Algorithme et programmation - 4e

Algorithme et mathématiques

Exercice 1 : Algorithme d'une longueur dans un triangle rectangle

Compléter le programme suivant permettant de trouver la longueur \(BC\) connaissant \(AC\) et \(AB\), dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\).

Par exemple si l'utilisateur rentre \(AB=3\), \(AC=4\) votre programme doit afficher en sortie la valeur de \(BC\), soit \(5\)

Exercice 2 : Dessiner un carré de côté proposé par l'utilisateur

Utiliser un algorithme pour dessiner un carré de côté \(50\).

Exercice 3 : Additionner deux nombres (initiation)

Écrire un algorithme capable de calculer la somme de deux nombres.
\[ a + b \]
Votre algorithme doit afficher le même résultat pour l'exemple suivant :
  • pour:
    • a = 2
    • b = 2
    on affiche « 4 ».

Exercice 4 : Utiliser Pythagore pour calculer l'hypoténuse (niv 1)

Soit ABC un triangle rectangle en A. Ecrire un algorithme capable de calculer la longueur du segment bleu:

Votre algorithme doit afficher les mêmes résultats pour les exemples suivants :
  • pour segment n°1 = 32, segment n°2 = 24 on affiche 40.
  • pour segment n°1 = 15, segment n°2 = 20 on affiche 25.

Exercice 5 : Utiliser Pythagore pour calculer un coté (niv 2)

Soit ABC un triangle rectangle en A. Ecrire un algorithme capable de calculer la longueur du segment bleu :


Votre algorithme doit afficher les mêmes résultats pour les exemples suivants :
  • pour segment n°1 = 21, segment n°2 = 29 on affiche 20.
  • pour segment n°1 = 25, segment n°2 = 20 on affiche 15.

Exercice 6 : Comprendre le fonctionnement d'un algorithme

L'algorithme suivant représente un calcul :

Vous pouvez tenter de le modifier pour le comprendre.

Si on donne à \(x\) la valeur \(2N\) conjecturer la valeur de \( total \) à la fin de l'algorithme.
(Exemple de réponse : \(2N + 1\))
Si on donne à \(x\) la valeur \(-4N\) conjecturer la valeur de \( total \) à la fin de l'algorithme.
(Exemple de réponse : \(-4N + 1\))
Si on donne à \(x\) la valeur \(9N\) conjecturer la valeur de \( total \) à la fin de l'algorithme.
(Exemple de réponse : \(9N + 1\))
Indiquer l'expression littérale simplifiée donnant \( total \).
(Exemple de réponse : \(0.01x + 1\))

Exercice 7 : Additionner deux fractions (dénominateurs commun, sans simplication, niv 1)

Ecrire un algorithme capable de calculer la somme de deux fractions ayant un dénominateur commun. Il donnera le résultat sous la forme d'une fraction en affichant le numérateur puis "--" puis le dénominateur.
\[ \frac{\mbox{num 1}}{\mbox{denom}} + \frac{\mbox{num 2}}{\mbox{denom}} \]
Votre algorithme doit afficher les mêmes résultats pour les exemples suivants :
  • pour:
    • num 1 = 2
    • num 2 = 6
    • denom = 5
    on affiche « 8 » puis «--» puis « 5 ».
  • pour:
    • num 1 = 3
    • num 2 = 7
    • denom = 6
    on affiche « 10 » puis «--» puis « 6 ».

Exercice 8 : Simplifier un algorithme grâce à un développement d'expression littérale

On s'intéresse à un algorithme qui permet à un fabricant de bonbons de savoir combien lui coûte un bonbon.

Il sait que chaque bonbon lui coûte 3 en sucre.
Il sait que chaque bonbon est emballé dans un papier qui lui coûte 5.
Il met les bonbons dans des paquets de 40 bonbons.
Les paquets sont des sachets plastiques qui eux-même coûtent 7.

Enfin, l'usine lui coûte 10000 tous les mois peu importe le nombre de bonbons qui sont produits.
On veut produire \(x\) bonbons pendant 1 mois.

Quel est le prix en sucre en fonction de \(x\) ?
On omettra le signe €.
Quel est le prix des emballages pour \(x\) bonbons ?
On omettra le signe €.
Quel est le prix des sachets plastiques pour \(x\) bonbons ?
On supposera que le prix des paquets est linéaire en fonction du nombre de bonbons.
On omettra le signe €.
Quel est le prix de l'usine pour \(x\) bonbons pendant 1 mois ?
On omettra le signe €.
Quelle est la formule qui permet de calculer le coût total en appelant \(x\) le nombre de bonbons que l'on souhaite ?
On omettra le signe €.
Développer puis réduire l'expression trouvée pour le coût total.
Voici un algorithme qui calcule ce prix selon le nombre de bonbons à produire par mois.
Grâce à l'expression du coût total développée, écrire un nouveau programme qui calcule le prix plus simplement. En pratique, dans la vie courante il peut être pratique de garder la forme plus longue de l'algorithme, notamment pour changer plus facilement le prix du sucre lorsqu'on change de fournisseur par exemple. En revanche, certains algorithmes sont beaucoup trop longs à calculer sous leur forme "naïve". Il faut donc simplifier les algorithmes pour les rendre plus rapides à calculer.

Exercice 9 : Utiliser le théorème de Pythagore pour trouver une longeur (niv 3)

Soit ABC un triangle rectangle en A. Ecrire un algorithme capable de calculer la longueur du segment bleu pour les deux cas suivants:
Cas n°1:

Cas n°2:

Votre algorithme doit afficher les mêmes résultats pour les exemples suivants :
  • pour cas = 1, segment n°1 = 21, segment n°2 = 29 on affiche 20.
  • pour cas = 1, segment n°1 = 25, segment n°2 = 20 on affiche 15.
  • pour cas = 2, segment n°1 = 32, segment n°2 = 24 on affiche 40.
  • pour cas = 2, segment n°1 = 15, segment n°2 = 20 on affiche 25.

Exercice 10 : Additionner deux fractions (dénominateurs différents, sans simplication, niv 2)

Ecrire un algorithme capable de calculer la somme de deux fractions. Il donnera le résultat sous la forme d'une fraction en affichant le numérateur puis «--» puis le dénominateur.
\[ \frac{\mbox{num 1}}{\mbox{denom 1}} + \frac{\mbox{num 2}}{\mbox{denom 2}} \]
Votre algorithme doit afficher les mêmes résultats pour les exemples suivants :
  • pour:
    • num 1 = 2
    • num 2 = 6
    • denom 1 = 5
    • denom 2 = 8
    on affiche « 46 » puis «--» puis « 40 ».
  • pour:
    • num 1 = 3
    • num 2 = 7
    • denom 1 = 6
    • denom 2 = 2
    on affiche « 48 » puis «--» puis « 12 ».

Exercice 11 : Calculer une puissance (Déterminer un nombre de bactéries)

Un laboratoire réalise un élevage de bactéries. À 10h on commence avec 1000 bactéries.
Leur nombre double toutes les heures.
Créer un programme qui demande le nombre d'heures que l'on va attendre après le début de l'expérience.
Le programme devra afficher le nombre de bactéries après cette durée.

Exercice 12 : Calculer la distance entre deux points d'un repère

Ecrire un algorithme capable de calculer la distance entre deux points A(x_a,y_a) et B(x_b,y_b) d'un repère orthonormé.
Votre algorithme doit afficher les mêmes résultats pour les exemples suivants :
  • pour:
    • x_a = -7
    • y_a = 3
    • x_b = 9
    • y_b = 3
    on affiche « 16 ».
  • pour:
    • x_a = 0
    • y_a = 4
    • x_b = 0
    • y_b = -9
    on affiche « 13 ».

Exercice 13 : Calculer un terme de la suite de Fibonacci (boucle)

On pose 1 couple de jeunes lapins dans un champ.
Au bout de 1 an, le couple devient adulte (1 couple).
Au bout de 2 ans, le couple fait un couple d'enfants qui sont de jeunes lapins (1 + 1 = 2 couples).
Au bout de 3 ans, le couple de jeunes lapins devient adulte et celui qui était déjà adulte donne naissance à un nouveau couple de jeunes lapins (2 + 1) = 3 couples).
Au bout de 4 ans, il y a les 3 couples de l'année précédente et les 2 couples d'adultes font 2 nouveaux couples de jeunes (3 + 2 = 5 couples).


On peut montrer que chaque année, le nombre de couple C de lapins devient :
A Le nombre de couples de lapins de l'année précédente (ceux qui étaient déjà là),
plus B le nombre de couples de lapins d'il y a deux ans (ceux qui font des enfants)

Écrire un algorithme qui permet de calculer le nombre de lapins, C au bout de n années.
On doit avoir :
  • pour n = 1, on affiche C = 1.
  • pour n = 2, on affiche C = 2.
  • pour n = 3, on affiche C = 3.
  • pour n = 4, on affiche C = 5.
  • pour n = 5, on affiche C = 8.
  • pour n = 6, on affiche C = 13.
Cet algorithme est bien connu, et s'appelle la suite de Fibonacci. Cette suite possède de nombreuses propriétés très intéressantes qui la lient notamment au nombre d'or.

Exercice 14 : Comprendre les variables algorithmiques et mathématiques

Soit \(x\) un nombre réel.
Soit \(total\) un autre nombre réel, correspondant à la valeur renvoyée par l'algorithme.
\(total\) vaut \(x\) moins \(-0,6\) multiplié par \(-3\).

Compléter l'algorithme suivant afin qu'il réponde à l'énoncé.
Si on entre un nombre \(x\) indiquer l'équation donnant \(total\).
Exemple de réponse : \(total = 0,01x + 1\)

Exercice 15 : Calculer les coordonnées d'un point par symétrie centrale

Ecrire un algorithme capable de calculer les coordonnées de B(x_b,y_b) symétrique de A(x_a,y_a) par le point O(x_o,y_o) dans un repère orthonormé.
Votre algorithme doit afficher les mêmes résultats pour les exemples suivants :
  • pour:
    • x_a = 2
    • y_a = 2
    • x_o = 5
    • y_o = 4
    on affiche « 8 » puis « 6 ».
  • pour:
    • x_a = 8
    • y_a = 1
    • x_o = 5
    • y_o = 4
    on affiche « 2 » puis « 7 ».
Fix

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