Un récipient contenant initialement \( 5 \) litres d’eau est laissé au soleil.
Toutes les heures, le volume d’eau diminue de \( 5 \) %.

On considère la suite \( (u_{n}) \) définie pour tout entier naturel \( n \) par : \[ \left\{\begin{matrix} u_{n+1} = - \dfrac{5}{8}u_n \\ u_{0} = -10 \end{matrix}\right. \]

On considère la fonction \( f \) définie sur l'intervalle \( ]0;+\infty[ \) par : \[ f(x) = 3ln(4x) \]

On considère la fonction \( g \) définie sur l'intervalle \( ] \dfrac{1}{3};+\infty[ \) par : \[ g(x) = \dfrac{ln(3x)}{3x - 1} \]
On note \( C_g \) la courbe représentative de la fonction \( g \) dans un repère orthogonal.

Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction \( h \) définie sur l'intervalle \( ]0;2] \) par : \[ h(x) = 3x^{2}(1+2ln(x)) \]
On note \( C_h \) la courbe représentative de \( h \) dans un repère du plan.
On admet que \( h \) est deux fois dérivables sur l'intervalle \( ]0;2] \).
On note \( h' \) sa dérivée et \( h'' \) sa dérivée seconde.
On admet que, pour tout réel \( x \) de l'intervalle \( ]0;2] \), on a : \[ h'(x) = 12x(1+ln(x)) \]

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé \((O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}; \overrightarrow{k})\) d’unité \(1\) \(\text{cm}\), on considère les points suivants : \(J(-3; 9; 0)\), \(K(-6; 15; 0)\), \(L(-39; -9; -27)\)

Dans la suite, \(T\) désigne le point de coordonnées \((1; -3; 11)\).

On rappelle que le volume \(V\) d’un tétraèdre est donné par la formule :

\(V = \frac{1}{3} B \times h\) où \(B\) désigne l’aire d’une base et \(h\) la hauteur correspondante.

Partie 2 : Variable aléatoire

Dans une autre école, la probabilité pour un candidat d’être admis à l’école est égale à \( 0,22 \). On considère un échantillon de douze candidats choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. On désigne par \( X \) la variable aléatoire dénombrant les candidats admis à l’école parmi les douze tirés au sort. On admet que la variable aléatoire \( X \) suit une loi binomiale.

Un lycée présente \( n \) candidats au recrutement dans cette école, où \( n \) est un entier naturel non nul.
On admet que la probabilité pour un candidat quelconque du lycée d’être admis à l’école est égale à \( 0,22 \) et que les résultats des candidats sont indépendants les uns des autres.

Partie A

On considère la fonction \(f\) définie sur l'ensemble \([0; +\infty[ \) par \[f(x) = 1 + 2x^{2} -4x^{2}\operatorname{ln}\left(\dfrac{1}{2}x\right) \]
On admet que \(f\) est dérivable sur l'intervalle et on note \(f'\) sa fonction dérivée.

On admet dans la suite de l'exercice, que l'équation \( f(x) = 0 \) n'admet pas de solution sur l'intervalle \(]0;2]\).

from lycee import *

def f(x):
    return 1 + 2 * x ** 2 - 4 * x ** 2 * ln(1/2 * x)

def dichotomie(p):
    a = 2
    b = 2.7 / 0.5
    while b - a > 10 ** (-p):
        if f(a) * f((a + b) / 2) < 0:
            b = (a + b) / 2
        else:
            a = (a + b) / 2
    return (a, b)

>>> dichotomie(1)

Partie B

On considère la fonction \(g\) définie sur l'intervalle \(]0; +\infty[\), par \(g(x) = \dfrac{\operatorname{ln}\left(\dfrac{1}{2}x\right)}{1 + 2x^{2}}\) . On admet que \(g\) est dérivable sur l'intervalle \(]0; +\infty[\) et on note \(g'\) sa fonction dérivée. On note \(C_{g}\) la courbe représentative de la fonction \(g\) dans le plan rapporté à un repère \((O;\vec{i},\vec{j})\).

On admet que \(g(\alpha) = \)\(\dfrac{1}{4\alpha^2}\)

Un récipient contenant initialement \( 9 \) litres d’eau est laissé au soleil.
Toutes les heures, le volume d’eau diminue de \( 10 \) %.

On considère la suite \( (u_{n}) \) définie pour tout entier naturel \( n \) par : \[ \left\{\begin{matrix} u_{n+1} = 4 + \dfrac{1}{2}u_n \\ u_{0} = -5 \end{matrix}\right. \]

On considère la fonction \( f \) définie sur l'intervalle \( ]0;+\infty[ \) par : \[ f(x) = 2ln(2x) \]

On considère la fonction \( g \) définie sur l'intervalle \( ] \dfrac{1}{6};+\infty[ \) par : \[ g(x) = \dfrac{ln(6x)}{6x - 1} \]
On note \( C_g \) la courbe représentative de la fonction \( g \) dans un repère orthogonal.

Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction \( h \) définie sur l'intervalle \( ]0;2] \) par : \[ h(x) = -4x^{2}(1+2ln(x)) \]
On note \( C_h \) la courbe représentative de \( h \) dans un repère du plan.
On admet que \( h \) est deux fois dérivables sur l'intervalle \( ]0;2] \).
On note \( h' \) sa dérivée et \( h'' \) sa dérivée seconde.
On admet que, pour tout réel \( x \) de l'intervalle \( ]0;2] \), on a : \[ h'(x) = -16x(1+ln(x)) \]