Exercices type Bac

Préparation au Bac - Mathématiques Spécialité

Exercice 1 : Type Bac - Probabilités, suite et Python

Pour préparer l'examen du permis de conduire, on distingue deux types de formation : la formation avec conduite accompagnée et la formation traditionnelle.

On considère un groupe de \( 165 \) personnes venant de réussir l'examen du permis de conduire.
Dans ce groupe :
  • - \( -30 + 75 \) personnes ont suivi une formation avec conduite accompagnée ; parmi elles, \( 30 \) ont réussi l'examen à leur première présentation et les autres ont réussi à leur deuxième présentation.
  • - \( 120 \) personnes se sont présentées à l'examen suite à une formation traditionnelle ; parmi elles, \( 60 \) ont réussi l'examen à la première présentation, \( 40 \) à la deuxième et \( 20 \) à la troisième présentation.
On interroge au hasard une personne du groupe considéré.
On considère les événements suivants :
  • - \( A \) : « la personne a suivi une formation avec conduite accompagnée » ;
  • - \( T \) : « la personne a suivi une formation traditionnelle » ;
  • - \( R1 \) : « la personne a réussi l’examen à la première présentation » ;
  • - \( R2 \) : « la personne a réussi l’examen à la deuxième présentation » ;
  • - \( R3 \) : « la personne a réussi l’examen à la troisième présentation ».
Modéliser la situation par un arbre pondéré.
{"A": {"R1": {"value": " "}, "R2": {"value": " "}, "value": " "}, "T": {"R1": {"value": " "}, "R2": {"value": " "}, "R3": {"value": " "}, "value": " "}}

Essais restants : 2

Calculer la probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite accompagnée et réussi l’examen à sa deuxième présentation.
On répondra sous la forme d'une fraction simplifiée.
Calculer la probabilité que la personne interrogée ait réussi l’examen à sa deuxième présentation.
On répondra sous la forme d'une fraction simplifiée.
La personne interrogée a réussi l’examen à sa deuxième présentation.
Quelle est la probabilité qu’elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée ?
On répondra sous la forme d'une fraction simplifiée.

On note \( X \) la variable aléatoire qui, à toute personne choisie au hasard dans le groupe, associe le nombre de fois où elle s’est présentée à l’examen jusqu’à sa réussite. Ainsi, \( X = 1\) correspond à l'événement \( R1 \).

Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire \( X \).
On donnera les valeurs prises par la variable aléatoire dans l'ordre croissant.
{"data": [["?", "?", "?"], ["?", "?", "?"]], "header_left": ["\\(x_i\\)", "\\( P( X = x_i ) \\)"]}
Calculer l’espérance de cette variable aléatoire.
On répondra sous la forme d'une fraction simplifiée.

On choisit, successivement et de façon indépendante, \( n \) personnes parmi les \( 165 \) du groupe étudié, où \( n \) est un entier naturel non nul. On assimile ce choix à un tirage avec remise de \( n \) personnes parmi les \( 165 \) personnes du groupe.

Dans le contexte de cette question, exprimer la probabilité qu'au moins une personne parmi \( n \) personnes choisies réussisse l'examen à la troisième présentation.
Compléter la fonction seuil qui calcule le nombre de tirage minimums à effectuer pour que la probabilité de réaliser l’évènement \( R3 \) soit supérieure ou égale à la probabilité \( p \) en entrée de la fonction.
La fonction renverra -1 si le seuil n'est pas atteignable.
{"outputs": [[], [], [], [], []], "nbAttemptsLeft": 2, "initCode": "%{def seuil(p):}s", "studentCode": "", "inputs": [[0.1], [0.2], [0.5], [0.9], [1]]}

Essais restants : 2

Exercice 2 : Type Bac - Évolution de la température du pain : Équations différentielles, Fonction exponentielle, Suites

Dans une boulangerie, les baguettes sortent du four à une température de \(217°C\).
On s’intéresse à l’évolution de la température d’une baguette après sa sortie du four.
On admet qu’on peut modéliser cette évolution à l’aide d’une fonction \( f \) définie et dérivable sur l’intervalle \([0 ; +\infty[\). Dans cette modélisation, \(f(t)\) représente la température en degré Celsius de la baguette au bout de la durée \(t\), exprimée en heure, après la sortie du four.
Ainsi, \(f(0,5)\) représente la température d’une baguette une demi-heure après la sortie du four.
Dans tout l’exercice, la température ambiante de la boulangerie est maintenue à \( 22\:\text{°C} \).
On admet alors que la fonction \( f \) est solution de l'équation différentielle \( y' + 10 y = 220 \).

1. a. Préciser la valeur de \(f(0)\).
On utilisera le clavier virtuel pour écrire l'unité.
1. b. Résoudre l’équation différentielle \( y' + 10 y = 220 \) et en déduire l’expression de \(f(t)\) pour tout \(t >= 0\).
2. De ce modèle, on peut déduire :
  • A.La température augmente puis décroît
  • B.La température tend à se stabiliser à la température ambiante
  • C.La température décroît
  • D.La température ne se stabilise pas
Pour mettre les baguettes en rayon, le boulanger attend que leur température soit inférieure ou égale à \( 35\:\text{°C} \). On note \(T_0\) le temps d’attente minimal entre la sortie du four d’une baguette et sa mise en rayon.
On donne en page suivante la représentation graphique de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal.
3. Avec la précision permise par le graphique, lire \( T_0 \).
On donnera une valeur approchée à la minute près de \( T_0 \).
Exemple de réponse pour \( 1h30min \) : 90
On s’intéresse ici à la diminution, minute après minute, de la température d’une baguette à sa sortie du four.
Ainsi, pour un entier naturel \(n\), \( D_n \) désigne la diminution de température en degré Celsius d’une baguette entre la n-ième et la (n + 1)-ième minute après sa sortie du four.
On admet que, pour tout entier naturel \(n\) : \[ D_n=f(\dfrac{n}{60}) - f(\dfrac{n+1}{60}) \]
4. a. Déterminer la réduction de la température du pain durant la première minute en dehors du four.
On donnera une valeur approchée à \( 0,1 \) près de \( D_0 \).
4. b. Donner une expression explicite et simplifiée de \( D_n \) en fonction de \(n\) :
4. c. Quelle est la limite de la suite \( D_n \) ?
Si elle n’admet pas de limite, écrire “indefinie”

Exercice 3 : Bac Général 2021 - Exercice 1 - Suites et Analyse

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, sélectionner la ou les réponses proposées exactes.

On considère les suites \( (u_n) \) et \( (v_n) \) telles que :
Pour tout entier naturel \( n \), \[ u_n = -2 - \left(\dfrac{1}{8}\right)^{n} \] \[ v_n = -2 + \left(\dfrac{1}{7}\right)^{n} \] On considère de plus une suite \( (w_n) \) qui, pour tout entier naturel \( n \), vérifie \( u_n \leq w_n \leq v_n \).


On peut affirmer que :
  • ALa suite \( (u_n) \) est majorée par \( -2 \)
  • B Les suites \( (u_n) \) et \( (v_n) \) sont ni géométriques ni arithmétiques
  • CLa suite \( (w_n) \) est croisssante
  • D\( (w_n) \) converge vers \( 8 \)

On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par : \[ f(x) = \left(2x -1\right)e^{-4x^{2} + 4x -4} \]

La fonction dérivée de \( f \) est la fonction \( f' \) définie sur \( \mathbb{R} \) par :
Déterminer : \[ \lim_{x \to +\infty}{\dfrac{5x -7}{5x^{2} -6x -1}} \]

On considère une fonction \( h \) continue sur l’intervalle \( \left[ -3 ; 7 \right] \) telle que \[ h(-3) = -4 \quad h(2) = -8 \quad h(7) = -4 \]

On peut affirmer que :
  • ALa fonction \( h \) est positive sur l'intervalle \( \left[ -3; 7 \right] \)
  • BLa fonction \( h \) est décroissante sur l’intervalle \( \left[ -3; 2 \right] \).
  • CL’équation \( h(x) = -5 \) admet au moins deux solutions dans l’intervalle \( \left[ -3; 7 \right] \).
  • DIl existe au moins un nombre réel \( a \) dans l’intervalle \( \left[ -3; 2 \right] \) tel que \( h(a) = -2 \).

On suppose que \( g \) est une fonction dérivable sur l’intervalle \( \left[ −4; 4\right] \). On donne ci-dessous la représentation graphique de sa fonction dérivée \( g′ \).

On peut affirmer que :
  • A\( g \) admet un minimum en \( 1 \).
  • B\( g \) est décroissante sur l’intervalle \( \left[ 1; 2 \right] \).
  • C\( g \) est concave sur l’intervalle \( \left[ 0; 2 \right] \).
  • D\( g \) admet un maximum en \( 2 \).

Exercice 4 : Type Bac - Probabilités, suite et Python

Pour préparer l'examen du permis de conduire, on distingue deux types de formation : la formation avec conduite accompagnée et la formation traditionnelle.

On considère un groupe de \( 270 \) personnes venant de réussir l'examen du permis de conduire.
Dans ce groupe :
  • - \( -75 + 165 \) personnes ont suivi une formation avec conduite accompagnée ; parmi elles, \( 75 \) ont réussi l'examen à leur première présentation et les autres ont réussi à leur deuxième présentation.
  • - \( 180 \) personnes se sont présentées à l'examen suite à une formation traditionnelle ; parmi elles, \( 120 \) ont réussi l'examen à la première présentation, \( 40 \) à la deuxième et \( 20 \) à la troisième présentation.
On interroge au hasard une personne du groupe considéré.
On considère les événements suivants :
  • - \( A \) : « la personne a suivi une formation avec conduite accompagnée » ;
  • - \( T \) : « la personne a suivi une formation traditionnelle » ;
  • - \( R1 \) : « la personne a réussi l’examen à la première présentation » ;
  • - \( R2 \) : « la personne a réussi l’examen à la deuxième présentation » ;
  • - \( R3 \) : « la personne a réussi l’examen à la troisième présentation ».
Modéliser la situation par un arbre pondéré.
{"A": {"R1": {"value": " "}, "R2": {"value": " "}, "value": " "}, "T": {"R1": {"value": " "}, "R2": {"value": " "}, "R3": {"value": " "}, "value": " "}}

Essais restants : 2

Calculer la probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite accompagnée et réussi l’examen à sa deuxième présentation.
On répondra sous la forme d'une fraction simplifiée.
Calculer la probabilité que la personne interrogée ait réussi l’examen à sa deuxième présentation.
On répondra sous la forme d'une fraction simplifiée.
La personne interrogée a réussi l’examen à sa deuxième présentation.
Quelle est la probabilité qu’elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée ?
On répondra sous la forme d'une fraction simplifiée.

On note \( X \) la variable aléatoire qui, à toute personne choisie au hasard dans le groupe, associe le nombre de fois où elle s’est présentée à l’examen jusqu’à sa réussite. Ainsi, \( X = 1\) correspond à l'événement \( R1 \).

Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire \( X \).
On donnera les valeurs prises par la variable aléatoire dans l'ordre croissant.
{"data": [["?", "?", "?"], ["?", "?", "?"]], "header_left": ["\\(x_i\\)", "\\( P( X = x_i ) \\)"]}
Calculer l’espérance de cette variable aléatoire.
On répondra sous la forme d'une fraction simplifiée.

On choisit, successivement et de façon indépendante, \( n \) personnes parmi les \( 270 \) du groupe étudié, où \( n \) est un entier naturel non nul. On assimile ce choix à un tirage avec remise de \( n \) personnes parmi les \( 270 \) personnes du groupe.

Dans le contexte de cette question, exprimer la probabilité qu'au moins une personne parmi \( n \) personnes choisies réussisse l'examen à la troisième présentation.
Compléter la fonction seuil qui calcule le nombre de tirage minimums à effectuer pour que la probabilité de réaliser l’évènement \( R3 \) soit supérieure ou égale à la probabilité \( p \) en entrée de la fonction.
La fonction renverra -1 si le seuil n'est pas atteignable.
{"studentCode": "", "nbAttemptsLeft": 2, "outputs": [[], [], [], [], []], "initCode": "%{def seuil(p):}s", "inputs": [[0.1], [0.2], [0.5], [0.9], [1]]}

Essais restants : 2

Exercice 5 : Type Bac - Évolution de la température du pain : Équations différentielles, Fonction exponentielle, Suites

Dans une boulangerie, les baguettes sortent du four à une température de \(222°C\).
On s’intéresse à l’évolution de la température d’une baguette après sa sortie du four.
On admet qu’on peut modéliser cette évolution à l’aide d’une fonction \( f \) définie et dérivable sur l’intervalle \([0 ; +\infty[\). Dans cette modélisation, \(f(t)\) représente la température en degré Celsius de la baguette au bout de la durée \(t\), exprimée en heure, après la sortie du four.
Ainsi, \(f(0,5)\) représente la température d’une baguette une demi-heure après la sortie du four.
Dans tout l’exercice, la température ambiante de la boulangerie est maintenue à \( 28\:\text{°C} \).
On admet alors que la fonction \( f \) est solution de l'équation différentielle \( y' + 8 y = 224 \).

1. a. Préciser la valeur de \(f(0)\).
On utilisera le clavier virtuel pour écrire l'unité.
1. b. Résoudre l’équation différentielle \( y' + 8 y = 224 \) et en déduire l’expression de \(f(t)\) pour tout \(t >= 0\).
2. De ce modèle, on peut déduire :
  • A.La température tend à se stabiliser à la température ambiante
  • B.La température ne se stabilise pas
  • C.La température décroît
  • D.La température augmente puis décroît
Pour mettre les baguettes en rayon, le boulanger attend que leur température soit inférieure ou égale à \( 40\:\text{°C} \). On note \(T_0\) le temps d’attente minimal entre la sortie du four d’une baguette et sa mise en rayon.
On donne en page suivante la représentation graphique de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal.
3. Avec la précision permise par le graphique, lire \( T_0 \).
On donnera une valeur approchée à la minute près de \( T_0 \).
Exemple de réponse pour \( 1h30min \) : 90
On s’intéresse ici à la diminution, minute après minute, de la température d’une baguette à sa sortie du four.
Ainsi, pour un entier naturel \(n\), \( D_n \) désigne la diminution de température en degré Celsius d’une baguette entre la n-ième et la (n + 1)-ième minute après sa sortie du four.
On admet que, pour tout entier naturel \(n\) : \[ D_n=f(\dfrac{n}{60}) - f(\dfrac{n+1}{60}) \]
4. a. Déterminer la réduction de la température du pain durant la première minute en dehors du four.
On donnera une valeur approchée à \( 0,1 \) près de \( D_0 \).
4. b. Donner une expression explicite et simplifiée de \( D_n \) en fonction de \(n\) :
4. c. Quelle est la limite de la suite \( D_n \) ?
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