Exercice type bac de Physique-Chimie

Ingenuity, Le premier hélicoptère à voler sur Mars

Nous étudierons ici un petit hélicoptère - comparable à un drone - d'un peu moins de deux kilogrammes. Il a été expérimenté sur le sol de la planète Mars au cours de la mission Mars 2020 pour tester ses capacités dans le domaine de la reconnaissance optique du sol martien.

Les défis technologiques sont grands :
  • - l’atmosphère de Mars est peu dense, ce qui limite la portance* des hélices ;
  • - les délais de communication entre la Terre et Mars interdisent le contrôle de l'hélicoptère en temps réel depuis la Terre, et imposent un système de pilotage automatique programmable à distance.

Le premier vol d’Ingenuity a été réalisé avec succès le lundi 19 avril 2021. Durant ce test d'une durée de 39 secondes, l'hélicoptère s'est élevé de 3 mètres puis a effectué un vol stationnaire avant de se reposer. Une dizaine de vols de plus en plus complexes ont suivi.

*Pour pouvoir voler, les pâles en rotation de l’hélicoptère génèrent une force verticale ascendante appelée «portance».

Caractéristiques techniques de l'hélicoptère d'exploration de Mars
  • Rayon d'action : \( 600 \: m \)
  • Masse : \( 1,1 \: kg \) (dont \( 166 \: g \) de batteries)
  • Dimensions :
    • - Fuselage : \( 13,6 \times 19,5 \: cm \)
    • - Diam. rotors : \( 1,21 \: m \)
  • Propulsion : Rotors
  • Source d'énergie : Cellules solaires
  • Accumulateurs : Batteries lithium-ion
  • Autre caractéristique :
    • - Plafond vol : \( 5 \: m \)
    • - Durée vol : \( 90 \: s \)
Données
  • - Pression atmosphérique de l’air sur Terre : \( P = 1,013 \cdot 10^{5} \: Pa \).
  • - Masse molaire moyenne de l'air sur Terre : \( M = 29,0 \cdot 10^{-3} \: kg \cdot mol^{-1} \).
  • - Constante des gaz parfaits : \( R = 8,314 \: J \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1} \).
  • - Conversion d'unité de température : \( T(K) = T(°C) + 273,15 \).
  • - Intensité de pesanteur sur Mars : \( g_{M} = 3,72 \: m \cdot s^{-2} \).
  • - Intensité de pesanteur sur Terre : \( g_{T} = 9,81 \: m \cdot s^{-2} \).
  • - Pour un gaz supposé parfait, on a la relation : \( PV = nRT \), avec \( P \) en pascal (\( Pa \)), \( V \) en \( m^{3} \), \( n \) en \( mol \), \( R \) (donné ci-dessus) et \( T \) en kelvin (\( K \)).

PARTIE A : L’atmosphère de Mars

L’hélicoptère est fortement handicapé dans l’atmosphère peu dense de Mars. En effet, la densité de l’atmosphère est 100 fois plus faible sur Mars que sur Terre.

Calculer la masse volumique de l’air sur Terre pour une température de \( 8,00°C \).
On supposera que l'air est un gaz parfait et on donnera le résultat suivi de l'unité qui convient.

La masse volumique de l’atmosphère sur Mars est égale à 1% de celle de l’air sur Terre.

En déduire la masse volumique de l’atmosphère sur Mars à la même température que la première question.
On donnera le résultat suivi de l'unité qui convient.

PARTIE B : La phase de décollage

Pour pouvoir décoller, la portance doit au moins compenser le poids de l’hélicoptère. Les figures suivantes, sur Terre (figure 1) et sur Mars (figure 2), représentent l’évolution de la portance de l’hélicoptère Ingenuity en fonction de la vitesse de rotation des pâles \( N \) en tours par minute (\( tpm \)).

Figure 1 : Portance sur Terre en fonction de la vitesse de rotation des pâles

Figure 2 : Portance sur Mars en fonction de la vitesse de rotation des pâles

Déterminer, approximativement, la valeur de la vitesse de rotation minimale des pâles de Ingenuity afin que l’hélicoptère décolle sur Terre.
On donnera la réponse en \( tpm \) sans préciser l'unité dans la réponse. Le validateur accepte les réponses suffisamment proches de la réponse attendue.
Déterminer, approximativement, la valeur de la vitesse de rotation minimale des pâles de Ingenuity afin que l’hélicoptère décolle sur Mars.
On donnera la réponse en \( tpm \) sans préciser l'unité dans la réponse. Le validateur accepte les réponses suffisamment proches de la réponse attendue.

PARTIE C : Une phase d’atterrissage délicate

La phase la plus délicate du vol de l’hélicoptère est l’atterrissage, du fait des turbulences qui peuvent déséquilibrer l’engin. La solution retenue est d’arrêter la propulsion à un mètre au-dessus du sol, et de laisser l’hélicoptère atteindre le sol en chute libre.
On suppose dans l’étude qui suit que l’hélicoptère Ingenuity est en vol stationnaire – c’est-à-dire à vitesse nulle – à une altitude \( H = 3,10 \: m \) au-dessus du sol martien lorsque ses pâles cessent de tourner. Il chute alors verticalement.
Soit un axe \( O_{z} \) vertical, orienté positivement vers le haut et dont l’origine O est confondue avec le sol (figure ci-dessous). On note \( \overrightarrow{g}_{M} \) le champ de pesanteur sur Mars.

On note \( a_{z}(t) \) la coordonnée verticale du vecteur accélération de l’hélicoptère lors de la phase de chute libre, exprimée en \( m / s^2 \).

Appliquer la deuxième loi de Newton afin de déterminer l'équation vérifiée par \( a_{z}(t) \).
On donnera la réponse sans préciser l'unité, et en remplaçant les constantes par leurs valeurs numériques.
En déduire, dans le repère défini, l'équation de la coordonnée \( v_{z}(t) \) du vecteur vitesse de l’hélicoptère lors de la phase de chute libre, en \( m / s \).
On donnera la réponse sans préciser l'unité, et en remplaçant les constantes par leurs valeurs numériques.
Déduire des résultats précédents l’équation horaire \( z(t) \) du mouvement de l’hélicoptère lors de la phase de chute libre, en \( m \).
On donnera la réponse sans préciser l'unité, et en remplaçant les constantes par leurs valeurs numériques.
Déterminer la durée au bout de laquelle l’hélicoptère atteindra le sol martien.
On donnera la réponse en \( s \) et suivie de l'unité qui convient.
Déterminer la vitesse de l’hélicoptère au moment de l’impact sur le sol martien.
On donnera la réponse en \( m/s \) et suivie de l'unité qui convient.
False