Variations d'une fonction

Variation globale : Fonction dérivée - Mathématiques Enseignement scientifique

Exercice 1 : Etablir le tableau de variations d'une fonction du 2e degré (en utilisant la dérivée)

Compléter le tableau de variations de la fonction suivante définie sur l'intervalle \( \left[-4; 5\right] \): \[ f : x \mapsto -4x^{2} -3x + 2 \]

Essais restants : 2

Exercice 2 : Etablir le tableau de variations d'une fonction à partir du tableau de signes de sa dérivée

Soit une fonction \(f\) dont le tableau de signes de sa dérivée est donné ci-dessous :

{"n_intervals": 3, "edges": [-7, -4, 2, 4], "variations_values": [10, -2, -1, -5], "variations": ["-", "+", "-"], "signe": ["-", "+", "-"], "signe_values": [0, 0], "left_signe_value": false, "right_signe_value": false, "has_edges": false}

Etablir le tableau de variations de \(f\) en sachant que : \(f(-7) = 10\) ; \(f(-4) = -2\) ; \(f(2) = -1\) ; \(f(4) = -5\).

Essais restants : 2

Exercice 3 : Retrouver le graphe de la fonction depuis le graphe de la dérivée

Parmi les paires de courbes suivantes, dans quelle(s) situation(s) la courbe de gauche peut-elle représenter la dérivée de la fonction représentée par la courbe de droite ?

A.\( f'(x) \) :

{"init": {"range": [[-5, 5], [-2, 2]], "scale": [30.0, 50.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 1 + ((((x) <= -7))?(-1):(((((x) <= 1.0))?(-0.001953125*Math.pow(1 - x, 3) + 0.015625*Math.pow(1 - x, 2)*(-2.625 - 0.375*x) + 6.125*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.125 - 0.125*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.00462962962962963*Math.pow(-1 + x, 3) + 0.0833333333333333*Math.pow(-1 + x, 2)*(1.16666666666667 - 0.166666666666667*x) + 1.36111111111111*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(1.0 - 1.0*x)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :

{"init": {"range": [[-5, 5], [-5, 5]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -4.33333333333333 + ((((x) <= -7))?(-x):(((((x) <= 1.0))?(7.92740885416667 + 0.72265625*x - 0.0048828125*Math.pow(x, 4) - 0.232421875*Math.pow(x, 2) - 0.0794270833333333*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(7.68518518518519 + 0.175925925925926*Math.pow(x, 3) + 1.4537037037037*x - 0.00925925925925926*Math.pow(x, 4) - 0.972222222222222*Math.pow(x, 2)):(1.33333333333334 + x))))));}", [-5, 5]]]}
B.\( f'(x) \) :

{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-1):(((((x) <= 0.0))?(0.00291545189504373*Math.pow(x, 3) + 0.0204081632653061*Math.pow(x, 2)*(-3.0 - 0.428571428571429*x) - 4.0*x*Math.pow(1.0 + 0.142857142857143*x, 2)):(((((x) <= 7.0))?(0.00291545189504373*Math.pow(x, 3) + 0.0612244897959184*Math.pow(x, 2)*(1 - 0.142857142857143*x) - 4.0*x*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :

{"init": {"range": [[-5, 5], [-14, 14]], "scale": [30.0, 7.142857142857143], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 3.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -19.8333333333333 + ((((x) <= -7))?(-x):(((((x) <= 0.0))?(19.8333333333333 - 0.021865889212828*Math.pow(x, 4) - 2.0*Math.pow(x, 2) - 0.401360544217687*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(19.8333333333333 + 0.401360544217687*Math.pow(x, 3) - 0.021865889212828*Math.pow(x, 4) - 2.0*Math.pow(x, 2)):(-1.4210854715202e-14 + x))))));}", [-5, 5]]]}
C.\( f'(x) \) :

{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-2):(((((x) <= 2.0))?(-0.0219478737997257*Math.pow(1 - 0.5*x, 3) + 0.0493827160493828*Math.pow(1 - 0.5*x, 2)*(-4.66666666666667 - 0.666666666666667*x) - 10.8888888888889*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.222222222222222 - 0.111111111111111*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.128*Math.pow(-1 + 0.5*x, 3) + 0.96*Math.pow(-1 + 0.5*x, 2)*(1.4 - 0.2*x) + 1.96*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(-4.0 + 2.0*x)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :

{"init": {"range": [[-5, 5], [-18, 18]], "scale": [30.0, 5.555555555555555], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 4.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 7.5 + ((((x) <= -7))?(-2*x):(((((x) <= 2.0))?(-5.41083676268861 + 0.0850480109739369*Math.pow(x, 3) + 0.374485596707819*Math.pow(x, 2) + 0.00480109739368999*Math.pow(x, 4) - 2.6721536351166*x):(((((x) <= 7.0))?(-2.81466666666667 + 0.012*Math.pow(x, 4) + 2.408*Math.pow(x, 2) - 0.282666666666667*Math.pow(x, 3) - 6.624*x):(-13.3333333333333 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
D.\( f'(x) \) :

{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-1):(((((x) <= -1.0))?(-0.00462962962962963*Math.pow(-0.999999999999999 - x, 3) + 0.0277777777777778*Math.pow(-0.999999999999999 - x, 2)*(-3.5 - 0.5*x) - 16.3333333333333*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(-0.166666666666667 - 0.166666666666667*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.00390625*Math.pow(1 + x, 3) + 0.09375*Math.pow(1 + x, 2)*(0.875 - 0.125*x) + 0.765625*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(2.0 + 2.0*x)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
\( f(x) \) :

{"init": {"range": [[-5, 5], [-7, 7]], "scale": [30.0, 14.285714285714286], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -3.00000000000002 + ((((x) <= -7))?(-x):(((((x) <= -1.0))?(-0.793981481481467 + 0.240740740740741*Math.pow(x, 3) + 0.0115740740740741*Math.pow(x, 4) + 2.62962962962963*x + 1.65277777777778*Math.pow(x, 2)):(((((x) <= 7.0))?(-1.12955729166665 + 0.62890625*Math.pow(x, 2) + 1.6171875*x + 0.005859375*Math.pow(x, 4) - 0.111979166666667*Math.pow(x, 3)):(2.66666666666669 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}

Exercice 4 : Étude détaillée d'un polynôme de degré 3

Soit \(f\) une fonction de degré 3 : \[f: x \mapsto -81x + \dfrac{1}{3}x^{3}\]Déterminer \(f'(x)\)

Étudier le signe de \(f'\)

Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\left[-10; 10\right]\).

Essais restants : 2

Exercice 5 : Etablir le tableau de signes de la dérivée à partir du tableau de variations de la fonction

{"n_intervals": 2, "signe": ["+", "-"], "signe_values": [0], "edges": ["-\\infty", "0", "+\\infty"], "has_edges": false, "left_signe_value": false, "right_signe_value": false, "variations": ["+", "-"], "variations_values": ["-\\infty", "-2", "-\\infty"]}

À partir du tableau de variations de la fonction \(f\) ci dessus, remplir le tableau de signes de la fonction dérivée de \(f\), notée \(f'\).

Essais restants : 2

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