Application de la dérivation : Les fonctions quelconques

Analyse : L'étude la dérivation - Mathématiques Spécialité

Exercice 1 : Retrouver le graphe de la fonction depuis le graphe de la dérivée

Parmi les paires de courbes suivantes, dans quelle(s) situation(s) la courbe de gauche peut-elle représenter la dérivée de la fonction représentée par la courbe de droite ?

A.\( f'(x) \) :

{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(3):(((((x) <= 3.0))?(0.0809999999999999*Math.pow(1 - 0.333333333333333*x, 3) + 14.7*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.3 - 0.1*x) + 0.09*Math.pow(1 - 0.333333333333333*x, 2)*(6.3 + 0.9*x)):(((((x) <= 7.0))?(-0.84375*Math.pow(-1 + 0.333333333333333*x, 3) + 3.0625*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(9.0 - 3.0*x) - 3.375*Math.pow(-1 + 0.333333333333333*x, 2)*(1.75 - 0.25*x)):(-2))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :

{"init": {"range": [[-5, 5], [-37, 37]], "scale": [30.0, 2.7027027027027026], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 9.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -22.0 + ((((x) <= -7))?(3*x):(((((x) <= 3.0))?(9.60400000000001 + 5.058*x - 0.294*Math.pow(x, 2) - 0.006*Math.pow(x, 4) - 0.098*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(-7.15624999999999 + 0.75*Math.pow(x, 3) + 22.5*x - 0.03125*Math.pow(x, 4) - 6.5625*Math.pow(x, 2)):(25.0 - 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
B.\( f'(x) \) :

{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -1 + ((((x) <= -7))?(-1):(((((x) <= 0.0))?(0.00291545189504373*Math.pow(x, 3) + 4.0*x*Math.pow(1.0 + 0.142857142857143*x, 2) + 0.0204081632653061*Math.pow(x, 2)*(-3.0 - 0.428571428571429*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.00874635568513119*Math.pow(x, 3) + 0.183673469387755*Math.pow(x, 2)*(1 - 0.142857142857143*x) + 4.0*x*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)):(3))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :

{"init": {"range": [[-5, 5], [-16, 16]], "scale": [30.0, 6.25], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 4.0], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 11.8333333333333 + ((((x) <= -7))?(-x):(((((x) <= 0.0))?(-12.8333333333333 + 0.0189504373177843*Math.pow(x, 4) + 2.0*Math.pow(x, 2) + 0.360544217687075*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(-12.8333333333333 + 0.0160349854227405*Math.pow(x, 4) + 2.0*Math.pow(x, 2) - 0.319727891156462*Math.pow(x, 3)):(-7.0 + 3*x))))));}", [-5, 5]]]}
C.\( f'(x) \) :

{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-2):(((((x) <= 3.0))?(-0.054*Math.pow(1 - 0.333333333333333*x, 3) + 0.09*Math.pow(1 - 0.333333333333333*x, 2)*(-4.2 - 0.6*x) - 9.8*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.3 - 0.1*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.421875*Math.pow(-1 + 0.333333333333333*x, 3) + 1.6875*Math.pow(-1 + 0.333333333333333*x, 2)*(1.75 - 0.25*x) + 3.0625*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-6.0 + 2.0*x)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :

{"init": {"range": [[-5, 5], [-26, 26]], "scale": [30.0, 3.8461538461538463], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 6.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 15.6666666666667 + ((((x) <= -7))?(-2*x):(((((x) <= 3.0))?(-6.40266666666666 + 0.004*Math.pow(x, 4) + 0.0653333333333334*Math.pow(x, 3) + 0.196*Math.pow(x, 2) - 3.372*x):(((((x) <= 7.0))?(5.54427083333334 + 4.703125*Math.pow(x, 2) + 0.0234375*Math.pow(x, 4) - 15.84375*x - 0.552083333333333*Math.pow(x, 3)):(-15.0 + x))))));}", [-5, 5]]]}
D.\( f'(x) \) :

{"init": {"range": [[-5, 5], [-2, 2]], "scale": [30.0, 50.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-3):(((((x) <= -3.0))?(-1.265625*Math.pow(-1 - 0.333333333333333*x, 3) + 0.5625*Math.pow(-1 - 0.333333333333333*x, 2)*(-15.75 - 2.25*x) + 12.25*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(-0.75 - 0.25*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.081*Math.pow(1 + 0.333333333333333*x, 3) + 0.81*Math.pow(1 + 0.333333333333333*x, 2)*(0.7 - 0.1*x) + 0.49*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-3.0 - 1.0*x)):(3))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :

{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -14.3333333333334 + ((((x) <= -7))?(-3*x):(((((x) <= -3.0))?(-0.893229166666629 - 0.0390625*Math.pow(x, 4) - 5.796875*Math.pow(x, 2) - 16.78125*x - 0.822916666666667*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(14.1193333333334 + 0.154*Math.pow(x, 2) + 0.0486666666666667*Math.pow(x, 3) - 0.004*Math.pow(x, 4) - 0.822*x):(2.00000000000005 + 3*x))))));}", [-5, 5]]]}

Exercice 2 : Retrouver le graphe de la dérivée depuis le graphe de la fonction

Observer les couples de courbes suivants.

Indiquer dans quels cas \(f'(x)\) peut représenter la dérivée de \(f(x)\).

A.\(f(x)\):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-21, 21]], "scale": [30.0, 4.761904761904762], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 5.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -26.5 + ((((x) <= -7))?(-x):(((((x) <= 2.0))?(23.7606310013717 + 4.71330589849109*x - 0.460905349794238*Math.pow(x, 2) - 0.204389574759945*Math.pow(x, 3) - 0.0130315500685871*Math.pow(x, 4)):(((((x) <= 7.0))?(15.4413333333333 + 17.504*x + 1.06933333333333*Math.pow(x, 3) - 0.052*Math.pow(x, 4) - 7.168*Math.pow(x, 2)):(7.66666666666669 + 3*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-1):(((((x) <= 2.0))?(-0.0109739368998628*Math.pow(1 - 0.5*x, 3) + 21.7777777777778*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.222222222222222 - 0.111111111111111*x) + 0.0493827160493828*Math.pow(1 - 0.5*x, 2)*(-2.33333333333333 - 0.333333333333333*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.192*Math.pow(-1 + 0.5*x, 3) + 1.44*Math.pow(-1 + 0.5*x, 2)*(1.4 - 0.2*x) + 1.96*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(8.0 - 4.0*x)):(3))))));}", [-5, 5]]]}
B.\(f(x)\):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-33, 33]], "scale": [30.0, 3.0303030303030303], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 8.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 17.75 + ((((x) <= -7))?(-3*x):(((((x) <= 2.0))?(-8.11625514403291 + 0.127572016460905*Math.pow(x, 3) + 0.561728395061728*Math.pow(x, 2) + 0.00720164609053498*Math.pow(x, 4) - 4.0082304526749*x):(((((x) <= 7.0))?(-3.45399999999999 + 4.284*Math.pow(x, 2) + 0.026*Math.pow(x, 4) - 11.152*x - 0.568*Math.pow(x, 3)):(-11.0 + x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-7, 7]], "scale": [30.0, 14.285714285714286], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -2 + ((((x) <= -7))?(-3):(((((x) <= 2.0))?(-0.0329218106995885*Math.pow(1 - 0.5*x, 3) + 0.0493827160493828*Math.pow(1 - 0.5*x, 2)*(-7.0 - 1.0*x) - 16.3333333333333*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.222222222222222 - 0.111111111111111*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.064*Math.pow(-1 + 0.5*x, 3) + 0.48*Math.pow(-1 + 0.5*x, 2)*(1.4 - 0.2*x) + 1.96*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-6.0 + 3.0*x)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
C.\(f(x)\):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-9, 9]], "scale": [30.0, 11.11111111111111], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 2.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -4.0 + ((((x) <= -7))?(-2*x):(((((x) <= -1.0))?(3.17592592592592 + 0.00925925925925926*Math.pow(x, 4) + 2.53703703703703*x + 1.55555555555555*Math.pow(x, 2) + 0.203703703703704*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(2.85579427083333 + 0.587890625*Math.pow(x, 2) + 1.57421875*x + 0.0068359375*Math.pow(x, 4) - 0.123697916666667*Math.pow(x, 3)):(9.66666666666667 + x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-2):(((((x) <= -1.0))?(-0.00925925925925926*Math.pow(-0.999999999999999 - x, 3) + 0.0277777777777778*Math.pow(-0.999999999999999 - x, 2)*(-7.0 - 1.0*x) - 16.3333333333333*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(-0.166666666666667 - 0.166666666666667*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.001953125*Math.pow(1 + x, 3) + 0.046875*Math.pow(1 + x, 2)*(0.875 - 0.125*x) + 0.765625*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(2.0 + 2.0*x)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
D.\(f(x)\):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 12.75 + ((((x) <= -7))?(2*x):(((((x) <= 2.0))?(-10.468792866941 + 0.0144032921810698*Math.pow(x, 2) + 0.0631001371742112*Math.pow(x, 3) + 0.00445816186556927*Math.pow(x, 4) - 0.957475994513032*x):(((((x) <= 7.0))?(-7.37133333333333 + 2.548*Math.pow(x, 2) + 0.022*Math.pow(x, 4) - 5.744*x - 0.429333333333333*Math.pow(x, 3)):(3.83333333333334 - 3*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((-2 + x) <= -7))?(2):(((((-2 + x) <= 2.0))?(0.175582990397805*Math.pow(1 - 0.25*x, 3) + 0.197530864197531*Math.pow(1 - 0.25*x, 2)*(3.33333333333333 + 0.666666666666667*x) - 2.77777777777778*Math.pow(1 + 0.2*x, 2)*(0.444444444444445 - 0.111111111111111*x)):(((((-2 + x) <= 7.0))?(-1.536*Math.pow(-1 + 0.25*x, 3) + 3.24*Math.pow(1 - 0.111111111111111*x, 2)*(-4.0 + 1.0*x) - 5.76*Math.pow(-1 + 0.25*x, 2)*(1.8 - 0.2*x)):(-3))))));}", [-5, 5]]]}

Exercice 3 : Tableau de variations d'une fonction (ax + b) * (cx + d) ou (ax + b) / (cx + d)

Compléter le tableau de variations de la fonction suivante : \[ f:x \mapsto \dfrac{-4x + 9}{5x + 7} \]

Essais restants : 2

Exercice 4 : Etablir le tableau de variations d'une fonction à partir du tableau de signes de sa dérivée

Soit une fonction \(f\) dont le tableau de signes de sa dérivée est donné ci-dessous :

{"n_intervals": 3, "edges": [-8, -7, -5, -4], "variations_values": [1, -4, 6, -2], "variations": ["-", "+", "-"], "signe": ["-", "+", "-"], "signe_values": [0, 0], "left_signe_value": false, "right_signe_value": false, "has_edges": false}

Etablir le tableau de variations de \(f\) en sachant que : \(f(-8) = 1\) ; \(f(-7) = -4\) ; \(f(-5) = 6\) ; \(f(-4) = -2\).

Essais restants : 2

Exercice 5 : Etablir le tableau de signes de la dérivée à partir du tableau de variations de la fonction

{"n_intervals": 2, "signe": ["+", "-"], "signe_values": [0], "edges": ["-\\infty", "-0,83", "+\\infty"], "has_edges": false, "left_signe_value": false, "right_signe_value": false, "variations": ["+", "-"], "variations_values": ["-\\infty", "-0,92", "-\\infty"]}

À partir du tableau de variations de la fonction \(f\) ci dessus, remplir le tableau de signes de la fonction dérivée de \(f\), notée \(f'\).

Essais restants : 2

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