Préparation au Bac 2024

Préparation au Bac - Physique-Chimie Spécialité

Exercice 1 : Bac S 2019 Métropole - Exercice 2 - Décollage de la fusée Ariane 5

Pour l'ensemble des calculs de l'exercice, on utilisera les valeurs exactes pour faire le calcul, qu'on arrondira au dernier moment.
La propulsion de la fusée Ariane 5 est assurée par :
  • - un étage principal cryotechnique (EPC) constitué du moteur Vulcain, de puissance transmise à la fusée de l'ordre de 10 MW en moyenne au cours des deux premières secondes du décollage.
  • - deux boosters (étages d'accélération à poudre EAP) qui contribuent à environ 90 % de la puissance totale transmise à la fusée au début du décollage.

Le but de cet exercice est de vérifier certaines des caractéristiques de la fusée Ariane 5 à partir d’une chronophotographie de son décollage.

Données :
  • - Intensité du champ de pesanteur : \( g = 9,81 m\mathord{\cdot}s^{-2} \)
  • - Débit massique d’éjection de gaz du moteur Vulcain : \( 270 kg\mathord{\cdot}s^{-1} \)
  • - Débit massique d’éjection de gaz de chaque booster : \( 1800 kg\mathord{\cdot}s^{-1} \)
  • - Caractéristiques des différentes fusées Ariane :
FuséeAriane 1Ariane 2Ariane 3Ariane 4Ariane 5
Masse au décollage (en tonnes)\(210 t\)\(219 t\)\(234 t\)\(316 t\)\(753 t\)
Poussée * (en kN)\(2500 kN\)\(2700 kN\)\(2700 kN\)\(3053 kN\)\(12386 kN\)
Hauteur de la fusée (en m)\(47 m\)\(49 m\)\(49 m\)\(59 m\)\(52 m\)

* La poussée, qui s’exprime en kilonewton (kN), est une action qui s’exerce sur la fusée. C’est l’action de réaction des gaz éjectés au cours de la combustion du carburant. Au décollage, cette action est modélisée par une force verticale et orientée vers le haut.



Figure 1. Chronophotographie du début du décollage d’Ariane 5

Pour faciliter les mesures, les différentes images de la fusée ont été décalées horizontalement les unes par rapport aux autres.
L’étude de cette chronophotographie donne les résultats suivants. L’axe vertical a pour origine la base de la fusée.

Imaget (s)y (m)\(v_y\) \((m*s^{-1})\)
1\(0,200 s\)\(y_1 = 2,98 \times 10^{1} m\)\(\)
2\(0,610 s\)\(y_2 = 3,12 \times 10^{1} m\)\(v_2\)
3\(1,02 s\)\(y_3 = 3,29 \times 10^{1} m\)\(6,60 m\mathord{\cdot}s^{-1}\)
4\(1,43 s\)\(y_4 = 3,65 \times 10^{1} m\)\(9,30 m\mathord{\cdot}s^{-1}\)
5\(1,84 s\)\(y_5\)\(1,20 \times 10^{1} m\mathord{\cdot}s^{-1}\)
6\(2,25 s\)\(y_6 = 4,60 \times 10^{1} m\)\(1,50 \times 10^{1} m\mathord{\cdot}s^{-1}\)
7\(2,66 s\)\(y_7 = 5,23 \times 10^{1} m\)\(\)
Figure 2. Détermination expérimentale de la position et de la vitesse de la fusée

L’image 1 de la figure 1 précise l’endroit de la fusée qui sert à repérer son mouvement vertical. Son ordonnée sur l’axe des y est notée \(y_1\).

1. Estimation de la poussée
1.1.
Calculer la masse des gaz éjectés pendant la durée de l’étude, soit \( 2,46 s \).
On considère dans la suite de l’exercice que la masse totale de la fusée est constante pendant la durée de l’étude.
On donnera la réponse avec 3 chiffres significatifs et suivie de l'unité qui convient.
On mesure \(y_1\) à \( 3,55 cm \) de l'axe des ordonnées et \(y_5\) à \( 4,87 cm \) par rapport au même axe sur la figure 1.
1.2. Estimer, à l’aide de la figure 1, la valeur de \( y_5 \).
On donnera la réponse avec 3 chiffres significatifs et suivie de l'unité qui convient.
Figure 3. Détermination expérimentale de la position et de la vitesse de la fusée

1.3. On donne en figure 3 le graphe représentant l’évolution de la vitesse de la fusée au cours du temps.
1.3.1.
Estimer, à l’aide du tableau de la figure 2, la valeur de \( v_2 \).
On donnera la réponse avec 3 chiffres significatifs et suivie de l'unité qui convient.
1.3.2. Calculer la valeur de l’accélération de la fusée pendant la durée de l’étude.
On supposera que la droite d'ajustement du graphique en figure 3 passe exactement par les points représentant les vitesses \(v_3\) et \(v_6\) des images \(1\) et \(2\) respectivement du tableau de la figure 2.
On donnera la réponse avec 3 chiffres significatifs et suivie de l'unité qui convient.
1.4. Choisir parmi les propositions de la figure 5, le schéma compatible avec le décollage de la fusée.
On notera \( \overrightarrow{P} \) le poids et \( \overrightarrow{F} \) la poussée.
1.5. À partir des résultats précédents, estimer la valeur de la force de poussée \(F\).
On donnera la réponse avec 3 chiffres significatifs et suivie de l'unité qui convient.
2. Estimation de la puissance totale développée par la fusée Ariane 5 au début du décollage
En utilisant les données sur la fusée Ariane 5 et le tableau de la figure 2, estimer la puissance moyenne fournie à la fusée par l’ensemble {moteur Vulcain + boosters} pendant la durée comprises entre \(t_1 = 0,200 s\) et \(t_6 = 2,25 s\).
On donnera la réponse avec 3 chiffres significatifs et suivie de l'unité qui convient.

Exercice 2 : Bac Spécialité 2023 (Métropole, septembre, jour 2) - Exercice 3 - Imprimante à jet d’encre continu

Imprimante à jet d’encre continu

De nombreuses applications technologiques, dans des domaines très variés, reposent sur l’utilisation d’un champ électrique.
L’objectif de cet exercice est d’étudier le principe de fonctionnement des imprimantes à jet d’encre continu dévié, principalement utilisées pour imprimer les dates d’expiration figurant sur les produits alimentaires.
On donne sur le schéma de la figure 1, le principe de fonctionnement de l’imprimante à jet d’encre continu dévié : le jet d’encre sort de la tête d’impression par une buse qui le décompose en très petites gouttes dont certaines sont chargées électriquement.
Celles-ci passent sous un déflecteur constitué de deux plaques \(P1\) et \(P2\) parallèles, chargées électriquement, assimilables à un condensateur plan. Ces plaques dévient les gouttes chargées de leur trajectoire initiale.
Les gouttes non chargées poursuivent quant à elles leur mouvement rectiligne vers une gouttière de recyclage et sont réintégrées dans le module d’encre afin d’être réutilisées.

Schéma imprimante
Figure 1. Schéma de principe de l’imprimante à jet d’encre continu dévié (d’après le site timis.fr)

Données :

  • les mouvements sont étudiés dans le référentiel terrestre supposé galiléen associé au repère \((O, \vec{i}, \vec{k})\) représenté sur la figure 2. Les vecteurs \(\vec{i}\) et \(\vec{k}\) sont unitaires ;
  • on considère que la charge électrique et la masse des gouttes d’encre restent constantes entre la buse et le support d’impression ;
  • masse d’une goutte d’encre : \(m = 3×10^{-10}\: \text{kg} \) ;
  • charge électrique d’une goutte : \(q = -2×10^{-13}\:\text{C}\) ;
  • valeur de la vitesse d’éjection des gouttes d’encre : \(v_{0} = 22\:\text{m/s}\) ;
  • longueur des plaques du déflecteur : \(L = 4\:\text{cm}\) ;
  • distance entre le déflecteur et le support d’impression : \(D = 5\:\text{cm}\) ;
  • le champ électrique est supposé uniforme dans le déflecteur, il s’écrit \(\vec{E} = – E\vec{k}\) avec \(E = 9 \times 10^{5}\:\text{V}\mathord{\cdot}\text{m}^{-1}\) ;
  • le champ électrique est nul à l’extérieur du déflecteur ;
  • hauteur moyenne d’un caractère imprimé : \(h = 3\:\text{mm}\) ;
  • intensité de la pesanteur : \(g = 9,81\: \text{m}\cdot \text{s}^{-2}\).

On étudie le mouvement d’une goutte d’encre \(G\), supposée ponctuelle, de masse \(m\) et de charge \(q\) négative

Graphique du mouvement du jet d'encre
Figure 2. Schéma de la trajectoire de la goutte \(G\)

À la date \(t_{0} = 0\:\text{s}\), la goutte d’encre \(G\) pénètre dans la zone de champ électrique uniforme au niveau du point \(O\) avec une vitesse initiale notée \(\vec{v_{0}} = v_{0} \vec{i} \).
On suppose que l’action mécanique de l’air est négligeable devant les autres actions.

1. a Indiquer les signes des charges portées par les plaques \(P1\) et \(P2\) sachant que la goutte chargée négativement est déviée vers le haut (sens des \(z\) croissants).
Le premier symbole correspondant à \(P1\) et le second à \(P2\).
1. b En déduire l’orientation du vecteur champ électrique \(\vec{E}\).

On suppose que la valeur du poids de la goutte d’encre \(G\) est négligeable par rapport à celle de la force électrique subie dans le déflecteur.
Établir l’expression du vecteur accélération \(\vec{a_{G}}\) de la goutte d’encre en fonction de la masse \(m\), de la charge \(q\) et du vecteur champ électrique \(\vec{E}\) entre les plaques du déflecteur.

2. a \(a_{Gx}(t)\) est égale à :
On donnera directement l’expression.
2. b \(a_{Gz}(t)\) est égale à :
On donnera directement l’expression.

Donner les expressions des équations horaires \(x_{G}(t)\) et \(z_{G}(t)\) du mouvement de la position de la goutte d’encre \(G\) dans le déflecteur.

3. a \(x_{G}(t)\) est égale à :
On donnera directement l’expression.
3. b \(z_{G}(t)\) est égale à
On donnera directement l’expression.
4. a Exprimer en fonction de \(L\) et \(v_{0}\) la date \(t_{S}\) à laquelle la goutte d’encre \(G\) sort du déflecteur.
On donnera directement l’expression.
4. b Calculer la valeur numérique de \(t_{S}\).
On donnera le résultat en s avec le nombre de chiffres significatifs permis par les données de l'énoncé.
4. c Calculer la valeur de la déviation \(HS\).
On donnera le résultat en mm avec le nombre de chiffres significatifs permis par les données de l'énoncé.

Donner les coordonnées du vecteur vitesse \(\vec{v_{S}}\) de la goutte d’encre \(G\) à la date \(t_{S}\).

5. a \(v_{x}(t_{s})\) est égale à :
On donnera le résultat en \(\text{m}/\text{s}\) avec le nombre de chiffres significatifs permis par les données de l'énoncé.
5. b \(v_{z}(t_{s})\) est égale à :
On donnera le résultat en \(\text{m}/\text{s}\) avec le nombre de chiffres significatifs permis par les données de l'énoncé.

On considère l’angle \(\alpha\) entre l’axe \((O_{x})\) et le vecteur vitesse \(\vec{v_{S}}\).

6 Déterminer l’expression de \(tan \alpha\) en fonction de \(q\), \(E\), \(L\), \(m\) et \(v_{0}\).
On donnera directement l’expression.

On suppose que le mouvement de la goutte entre le point \(S\) et le support d’impression est rectiligne uniforme.

7 En déduire la valeur de la hauteur \(H’I\) du point d’impact \(I\) de la goutte sur le support d’impression.
On donnera le résultat en \(mm\) avec le nombre de chiffres significatifs permis par les données de l'énoncé.
8. a Avec les données choisies, a-t-on imprimé un caractère de hauteur plus ou moins grande que la hauteur moyenne d’un caractère imprimé ?
8. b Cocher parmi les paramètres suivants celui ou ceux qui permettent d’augmenter la taille du caractère si on les augmente.

Exercice 3 : Bac Spécialité 2022 Nouvelle Calédonie - Exercice 1 - Un hélicoptère sur Mars

Ingenuity, Le premier hélicoptère à voler sur Mars

Nous étudierons ici un petit hélicoptère - comparable à un drone - d'un peu moins de deux kilogrammes. Il a été expérimenté sur le sol de la planète Mars au cours de la mission Mars 2020 pour tester ses capacités dans le domaine de la reconnaissance optique du sol martien.

Les défis technologiques sont grands :
  • - l’atmosphère de Mars est peu dense, ce qui limite la portance* des hélices ;
  • - les délais de communication entre la Terre et Mars interdisent le contrôle de l'hélicoptère en temps réel depuis la Terre, et imposent un système de pilotage automatique programmable à distance.

Le premier vol d’Ingenuity a été réalisé avec succès le lundi 19 avril 2021. Durant ce test d'une durée de 39 secondes, l'hélicoptère s'est élevé de 3 mètres puis a effectué un vol stationnaire avant de se reposer. Une dizaine de vols de plus en plus complexes ont suivi.

*Pour pouvoir voler, les pâles en rotation de l’hélicoptère génèrent une force verticale ascendante appelée «portance».

Caractéristiques techniques de l'hélicoptère d'exploration de Mars
  • Rayon d'action : \( 600 \: m \)
  • Masse : \( 1,4 \: kg \) (dont \( 212 \: g \) de batteries)
  • Dimensions :
    • - Fuselage : \( 13,6 \times 19,5 \: cm \)
    • - Diam. rotors : \( 1,21 \: m \)
  • Propulsion : Rotors
  • Source d'énergie : Cellules solaires
  • Accumulateurs : Batteries lithium-ion
  • Autre caractéristique :
    • - Plafond vol : \( 5 \: m \)
    • - Durée vol : \( 90 \: s \)
Données
  • - Pression atmosphérique de l’air sur Terre : \( P = 1,013 \cdot 10^{5} \: Pa \).
  • - Masse molaire moyenne de l'air sur Terre : \( M = 29,0 \cdot 10^{-3} \: kg \cdot mol^{-1} \).
  • - Constante des gaz parfaits : \( R = 8,314 \: J \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1} \).
  • - Conversion d'unité de température : \( T(K) = T(°C) + 273,15 \).
  • - Intensité de pesanteur sur Mars : \( g_{M} = 3,72 \: m \cdot s^{-2} \).
  • - Intensité de pesanteur sur Terre : \( g_{T} = 9,81 \: m \cdot s^{-2} \).
  • - Pour un gaz supposé parfait, on a la relation : \( PV = nRT \), avec \( P \) en pascal (\( Pa \)), \( V \) en \( m^{3} \), \( n \) en \( mol \), \( R \) (donné ci-dessus) et \( T \) en kelvin (\( K \)).

PARTIE A : L’atmosphère de Mars

L’hélicoptère est fortement handicapé dans l’atmosphère peu dense de Mars. En effet, la densité de l’atmosphère est 100 fois plus faible sur Mars que sur Terre.

Calculer la masse volumique de l’air sur Terre pour une température de \( 9,00°C \).
On supposera que l'air est un gaz parfait et on donnera le résultat suivi de l'unité qui convient.

La masse volumique de l’atmosphère sur Mars est égale à 1% de celle de l’air sur Terre.

En déduire la masse volumique de l’atmosphère sur Mars à la même température que la première question.
On donnera le résultat suivi de l'unité qui convient.

PARTIE B : La phase de décollage

Pour pouvoir décoller, la portance doit au moins compenser le poids de l’hélicoptère. Les figures suivantes, sur Terre (figure 1) et sur Mars (figure 2), représentent l’évolution de la portance de l’hélicoptère Ingenuity en fonction de la vitesse de rotation des pâles \( N \) en tours par minute (\( tpm \)).

Figure 1 : Portance sur Terre en fonction de la vitesse de rotation des pâles

Figure 2 : Portance sur Mars en fonction de la vitesse de rotation des pâles

Déterminer, approximativement, la valeur de la vitesse de rotation minimale des pâles de Ingenuity afin que l’hélicoptère décolle sur Terre.
On donnera la réponse en \( tpm \) sans préciser l'unité dans la réponse. Le validateur accepte les réponses suffisamment proches de la réponse attendue.
Déterminer, approximativement, la valeur de la vitesse de rotation minimale des pâles de Ingenuity afin que l’hélicoptère décolle sur Mars.
On donnera la réponse en \( tpm \) sans préciser l'unité dans la réponse. Le validateur accepte les réponses suffisamment proches de la réponse attendue.

PARTIE C : Une phase d’atterrissage délicate

La phase la plus délicate du vol de l’hélicoptère est l’atterrissage, du fait des turbulences qui peuvent déséquilibrer l’engin. La solution retenue est d’arrêter la propulsion à un mètre au-dessus du sol, et de laisser l’hélicoptère atteindre le sol en chute libre.
On suppose dans l’étude qui suit que l’hélicoptère Ingenuity est en vol stationnaire – c’est-à-dire à vitesse nulle – à une altitude \( H = 1,70 \: m \) au-dessus du sol martien lorsque ses pâles cessent de tourner. Il chute alors verticalement.
Soit un axe \( O_{z} \) vertical, orienté positivement vers le haut et dont l’origine O est confondue avec le sol (figure ci-dessous). On note \( \overrightarrow{g}_{M} \) le champ de pesanteur sur Mars.

On note \( a_{z}(t) \) la coordonnée verticale du vecteur accélération de l’hélicoptère lors de la phase de chute libre, exprimée en \( m / s^2 \).

Appliquer la deuxième loi de Newton afin de déterminer l'équation vérifiée par \( a_{z}(t) \).
On donnera la réponse sans préciser l'unité, et en remplaçant les constantes par leurs valeurs numériques.
En déduire, dans le repère défini, l'équation de la coordonnée \( v_{z}(t) \) du vecteur vitesse de l’hélicoptère lors de la phase de chute libre, en \( m / s \).
On donnera la réponse sans préciser l'unité, et en remplaçant les constantes par leurs valeurs numériques.
Déduire des résultats précédents l’équation horaire \( z(t) \) du mouvement de l’hélicoptère lors de la phase de chute libre, en \( m \).
On donnera la réponse sans préciser l'unité, et en remplaçant les constantes par leurs valeurs numériques.
Déterminer la durée au bout de laquelle l’hélicoptère atteindra le sol martien.
On donnera la réponse en \( s \) et suivie de l'unité qui convient.
Déterminer la vitesse de l’hélicoptère au moment de l’impact sur le sol martien.
On donnera la réponse en \( m/s \) et suivie de l'unité qui convient.

Exercice 4 : Bac S 2019 Métropole - Exercice 2 - Décollage de la fusée Ariane 5

Pour l'ensemble des calculs de l'exercice, on utilisera les valeurs exactes pour faire le calcul, qu'on arrondira au dernier moment.
La propulsion de la fusée Ariane 5 est assurée par :
  • - un étage principal cryotechnique (EPC) constitué du moteur Vulcain, de puissance transmise à la fusée de l'ordre de 10 MW en moyenne au cours des deux premières secondes du décollage.
  • - deux boosters (étages d'accélération à poudre EAP) qui contribuent à environ 90 % de la puissance totale transmise à la fusée au début du décollage.

Le but de cet exercice est de vérifier certaines des caractéristiques de la fusée Ariane 5 à partir d’une chronophotographie de son décollage.

Données :
  • - Intensité du champ de pesanteur : \( g = 9,81 m\mathord{\cdot}s^{-2} \)
  • - Débit massique d’éjection de gaz du moteur Vulcain : \( 270 kg\mathord{\cdot}s^{-1} \)
  • - Débit massique d’éjection de gaz de chaque booster : \( 1800 kg\mathord{\cdot}s^{-1} \)
  • - Caractéristiques des différentes fusées Ariane :
FuséeAriane 1Ariane 2Ariane 3Ariane 4Ariane 5
Masse au décollage (en tonnes)\(210 t\)\(219 t\)\(234 t\)\(472 t\)\(777 t\)
Poussée * (en kN)\(2500 kN\)\(2700 kN\)\(2700 kN\)\(4561 kN\)\(12176 kN\)
Hauteur de la fusée (en m)\(47 m\)\(49 m\)\(49 m\)\(59 m\)\(52 m\)

* La poussée, qui s’exprime en kilonewton (kN), est une action qui s’exerce sur la fusée. C’est l’action de réaction des gaz éjectés au cours de la combustion du carburant. Au décollage, cette action est modélisée par une force verticale et orientée vers le haut.



Figure 1. Chronophotographie du début du décollage d’Ariane 5

Pour faciliter les mesures, les différentes images de la fusée ont été décalées horizontalement les unes par rapport aux autres.
L’étude de cette chronophotographie donne les résultats suivants. L’axe vertical a pour origine la base de la fusée.

Imaget (s)y (m)\(v_y\) \((m*s^{-1})\)
1\(0,200 s\)\(y_1 = 4,00 \times 10^{1} m\)\(\)
2\(0,720 s\)\(y_2 = 4,19 \times 10^{1} m\)\(v_2\)
3\(1,24 s\)\(y_3 = 4,42 \times 10^{1} m\)\(7,00 m\mathord{\cdot}s^{-1}\)
4\(1,76 s\)\(y_4 = 4,90 \times 10^{1} m\)\(9,90 m\mathord{\cdot}s^{-1}\)
5\(2,28 s\)\(y_5\)\(1,20 \times 10^{1} m\mathord{\cdot}s^{-1}\)
6\(2,80 s\)\(y_6 = 6,18 \times 10^{1} m\)\(1,50 \times 10^{1} m\mathord{\cdot}s^{-1}\)
7\(3,32 s\)\(y_7 = 7,03 \times 10^{1} m\)\(\)
Figure 2. Détermination expérimentale de la position et de la vitesse de la fusée

L’image 1 de la figure 1 précise l’endroit de la fusée qui sert à repérer son mouvement vertical. Son ordonnée sur l’axe des y est notée \(y_1\).

1. Estimation de la poussée
1.1.
Calculer la masse des gaz éjectés pendant la durée de l’étude, soit \( 3,12 s \).
On considère dans la suite de l’exercice que la masse totale de la fusée est constante pendant la durée de l’étude.
On donnera la réponse avec 3 chiffres significatifs et suivie de l'unité qui convient.
On mesure \(y_1\) à \( 3,40 cm \) de l'axe des ordonnées et \(y_5\) à \( 4,66 cm \) par rapport au même axe sur la figure 1.
1.2. Estimer, à l’aide de la figure 1, la valeur de \( y_5 \).
On donnera la réponse avec 3 chiffres significatifs et suivie de l'unité qui convient.
Figure 3. Détermination expérimentale de la position et de la vitesse de la fusée

1.3. On donne en figure 3 le graphe représentant l’évolution de la vitesse de la fusée au cours du temps.
1.3.1.
Estimer, à l’aide du tableau de la figure 2, la valeur de \( v_2 \).
On donnera la réponse avec 3 chiffres significatifs et suivie de l'unité qui convient.
1.3.2. Calculer la valeur de l’accélération de la fusée pendant la durée de l’étude.
On supposera que la droite d'ajustement du graphique en figure 3 passe exactement par les points représentant les vitesses \(v_3\) et \(v_6\) des images \(1\) et \(2\) respectivement du tableau de la figure 2.
On donnera la réponse avec 3 chiffres significatifs et suivie de l'unité qui convient.
1.4. Choisir parmi les propositions de la figure 5, le schéma compatible avec le décollage de la fusée.
On notera \( \overrightarrow{P} \) le poids et \( \overrightarrow{F} \) la poussée.
1.5. À partir des résultats précédents, estimer la valeur de la force de poussée \(F\).
On donnera la réponse avec 3 chiffres significatifs et suivie de l'unité qui convient.
2. Estimation de la puissance totale développée par la fusée Ariane 5 au début du décollage
En utilisant les données sur la fusée Ariane 5 et le tableau de la figure 2, estimer la puissance moyenne fournie à la fusée par l’ensemble {moteur Vulcain + boosters} pendant la durée comprises entre \(t_1 = 0,200 s\) et \(t_6 = 2,80 s\).
On donnera la réponse avec 3 chiffres significatifs et suivie de l'unité qui convient.

Exercice 5 : Bac Spécialité 2023 (Métropole, septembre, jour 2) - Exercice 3 - Imprimante à jet d’encre continu

Imprimante à jet d’encre continu

De nombreuses applications technologiques, dans des domaines très variés, reposent sur l’utilisation d’un champ électrique.
L’objectif de cet exercice est d’étudier le principe de fonctionnement des imprimantes à jet d’encre continu dévié, principalement utilisées pour imprimer les dates d’expiration figurant sur les produits alimentaires.
On donne sur le schéma de la figure 1, le principe de fonctionnement de l’imprimante à jet d’encre continu dévié : le jet d’encre sort de la tête d’impression par une buse qui le décompose en très petites gouttes dont certaines sont chargées électriquement.
Celles-ci passent sous un déflecteur constitué de deux plaques \(P1\) et \(P2\) parallèles, chargées électriquement, assimilables à un condensateur plan. Ces plaques dévient les gouttes chargées de leur trajectoire initiale.
Les gouttes non chargées poursuivent quant à elles leur mouvement rectiligne vers une gouttière de recyclage et sont réintégrées dans le module d’encre afin d’être réutilisées.

Schéma imprimante
Figure 1. Schéma de principe de l’imprimante à jet d’encre continu dévié (d’après le site timis.fr)

Données :

  • les mouvements sont étudiés dans le référentiel terrestre supposé galiléen associé au repère \((O, \vec{i}, \vec{k})\) représenté sur la figure 2. Les vecteurs \(\vec{i}\) et \(\vec{k}\) sont unitaires ;
  • on considère que la charge électrique et la masse des gouttes d’encre restent constantes entre la buse et le support d’impression ;
  • masse d’une goutte d’encre : \(m = 3×10^{-10}\: \text{kg} \) ;
  • charge électrique d’une goutte : \(q = -3×10^{-13}\:\text{C}\) ;
  • valeur de la vitesse d’éjection des gouttes d’encre : \(v_{0} = 20\:\text{m/s}\) ;
  • longueur des plaques du déflecteur : \(L = 2\:\text{cm}\) ;
  • distance entre le déflecteur et le support d’impression : \(D = 2\:\text{cm}\) ;
  • le champ électrique est supposé uniforme dans le déflecteur, il s’écrit \(\vec{E} = – E\vec{k}\) avec \(E = 8 \times 10^{5}\:\text{V}\mathord{\cdot}\text{m}^{-1}\) ;
  • le champ électrique est nul à l’extérieur du déflecteur ;
  • hauteur moyenne d’un caractère imprimé : \(h = 3\:\text{mm}\) ;
  • intensité de la pesanteur : \(g = 9,81\: \text{m}\cdot \text{s}^{-2}\).

On étudie le mouvement d’une goutte d’encre \(G\), supposée ponctuelle, de masse \(m\) et de charge \(q\) négative

Graphique du mouvement du jet d'encre
Figure 2. Schéma de la trajectoire de la goutte \(G\)

À la date \(t_{0} = 0\:\text{s}\), la goutte d’encre \(G\) pénètre dans la zone de champ électrique uniforme au niveau du point \(O\) avec une vitesse initiale notée \(\vec{v_{0}} = v_{0} \vec{i} \).
On suppose que l’action mécanique de l’air est négligeable devant les autres actions.

1. a Indiquer les signes des charges portées par les plaques \(P1\) et \(P2\) sachant que la goutte chargée négativement est déviée vers le haut (sens des \(z\) croissants).
Le premier symbole correspondant à \(P1\) et le second à \(P2\).
1. b En déduire l’orientation du vecteur champ électrique \(\vec{E}\).

On suppose que la valeur du poids de la goutte d’encre \(G\) est négligeable par rapport à celle de la force électrique subie dans le déflecteur.
Établir l’expression du vecteur accélération \(\vec{a_{G}}\) de la goutte d’encre en fonction de la masse \(m\), de la charge \(q\) et du vecteur champ électrique \(\vec{E}\) entre les plaques du déflecteur.

2. a \(a_{Gx}(t)\) est égale à :
On donnera directement l’expression.
2. b \(a_{Gz}(t)\) est égale à :
On donnera directement l’expression.

Donner les expressions des équations horaires \(x_{G}(t)\) et \(z_{G}(t)\) du mouvement de la position de la goutte d’encre \(G\) dans le déflecteur.

3. a \(x_{G}(t)\) est égale à :
On donnera directement l’expression.
3. b \(z_{G}(t)\) est égale à
On donnera directement l’expression.
4. a Exprimer en fonction de \(L\) et \(v_{0}\) la date \(t_{S}\) à laquelle la goutte d’encre \(G\) sort du déflecteur.
On donnera directement l’expression.
4. b Calculer la valeur numérique de \(t_{S}\).
On donnera le résultat en s avec le nombre de chiffres significatifs permis par les données de l'énoncé.
4. c Calculer la valeur de la déviation \(HS\).
On donnera le résultat en mm avec le nombre de chiffres significatifs permis par les données de l'énoncé.

Donner les coordonnées du vecteur vitesse \(\vec{v_{S}}\) de la goutte d’encre \(G\) à la date \(t_{S}\).

5. a \(v_{x}(t_{s})\) est égale à :
On donnera le résultat en \(\text{m}/\text{s}\) avec le nombre de chiffres significatifs permis par les données de l'énoncé.
5. b \(v_{z}(t_{s})\) est égale à :
On donnera le résultat en \(\text{m}/\text{s}\) avec le nombre de chiffres significatifs permis par les données de l'énoncé.

On considère l’angle \(\alpha\) entre l’axe \((O_{x})\) et le vecteur vitesse \(\vec{v_{S}}\).

6 Déterminer l’expression de \(tan \alpha\) en fonction de \(q\), \(E\), \(L\), \(m\) et \(v_{0}\).
On donnera directement l’expression.

On suppose que le mouvement de la goutte entre le point \(S\) et le support d’impression est rectiligne uniforme.

7 En déduire la valeur de la hauteur \(H’I\) du point d’impact \(I\) de la goutte sur le support d’impression.
On donnera le résultat en \(mm\) avec le nombre de chiffres significatifs permis par les données de l'énoncé.
8. a Avec les données choisies, a-t-on imprimé un caractère de hauteur plus ou moins grande que la hauteur moyenne d’un caractère imprimé ?
8. b Cocher parmi les paramètres suivants celui ou ceux qui permettent d’augmenter la taille du caractère si on les augmente.
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