Les annales du Bac

Dans un repère orthonormé \((O; I; J; K )\), on considère les points

• \(Q \left(3\ ;13\ ;-4\right) \)
• \(R \left(11\ ;13\ ;-4\right) \)
• \(C \left(-5\ ;10\ ;-14\right) \)
• \(D \left(-5\ ;-9\ ;12\right) \)

Un point \(F\) se déplace sur la droite \(( Q R )\) dans le sens de \( Q \) vers \( R \)
Un point \(G\) se déplace sur la droite \(( C D )\) dans le sens de \( C \) vers \( D \)
À l'instant \(t=0\) le point \( F \) est en \( Q \) et le point \( G \) est en \( C \).
On note \( F_{t} \) et \( G_{t} \) les positions des points \( F \) et \( G \) au bout de \(t\) secondes, \(t\) désignant un nombre réel positif.

On admet que \( F_{t} \) et \( G_{t} \) ont pour coordonnées respectives \(\left(3 + 8t\ ;13\ ;-4\right)\) et \(\left(-5\ ;10 -19t\ ;-14 + 26t\right)\).

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points suivants :
\[ A\left(1;2;-2\right), B\left(3;-3;-3\right), C\left(-2;-4;1\right), D\left(0;5;-4\right) \text{ et } H\left(-4;1;2\right) \]

On suppose que le plan \( (EFG) \) a pour équation cartésienne \( -4x -4y + 6z -24 = 0 \).

Partie A
Dans un repère orthonormé \( (O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \) de l'espace, on considère le plan \((P)\) d'équation :
\[3x -2y -3z + 2 = 0\]
On consière les trois points \(A\), \(B\) et \(C\) de coordonnées :
\[A(2 ; -4 ; -2), B(-2 ; -5 ; 2), C(-3 ; -5 ; 1) \]
Le but de cet exercice est d'étudier le rapport des aires entre un triangle et son projeté orthogonal dans un plan.

On admet l'existence d'un unique point H vérifiant les deux conditions :
\[ \left\{ \begin{array}{l} H \in (BC) \\ (BC) \perp (HA) \end{array} \right. \]

Partie B
On admet que les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{HA}\) sont : \( \overrightarrow{HA} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} \)

Partie C
On admet que \(HA' = \sqrt{11}\)

On admet que les droites \((A'H)\) et \((BC)\) sont perpendiculaires.

La directrice d'une école souhaite réaliser une étude auprès des étudiants qui ont passé l'examen de fin d'étude, pour analyser la façon dont ils pensent avoir réussi cet examen.

Pour cette étude, on demande aux étudiants à l'issue de l'examen de répondre de manière individuelle à la question : « Pensez-vous avoir réussi l'examen ? ». Seules les réponses « oui » ou « non » sont possibles, et on observe que \( 91\mbox{,}2 \) % des étudiants interrogés ont répondu « oui ».

On interroge au hasard un étudiant qui a passé l'examen.

1.On note \( R \) l'événement « l'étudiant a réussi l'examen » et \( Q \) l'événement « l'étudiant a répondu « oui » à la question ».
Pour un événement \( A \) quelconque, on note \( \text{P}(A) \) sa probabilité et \( \overline{A} \) son évènement contraire.

2. On note \( x \) la probabilité que l'étudiant interrogé ait réussi l'examen.

3. L'étudiant interrogé a répondu « oui » à la question.

4. La note obtenue par un étudiant interrogé au hasard est un nombre entier entre 0 et 20. On suppose qu'elle est modélisée par une variable aléatoire \( \text{N} \) qui suit la loi binomiale de paramètres \( (20 ; 0\mbox{,}575) \). La directrice souhaite attribuer une récompense aux étudiants ayant obtenu les meilleurs résultats.

5. On interroge au hasard dix étudiants.
Les variables aléatoires \( \text{N}_{1},\text{N}_{2},…,\text{N}_{10} \) modélisent la note sur 20 obtenue à l'examen par chacun des étudiants. On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale avec les paramètres \( n=20 \) et \( p=0\mbox{,}575 \).
Soit \( S \) la variable aléatoire définie par \( \text{S}=\text{N}_{1}+\text{N}_{2}+…+\text{N}_{10} \).

6. On considère la variable aléatoire \( \text{M} = \frac{\text{S}}{10} \).

L’objectif de cet exercice est d’étudier les trajectoires de deux sous-marins en phase de plongée.
On considère que ces sous-marins se déplacent en ligne droite, chacun à vitesse constante.
À chaque instant, exprimé en minutes, le premier sous-marin est repéré par le point \( S_{1}(t) \) et le second sous-marin est repéré par le point \( S_{2}(t) \) dans un repère orthonormé \( (O ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \) dont l’unité est le mètre.
Le plan défini par \( (O ; \vec{i}, \vec{j}) \) représente la surface de la mer. La cote \( z \) est nulle au niveau de la mer, négative sous l’eau.

On admet que, pour tout réel \( t \geq 0 \) le point \( S_{1}(t) \) a pour coordonnées : \[ \begin{cases}x_{t} = 110 + 140t\\y_{t} = 100 + 120t\\z_{t} = -20 -120t\end{cases} \]

On se place dans le plan vertical contenant la trajectoire du premier sous-marin.

Au début de l'observation, le second sous-marin est situé au point \( S_{2}(0) \) de coordonnées \( \left(-190; -60 ; -270 \right) \) et atteint au bout de \( 1 \) minutes le points \( S_{2}(1) \) de coordonnées \( \left(40; -120 ; -340 \right) \) avec une vitesse constante.