Les probabilités

Pour aller plus loin (Ancien programme) - Mathématiques Spécialité

Exercice 1 : Loi binomiale - Approche intuitive de l'espérance

Erika et David jouent à lancer une pièce de monnaie qui a 4 fois plus de chances de tomber sur Pile que sur Face.
En utilisant la formule de l'espérance d'une loi binomiale, estimer le nombre de Pile qu'ils peuvent s'attendre à obtenir après 400 lancers. On arrondira le résultat pour qu'il s'exprime sous la forme d'un entier.

Exercice 2 : Proba de loi binomiale P(X ≤ 3)

Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \(n = 10\) et \(p = \dfrac{1}{2}\).
Calculer \(P\left(X \lt 5\right)\)
On donnera la réponse arrondie à \(10^{-4}\) près.

Exercice 3 : Coefficient binomial - Problème de dénombrement

On effectue un tirage simultané de \(4\) boules numérotées dans une urne en contenant \(8\). Combien y a-t-il de résultats possibles ?

Exercice 4 : Loi binomiale - Trouver les paramètres en lecture d'énoncé (difficile)

Une association cherche à faire des statistiques sur ses membres. Les gérants ont remarqué qu'en moyenne, parmi les 25 membres qui composent l'association, 15 d'entre eux cotisaient plus de 17 euros par trimestre. Pour mieux gérer l'expansion de l'association, ils cherchent à calculer à terme les fonds qu'ils peuvent espérer obtenir avec 27 membres. Ils décident de modéliser la situation par une loi binomiale et souhaitent calculer la probabilité que 5 de leurs membres cotisent plus de 17 euros par trimestre.

Que vaut le paramètre \(n\) de la loi binomiale ainsi modélisée ?
De même, que vaut son paramètre \(p\) ?

Exercice 5 : Arbre de probabilités, Tableau et espérance (exercice long)

On s’intéresse à la population masculine de la Réunion. Nous savons qu'en 2010 il y avait \(414\:457\) hommes et \(431\:611\) femmes.
On sélectionne au hasard \(3\) personnes de ce pays, avec remise et de manière indépendante.
À chaque tirage, on regarde si la personne est un homme ou une femme.

On peut modéliser cette expérience aléatoire par \(n\) épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre \(p\), avec \(S\) le succès, c'est-à-dire que la personne tirée soit un homme, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire que la personne tirée ne soit pas un homme.

Calculer le paramètre \(p\) de la loi, la probabilité \(p(S)\) de succès de l'événement \(S\) « la personne tirée est un homme »
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
On décide donc de modéliser cette épreuve par une loi binomiale, de paramètres \(n = 3\) et \(p\). Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi.
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
Compléter le tableau de la loi de probabilité correspondante au nombre de fois où un homme a été tiré.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
{"header_left": ["Nombre de fois ou un homme a \u00e9t\u00e9 tir\u00e9", "Probabilit\u00e9"], "data": [["0", "1", "2", "3"], ["?", "?", "?", "?"]]}
En déduire l'espérance de cette loi.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
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