rouge. On peut donc affirmer que le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres \( n = 4 \) et \( p = 0,3 \).Dessiner l'arbre de probabilité représentant cette loi.

En comptant les branches de l'arbre, en déduire le coefficient binomial \( \binom{4}{1} \).

Exercice 4 : Loi binomiale - Calcul de probabilité et espérance

Un joueur de football prétend qu'à l'entraînement, il peut marquer un but depuis l'autre bout du terrain \( 9 \) fois sur \( 12 \). On note \( T \) la variable aléatoire égale au nombre de buts marqués dans ce cadre lors d'une série de \( 5 \) essais, les essais étant supposés indépendants les uns des autres.

Quelle est la probabilité que ce joueur marque exactement \( 2 \) buts ?
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-2} \) près.

On rappelle que l'espérance de la loi \( T \) est le nombre moyen de buts que marquerait ce joueur s'il effectuait de nouvelles séries de \( 5 \) essais un grand nombre de fois.

Calculer l'espérance de la loi \( T \).
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-2} \) près.

Exercice 5 : Test d'hypothèse pourcentage de population ayant une maladie

On fait l'hypothèse qu'une maladie touche \( 20 \)% de la population.
Afin de tester cette hypothèse, on évalue le cas de \( 200 \) personnes dans la population et on trouve que \( 40 \)% de ces personnes sont touchées par la maladie.

Doit-on rejeter l'hypothèse que \( 20 \)% de la population est malade, au risque d'erreur de \( 5 \)% ?

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