On étudie l'évolution de la température d'une piscine au cours d'une nuit.
Au début de la nuit la température de la piscine est \( \text{T(0) = }29\mbox{,}9\:\text{°C} \).
L'air extérieur agissant comme un thermostat, de température \( \text{T}_{\text{extérieur}} = 21\mbox{,}4\:\text{°C} \), le système suit la loi phénoménologique de Newton.
Il en résulte que la température de la piscine vérifie l'équation différentielle suivante : \[ \frac{\text{dT}}{\text{dt}} + \text{rT} = \text{rT}_{\text{extérieur}} \] Avec un coefficient \( \text{r} = 4\mbox{,}4 \times 10^{5}\:\text{s}^{-1} \).

Dans la suite de l’exercice, on étudie plus particulièrement la contribution de la conduction thermique au travers des parois et du couvercle de l’aquarium.
À cet effet, on rappelle quelques lois dont on admet qu’elles sont valides dans la situation étudiée :
- Puissance thermique de conduction Φ (exprimée en watt) au travers d’une paroi de résistance \( 𝑅_{th} \) soumise à une différence de température \( Δ𝜃 \) :
\[ Φ = \frac{Δ𝜃}{𝑅_{th}} \] - Résistance thermique \( 𝑅_{th} \) d’un ensemble de parois d’épaisseur \( 𝑒 \), et de surface totale \( 𝑆_𝑇 \), réalisée dans un même matériau de conductivité thermique \( 𝜆 \) :
\[ 𝑅_{th} = \frac{𝑒}{𝑆_𝑇 ⋅ 𝜆} \] Par ailleurs, on considère que la conduction thermique se fait exclusivement par les parois latérales et le couvercle (la surface en contact avec la table ne contribue pas).

Pendant la journée, en particulier en période estivale, on envisage de chauffer l’aquarium avec le rayonnement du Soleil en plaçant l’aquarium devant une fenêtre bien exposée. Cela permettrait de ne pas utiliser le système de chauffage électrique.
Dans les conditions décrites, par une belle journée d’été, on peut estimer la puissance thermique d’origine solaire absorbée par l’eau de l’aquarium à environ \( 𝑃_S = 30 \: \text{W} \).

Afin de préciser l’évolution de la température au cours de la journée, on réalise une étude dynamique. Grâce au dispositif de circulation d’eau, on suppose que la température de l’eau dans l’aquarium est la même partout. On note \( 𝜃(𝑡) \) cette température.

À l’instant \( 𝑡 = 0 \) :
L’eau de l’aquarium est à la température \( 𝜃_0 \) : \( 𝜃(𝑡 = 0) = 𝜃_0 = 26 \: \text{°C} \).
On place l’aquarium au Soleil. Il reçoit la puissance de rayonnement \( 𝑃_S = 30 \: \text{W} \).
On coupe le système de chauffage électrique.
Par ailleurs, on suppose que la pièce dans laquelle se trouve l’aquarium est bien isolée et régulée en température, ce qui permet de supposer que la température de l’air ambiant est constante et égale à \( 𝜃_{air} = 20 \: \text{°C} \).
On note \( 𝑚 \) la masse d’eau de mer dans l’aquarium et \( 𝑐 \) la capacité thermique de cette eau.

En utilisant le premier principe de la thermodynamique appliqué à l’eau de l’aquarium, on établit l’équation dynamique du système :
\[ 𝑚 ⋅ 𝑐 ⋅\frac{d𝜃(𝑡)}{d𝑡} + \frac{𝜃(𝑡)}{𝑅_{th}} = \frac{𝜃_{air}}{𝑅_{th}} + 𝑃_𝑆 \]
En tenant compte de la condition initiale, la solution de cette équation s’écrit :
\( 𝜃(𝑡) = 𝜃_0 𝑒^{−\frac{𝑡}{𝜏}} + (𝜃_{air} + 𝑅_{th} ⋅ 𝑃_𝑆) (1 − 𝑒^{−\frac{𝑡}{𝜏}}) \) avec \( 𝜏 = 𝑚 ⋅ 𝑐 ⋅ 𝑅_{th} \)

On rappelle que la température initiale de l’aquarium est \( 𝜃_0 = 26 \: \text{°C} \).

On étudie l'évolution de la température d'une piscine au cours d'une nuit.
Au début de la nuit la température de la piscine est \( \text{T(0) = }28\mbox{,}4\:\text{°C} \).
L'air extérieur agissant comme un thermostat, de température \( \text{T}_{\text{extérieur}} = 20\mbox{,}8\:\text{°C} \), le système suit la loi phénoménologique de Newton.
Il en résulte que la température de la piscine vérifie l'équation différentielle suivante : \[ \frac{\text{dT}}{\text{dt}} + \text{rT} = \text{rT}_{\text{extérieur}} \] Avec un coefficient \( \text{r} = 2\mbox{,}1 \times 10^{5}\:\text{s}^{-1} \).

Dans la suite de l’exercice, on étudie plus particulièrement la contribution de la conduction thermique au travers des parois et du couvercle de l’aquarium.
À cet effet, on rappelle quelques lois dont on admet qu’elles sont valides dans la situation étudiée :
- Puissance thermique de conduction Φ (exprimée en watt) au travers d’une paroi de résistance \( 𝑅_{th} \) soumise à une différence de température \( Δ𝜃 \) :
\[ Φ = \frac{Δ𝜃}{𝑅_{th}} \] - Résistance thermique \( 𝑅_{th} \) d’un ensemble de parois d’épaisseur \( 𝑒 \), et de surface totale \( 𝑆_𝑇 \), réalisée dans un même matériau de conductivité thermique \( 𝜆 \) :
\[ 𝑅_{th} = \frac{𝑒}{𝑆_𝑇 ⋅ 𝜆} \] Par ailleurs, on considère que la conduction thermique se fait exclusivement par les parois latérales et le couvercle (la surface en contact avec la table ne contribue pas).

Pendant la journée, en particulier en période estivale, on envisage de chauffer l’aquarium avec le rayonnement du Soleil en plaçant l’aquarium devant une fenêtre bien exposée. Cela permettrait de ne pas utiliser le système de chauffage électrique.
Dans les conditions décrites, par une belle journée d’été, on peut estimer la puissance thermique d’origine solaire absorbée par l’eau de l’aquarium à environ \( 𝑃_S = 30 \: \text{W} \).

Afin de préciser l’évolution de la température au cours de la journée, on réalise une étude dynamique. Grâce au dispositif de circulation d’eau, on suppose que la température de l’eau dans l’aquarium est la même partout. On note \( 𝜃(𝑡) \) cette température.

À l’instant \( 𝑡 = 0 \) :
L’eau de l’aquarium est à la température \( 𝜃_0 \) : \( 𝜃(𝑡 = 0) = 𝜃_0 = 26 \: \text{°C} \).
On place l’aquarium au Soleil. Il reçoit la puissance de rayonnement \( 𝑃_S = 30 \: \text{W} \).
On coupe le système de chauffage électrique.
Par ailleurs, on suppose que la pièce dans laquelle se trouve l’aquarium est bien isolée et régulée en température, ce qui permet de supposer que la température de l’air ambiant est constante et égale à \( 𝜃_{air} = 18 \: \text{°C} \).
On note \( 𝑚 \) la masse d’eau de mer dans l’aquarium et \( 𝑐 \) la capacité thermique de cette eau.

En utilisant le premier principe de la thermodynamique appliqué à l’eau de l’aquarium, on établit l’équation dynamique du système :
\[ 𝑚 ⋅ 𝑐 ⋅\frac{d𝜃(𝑡)}{d𝑡} + \frac{𝜃(𝑡)}{𝑅_{th}} = \frac{𝜃_{air}}{𝑅_{th}} + 𝑃_𝑆 \]
En tenant compte de la condition initiale, la solution de cette équation s’écrit :
\( 𝜃(𝑡) = 𝜃_0 𝑒^{−\frac{𝑡}{𝜏}} + (𝜃_{air} + 𝑅_{th} ⋅ 𝑃_𝑆) (1 − 𝑒^{−\frac{𝑡}{𝜏}}) \) avec \( 𝜏 = 𝑚 ⋅ 𝑐 ⋅ 𝑅_{th} \)

On rappelle que la température initiale de l’aquarium est \( 𝜃_0 = 26 \: \text{°C} \).

On étudie l'évolution de la température d'une piscine au cours d'une nuit.
Au début de la nuit la température de la piscine est \( \text{T(0) = }26\mbox{,}3\:\text{°C} \).
L'air extérieur agissant comme un thermostat, de température \( \text{T}_{\text{extérieur}} = 19\mbox{,}2\:\text{°C} \), le système suit la loi phénoménologique de Newton.
Il en résulte que la température de la piscine vérifie l'équation différentielle suivante : \[ \frac{\text{dT}}{\text{dt}} + \text{rT} = \text{rT}_{\text{extérieur}} \] Avec un coefficient \( \text{r} = 9\mbox{,}0 \times 10^{5}\:\text{s}^{-1} \).