Exercice type Bac de Physique-Chimie

Les Américains l'ont baptisée "The Great American Eclipse" (la grande éclipse américaine).
Le 21 août 2017, l'ombre de la Lune traversa les États-Unis du Pacifique jusqu'en Atlantique.
Outre-Atlantique, l'événement a soulevé pendant plusieurs mois un enthousiasme extraordinaire.
D’après www.sciencesetavenir.fr


Données
  • - Constante de gravitation universelle : \( G = 6,674 \times 10^{-11} m^{3}\mathord{\cdot}kg^{-1}\mathord{\cdot}s^{-2} \)
  • - Masse de la Lune : \( M_{L} = 7,349 \times 10^{22} kg \)
  • - Masse de la Terre : \( M_{T} = 6,032 \times 10^{24} kg \)
  • - Rayon de la Lune supposée sphérique : \( D_{L} = 1,737 \times 10^{6} m \)
  • - Rayon de la Terre supposée sphérique : \( D_{T} = 6,371 \times 10^{6} m \)
  • - Distance moyenne du centre de la Lune au centre de la Terre : \( d = 3,925 \times 10^{8} m \)
  • - Latitudes et longitudes de quelques villes américaines
    SalemKansas CityNashvilleCasper
    Latitude\(45,07°N\)\(38,98°N\)\(35,99°N\)\(42,71°N\)
    Longitude\(123,1°O\)\(94,45°O\)\(86,11°O\)\(106,3°O\)

1. Rotation de la Terre

Dans le référentiel géocentrique, la Terre accomplit un tour sur elle-même en environ 23 heures et 56 minutes (durée du jour sidéral). On se place dans ce référentiel pour répondre aux questions ci-dessous.

1.1. Quelle est la vitesse d'un point situé sur l'équateur ?
On donnera le résultat en \( m \mathord{\cdot} s^{-1} \), avec 4 chiffres significatifs et suivi de l'unité qui convient.

La vitesse \( V \), en \( m \mathord{\cdot} s^{-1} \), d'un point de la surface de la Terre dépend de sa latitude \( \alpha \) selon la relation : \[ V = 464 \times cos( \alpha ) \]

1.2. Quelle est la vitesse \( v_{v} \) d'un point de la ville de Kansas City ?
On donnera le résultat en \( m \mathord{\cdot} s^{-1} \), avec 4 chiffres significatifs et suivi de l'unité qui convient.

2. Vitesse de l'ombre de la Lune sur la Terre

Voici quelques indications sur les États-Unis et le passage de l'éclipse :
  • - La distance entre Casper et Nashville est de \( 1879 km \).
  • - La distance entre Casper et Salem est de \( 1358 km \).
  • - La distance entre Salem et Kansas City est de \( 2434 km \).
  • - L'éclipse a été vue à Nashville à partir de \(18h01\), pendant \( 2min46s \).
  • - L'éclipse a été vue à Kansas City à partir de \(17h47\).
  • - L'éclipse a été vue à Casper à partir de \(17h30\).
2.1.Déterminer \( v_{0} \) la vitesse moyenne de l'ombre de la Lune sur la surface de la Terre dans le référentiel terrestre.
On donnera le résultat en \( km \mathord{\cdot} h^{-1} \), avec 4 chiffres significatifs et suivi de l'unité qui convient.
2.2.Compte tenu de la durée maximale de l'éclipse en un lieu de son passage, estimer le diamètre de l'ombre de la Lune sur la Terre lors de l'éclipse.
On donnera le résultat avec 4 chiffres significatifs et suivi de l'unité qui convient.

3. Mouvement de la Lune autour de la Terre



3.1. Pourquoi ne tient-on pas compte de phénomène de diffraction des rayons lumineux par la Lune ?

On se place maintenant dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen.
On étudie le système \( \{\text{Lune}\} \), sans tenir compte de l'influence du soleil.

3.2. Dans le schéma ci-dessous, où sont représentées la Terre, la Lune, et son orbite, tracer le vecteur \( \overrightarrow{F_{T/L}} \) représentant la force modélisant l'interaction gravitationnelle exercée par la Terre sur la Lune.
3.3. Calculer l'intensité de la force gravitationnelle entre la Terre et la Lune.
On donnera le résultat avec 4 chiffres significatifs et suivi de l'unité qui convient.
3.4. Établir l'expression vectorielle de l'accélération de la Lune \( \overrightarrow{a_{L}} \), en fonction de \( \overrightarrow{u} \) le vecteur unitaire orienté depuis la Lune vers la Terre.
3.5. Déterminer la valeur de la vitesse de la Lune sur son orbite.
On donnera le résultat en \( m \mathord{\cdot} s^{-1} \), avec 4 chiffres significatifs et suivi de l'unité qui convient.
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