Sens de variation
Analyse : Dérivation et applications - Mathématiques STMG
Exercice 1 : Tableau de variations guidé d'une fonction polynôme de degré 3
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\left[-4; 7\right]\) par \( f(x) = x^{3} -24x -3x^{2} -5 \)
Calculer \(f'(x)\)
Trouver le couple \( (g,h) \) tel que pour tout \(x\) de \(\left[-4; 7\right]\) \( f'(x) = 3g(x)h(x) \)
Déterminer le tableau de signes de \(g\) sur \(\left[-4; 7\right]\)
Déterminer le tableau de signes de \(h\) sur \(\left[-4; 7\right]\)
En déduire le tableau de variations de \(f\) sur \(\left[-4; 7\right]\)
Exercice 2 : Utilisation de la dérivation pour déterminer un bénéfice
Un producteur de cerises cultive, ramasse et conditionne entre 0 et
60 kg de ce produit par semaine durant la période de production
des cerises. On désigne par \( B(x) \) le bénéfice hebdomadaire, en
euros, réalisé par la vente de \( x \) kg de cerises.
Calculer \( B'(x) \)
Trouver le couple \( (f,g) \) tel que, pour tout \( x \) de \( \left[0; 60\right] \), \( B'(x) = 6f(x)g(x) \)
Déterminer le tableau de signes de \( f \) sur \( \left[0; 60\right] \)
Déterminer le tableau de signes de \( g \) sur \( \left[0; 60\right] \).
En déduire le tableau de variations de \( B \) sur \( \left[0; 60\right] \).
Pour quelle quantité de cerises le bénéfice du producteur est-il maximal ?
À combien s'élève ce bénéfice ?
Exercice 3 : Retrouver le graphe de la dérivée depuis le graphe de la fonction
Observer les couples de courbes suivants.
Indiquer dans quels cas \(f'(x)\) peut représenter la dérivée de \(f(x)\).
A. \(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-27, 27]], "scale": [30.0, 3.7037037037037037], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 6.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 0.333333333333236 + ((((x) <= -7))?(-2*x):(((((x) <= -2.0))?(12.8053333333334 + 0.032*Math.pow(x, 4) + 5.488*Math.pow(x, 2) + 0.709333333333334*Math.pow(x, 3) + 14.464*x):(((((x) <= 7.0))?(6.58161865569283 + 0.576131687242798*Math.pow(x, 2) + 4.96570644718793*x + 0.0116598079561043*Math.pow(x, 4) - 0.190672153635117*Math.pow(x, 3)):(25.1666666666668 + x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -((((x) <= -7))?(-2):(((((x) <= -2.0))?(-0.128*Math.pow(-1 - 0.5*x, 3) + 0.16*Math.pow(-1 - 0.5*x, 2)*(-8.4 - 1.2*x) - 39.2*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(-0.4 - 0.2*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.0109739368998628*Math.pow(1 + 0.5*x, 3) + 0.604938271604938*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(8.0 + 4.0*x) + 0.148148148148148*Math.pow(1 + 0.5*x, 2)*(0.777777777777778 - 0.111111111111111*x)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
B. \(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -16.0 + ((((x) <= -7))?(-3*x):(((((x) <= -1.0))?(14.2916666666667 - 0.0138888888888889*Math.pow(x, 4) - 1.16666666666667*Math.pow(x, 2) - 1.63888888888889*x - 0.25*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(14.6087239583334 + 0.0911458333333333*Math.pow(x, 3) - 0.005859375*Math.pow(x, 4) - 0.19140625*Math.pow(x, 2) - 0.6796875*x):(3.66666666666669 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -2 + ((((x) <= -7))?(-3):(((((x) <= -1.0))?(-0.0138888888888889*Math.pow(-0.999999999999999 - x, 3) + 8.16666666666666*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(-0.166666666666667 - 0.166666666666667*x) + 0.0277777777777778*Math.pow(-0.999999999999999 - x, 2)*(-10.5 - 1.5*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.00390625*Math.pow(1 + x, 3) + 0.09375*Math.pow(1 + x, 2)*(0.875 - 0.125*x) + 0.765625*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-1.0 - 1.0*x)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
C. \(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-23, 23]], "scale": [30.0, 4.3478260869565215], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 5.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 33.3333333333333 + ((((x) <= -7))?(2*x):(((((x) <= 3.0))?(-26.1823333333333 + 0.0140000000000004*Math.pow(x, 2) + 0.154666666666667*Math.pow(x, 3) + 0.011*Math.pow(x, 4) - 5.448*x):(((((x) <= 7.0))?(10.6901041666667 + 0.0859375*Math.pow(x, 4) + 14.328125*Math.pow(x, 2) - 44.34375*x - 1.88541666666667*Math.pow(x, 3)):(-17.0000000000001 - 3*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((-2 + x) <= -7))?(2):(((((-2 + x) <= 3.0))?(0.25*Math.pow(1 - 0.2*x, 3) + 0.25*Math.pow(1 - 0.2*x, 2)*(3.0 + 0.6*x) - 10.0*Math.pow(1 + 0.2*x, 2)*(0.5 - 0.1*x)):(((((-2 + x) <= 7.0))?(-5.859375*Math.pow(-1 + 0.2*x, 3) + 5.0625*Math.pow(1 - 0.111111111111111*x, 2)*(-20.0 + 4.0*x) - 14.0625*Math.pow(-1 + 0.2*x, 2)*(2.25 - 0.25*x)):(-3))))));}", [-5, 5]]]}
D. \(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-23, 23]], "scale": [30.0, 4.3478260869565215], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 5.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 1.62647673107585e-14 + ((((x) <= -7))?(3*x):(((((x) <= -1.0))?(-2.38194444444446 - 3.20833333333333*Math.pow(x, 2) - 0.0208333333333333*Math.pow(x, 4) - 5.16666666666666*x - 0.444444444444444*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(-1.72623697916668 + 0.235677083333333*Math.pow(x, 3) - 0.0126953125*Math.pow(x, 4) - 1.216796875*Math.pow(x, 2) - 3.19140625*x):(-12.3333333333334 - 3*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(3):(((((x) <= -1.0))?(0.0138888888888889*Math.pow(-0.999999999999999 - x, 3) + 32.6666666666667*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(-0.166666666666667 - 0.166666666666667*x) + 0.0277777777777778*Math.pow(-0.999999999999999 - x, 2)*(10.5 + 1.5*x)):(((((x) <= 7.0))?(-0.005859375*Math.pow(1 + x, 3) + 0.765625*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-4.0 - 4.0*x) - 0.140625*Math.pow(1 + x, 2)*(0.875 - 0.125*x)):(-3))))));}", [-5, 5]]]}
Exercice 4 : Retrouver le graphe de la fonction depuis le graphe de la dérivée
Parmi les paires de courbes suivantes, dans quelle(s) situation(s) la courbe de gauche peut-elle
représenter la dérivée de la fonction représentée par la courbe de droite ?
A. \( f'(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -1 + ((((x) <= -7))?(-1):(((((x) <= 0.0))?(0.00291545189504373*Math.pow(x, 3) + 0.0204081632653061*Math.pow(x, 2)*(-3.0 - 0.428571428571429*x) - 3.0*x*Math.pow(1.0 + 0.142857142857143*x, 2)):(((((x) <= 7.0))?(0.00583090379008746*Math.pow(x, 3) + 0.122448979591837*Math.pow(x, 2)*(1 - 0.142857142857143*x) - 3.0*x*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-7, 7]], "scale": [30.0, 14.285714285714286], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -12.75 + ((((x) <= -7))?(-x):(((((x) <= 0.0))?(15.75 - 1.5*Math.pow(x, 2) - 0.0167638483965015*Math.pow(x, 4) - 0.306122448979592*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(15.75 + 0.326530612244898*Math.pow(x, 3) - 1.5*Math.pow(x, 2) - 0.0182215743440233*Math.pow(x, 4)):(-3.49999999999999 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
B. \( f'(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-5, 5]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(3):(((((x) <= 1.0))?(0.005859375*Math.pow(1 - x, 3) + 0.015625*Math.pow(1 - x, 2)*(7.875 + 1.125*x) - 24.5*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.125 - 0.125*x)):(((((x) <= 7.0))?(-0.00925925925925926*Math.pow(-1 + x, 3) + 1.36111111111111*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-4.0 + 4.0*x) - 0.166666666666667*Math.pow(-1 + x, 2)*(1.16666666666667 - 0.166666666666667*x)):(-2))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-16, 16]], "scale": [30.0, 6.25], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 4.0], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 31.3333333333333 + ((((x) <= -7))?(3*x):(((((x) <= 1.0))?(-28.6949869791667 + 0.0185546875*Math.pow(x, 4) + 0.970703125*Math.pow(x, 2) + 0.305989583333333*Math.pow(x, 3) - 2.93359375*x):(((((x) <= 7.0))?(-27.8009259259259 + 0.0324074074074074*Math.pow(x, 4) + 3.69444444444445*Math.pow(x, 2) - 0.62962962962963*Math.pow(x, 3) - 5.62962962962963*x):(-10.3333333333334 - 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
C. \( f'(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-5, 5]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(1):(((((x) <= -1.0))?(0.00462962962962963*Math.pow(-0.999999999999999 - x, 3) + 0.0277777777777778*Math.pow(-0.999999999999999 - x, 2)*(3.5 + 0.5*x) - 32.6666666666667*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(-0.166666666666667 - 0.166666666666667*x)):(((((x) <= 7.0))?(-0.001953125*Math.pow(1 + x, 3) + 0.765625*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(4.0 + 4.0*x) - 0.046875*Math.pow(1 + x, 2)*(0.875 - 0.125*x)):(-1))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-18, 18]], "scale": [30.0, 5.555555555555555], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 4.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 17.0 + ((((x) <= -7))?(x):(((((x) <= -1.0))?(-13.4976851851852 + 5.53703703703703*x + 3.59722222222222*Math.pow(x, 2) + 0.592592592592592*Math.pow(x, 3) + 0.0300925925925926*Math.pow(x, 4)):(((((x) <= 7.0))?(-14.3323567708333 + 0.0166015625*Math.pow(x, 4) + 1.052734375*Math.pow(x, 2) + 3.01953125*x - 0.282552083333333*Math.pow(x, 3)):(8.33333333333334 - x))))));}", [-5, 5]]]}
D. \( f'(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-5, 5]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((1 + x) <= -7))?(-1):(((((1 + x) <= -3.0))?(-1.0*Math.pow(-1 - 0.25*x, 3) + 1.0*Math.pow(-1 - 0.25*x, 2)*(-6.0 - 0.75*x) - 48.0*Math.pow(1 + 0.125*x, 2)*(-1.0 - 0.25*x)):(((((1 + x) <= 7.0))?(0.064*Math.pow(1 + 0.25*x, 3) + 0.48*Math.pow(1 + 0.25*x, 2)*(0.6 - 0.1*x) + 0.36*Math.pow(1 - 0.166666666666667*x, 2)*(12.0 + 3.0*x)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :
{"init": {"range": [[-5, 5], [-23, 23]], "scale": [30.0, 4.3478260869565215], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 5.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -4.00000000000001 + ((((x) <= -7))?(-x):(((((x) <= -3.0))?(29.4765625 + 0.90625*Math.pow(x, 3) + 7.546875*Math.pow(x, 2) + 25.03125*x + 0.0390625*Math.pow(x, 4)):(((((x) <= 7.0))?(9.93700000000002 + 4.626*x + 0.168*Math.pow(x, 2) + 0.007*Math.pow(x, 4) - 0.106*Math.pow(x, 3)):(24.0 + x))))));}", [-5, 5]]]}
Exercice 5 : Tableau de variations d'un trinôme factorisable sous la forme (ax + b) * (cx + d)
Compléter le tableau de variations de la fonction suivante :
\[ f:x \mapsto 10x^{2} -16x -8 \]
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